Subgroups — #616274

Order 512.

3990 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 319 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2563	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#15244	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#15144	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#14713	C₂	1	2	yes	maximal
7	#14687	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#13906	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	C₄²×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
15	#2868	—	2	8	no	—
16	#2563	—	2	32	no	—
17	C₂×#393	C₂²	1	16	yes	—
18	C₄×#127	—	2	8	no	—
19	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#390	C₂²	1	16	yes	—
23	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#382	C₂²	1	8	yes	—
28	C₂×#380	C₂²	1	16	yes	—
29	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1439	C₂²	1	32	yes	—
34	C₄⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
35	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	—
36	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
38	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂³×D₄	C₂³	1	4	yes	—
40	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
45	C₂×#127	—	2	4	no	—
46	C₂×#127	—	2	4	no	—
47	C₂×#127	Q₈	1	8	yes	complemented
48	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
49	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
50	C₂×C₄×D₄	—	2	16	no	—
51	C₂×C₄×D₄	—	2	32	no	—
52	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
55	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
60	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
61	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	32	yes	—
62	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
63	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
69	#393	—	2	64	no	—
70	#390	—	2	16	no	—
71	#390	—	2	8	no	—
72	#390	—	2	32	no	—
73	#390	—	4	32	no	—
74	#384	—	2	4	no	—
75	#384	—	2	8	no	—
76	#384	—	2	8	no	—
77	#384	—	2	16	no	—
78	#382	—	2	32	no	—
79	#380	—	2	64	no	—
80	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
81	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	16	yes	complemented
82	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
83	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
84	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
85	C₄³	—	2	8	no	—
86	C₄³	D₄	1	8	yes	—
87	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
88	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
89	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
90	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
91	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
94	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
95	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
96	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
98	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
99	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
100	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
101	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
102	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
103	C₂³×C₄	—	2	32	no	—
104	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
112	C₄⋊Q₈	—	4	64	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	4	32	no	—
114	#127	—	2	32	no	—
115	C₄×D₄	—	4	64	no	—
116	C₄×D₄	—	4	32	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
119	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
120	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
121	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
122	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
131	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
132	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
133	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
134	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
135	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	64	no	—
136	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
137	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
142	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
143	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
144	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
146	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
153	C₂×C₄²	#41	1	16	yes	—
154	#95	—	2	64	no	—
155	#95	—	2	16	no	—
156	#95	C₂×D₄	1	16	yes	—
157	C₂⁴	—	2	8	no	—
158	C₂⁴	—	2	4	no	—
159	C₂⁴	—	2	16	no	—
160	C₂⁴	—	2	4	no	—
161	C₂⁴	—	2	16	no	—
162	C₂⁴	—	2	8	no	—
163	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
164	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
165	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
166	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
167	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
168	C₂×D₄	—	2	32	no	—
169	C₂×D₄	—	2	16	no	—
170	C₂×D₄	—	2	32	no	—
171	C₂×D₄	—	2	64	no	—
172	C₂×D₄	—	4	16	no	—
173	C₂×D₄	—	4	8	no	—
174	C₂×D₄	—	4	16	no	—
175	C₂×D₄	—	4	8	no	—
176	C₂×D₄	—	4	16	no	—
177	C₂×D₄	—	4	32	no	—
178	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
179	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
180	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
181	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
182	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
183	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
184	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
191	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	64	no	—
194	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
197	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
211	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
212	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
214	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
215	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
216	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
217	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
218	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
219	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
220	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
221	C₂²⋊C₄	—	8	64	no	—
222	C₄²	—	2	16	no	—
223	C₄²	—	2	8	no	—
224	C₄²	—	2	32	no	—
225	C₄²	—	4	32	no	—
226	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
227	C₄²	#124	1	32	yes	—
228	C₄²	#127	1	16	yes	—
229	C₂³	—	2	8	no	—
230	C₂³	—	2	16	no	—
231	C₂³	—	2	32	no	—
232	C₂³	—	4	8	no	—
233	C₂³	—	4	4	no	—
234	C₂³	—	4	16	no	—
235	C₂³	—	4	8	no	—
236	C₂³	—	4	4	no	—
237	C₂³	—	4	8	no	—
238	C₂³	—	4	16	no	—
239	C₂³	—	4	16	no	—
240	C₂³	—	4	32	no	—
241	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
243	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
244	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
245	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
246	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
247	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
248	Q₈	—	8	32	no	—
249	D₄	—	4	64	no	—
250	D₄	—	4	32	no	—
251	C₂×C₄	—	2	4	no	—
252	C₂×C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₄	—	2	4	no	—
254	C₂×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂×C₄	—	2	16	no	—
256	C₂×C₄	—	2	16	no	—
257	C₂×C₄	—	2	16	no	—
258	C₂×C₄	—	2	16	no	—
259	C₂×C₄	—	4	16	no	—
260	C₂×C₄	—	4	16	no	—
261	C₂×C₄	—	4	8	no	—
262	C₂×C₄	—	4	4	no	—
263	C₂×C₄	—	4	8	no	—
264	C₂×C₄	—	4	16	no	—
265	C₂×C₄	—	4	16	no	—
266	C₂×C₄	—	4	32	no	—
267	C₂×C₄	—	8	32	no	—
268	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
269	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
270	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
271	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
275	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
276	C₂×C₄	#532	1	16	yes	—
277	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
278	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	#547	1	8	yes	—
280	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	8	yes	—
281	C₂×C₄	#554	1	16	yes	—
282	C₂×C₄	#555	1	16	yes	—
283	C₂²	—	4	8	no	—
284	C₂²	—	4	16	no	—
285	C₂²	—	4	32	no	—
286	C₂²	—	8	4	no	—
287	C₂²	—	8	16	no	—
288	C₂²	—	8	4	no	—
289	C₂²	—	8	8	no	—
290	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	C₂²×#124	1	2	yes	—
292	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂×#532	1	4	yes	—
294	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
295	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	C₂×#547	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
298	C₂²	C₂×#554	1	4	yes	—
299	C₂²	C₂×#555	1	4	yes	—
300	C₂²	#3498	1	4	yes	—
301	C₂²	#3511	1	8	yes	—
302	C₄	—	2	4	no	—
303	C₄	—	2	8	no	—
304	C₄	—	4	16	no	—
305	C₄	—	8	4	no	—
306	C₄	—	8	8	no	—
307	C₄	#2542	1	8	yes	—
308	C₄	#2563	1	16	yes	complemented
309	C₄	#2858	1	8	yes	—
310	C₂	—	8	8	no	—
311	C₂	C₂×#2542	1	1	yes	characteristic
312	C₂	C₂×#2563	1	2	yes	—
313	C₂	#35274	1	1	yes	characteristic
314	C₂	#35289	1	2	yes	—
315	C₂	#36187	1	4	yes	—
316	C₂	#36559	1	4	yes	—
317	C₂	C₂×#2858	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2868	C₂	semidirect
2. C₂×#2563	C₂	semidirect
4. #15244	C₂	semidirect
5. #15144	C₂	semidirect
7. #14687	C₂	semidirect
8. #13906	C₂	semidirect
9. C₄²×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
47. C₂×#127	Q₈	semidirect
81. C₄×C₄⋊C₄	D₄	semidirect
308. C₄	#2563	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2868	2
C₂×#2563	2
C₂×C₄×#127	2
#15244	2
#15144	2
#14713	2
#14687	2
#13906	2
C₄²×C₄⋊C₄	2