Subgroups — #616286

Order 512.

4326 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 291 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2538	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
2	C₂×C₄×#127	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×C₄²×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#15134	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	#14713	C₂	1	2	yes	maximal
6	#14712	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#14692	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#13906	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
9	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
12	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	6	yes	—
13	#2538	—	2	48	no	—
14	C₂×#396	C₂²	1	24	yes	—
15	C₄×#127	—	2	8	no	—
16	C₂×#390	C₂²	1	6	yes	—
17	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	—
18	C₂×#390	C₂²	1	12	yes	—
19	C₂×#389	C₂²	1	12	yes	—
20	C₂×#384	C₂²	1	6	yes	—
21	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#384	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×#380	C₂²	1	12	yes	—
25	C₄²×Q₈	—	2	8	no	—
26	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	6	yes	—
27	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	3	yes	—
28	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#1439	C₂²	1	24	yes	—
31	C₄⋊#95	C₂²	1	12	yes	—
32	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂³×D₄	C₂³	1	6	yes	—
34	C₂⁴×C₄	C₂³	1	4	yes	—
35	C₂×#127	—	2	4	no	—
36	C₂×#127	—	2	4	no	—
37	C₂×#127	Q₈	1	8	yes	complemented
38	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
39	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
40	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
41	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	24	yes	complemented
42	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
43	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
44	C₂×C₄×D₄	—	2	24	no	—
45	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
46	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
47	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
48	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
51	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
52	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
53	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	12	yes	—
54	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	24	yes	—
55	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
56	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
57	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
58	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
59	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#396	—	2	96	no	—
61	#390	—	2	24	no	—
62	#390	—	2	48	no	—
63	#390	—	4	24	no	—
64	#389	—	2	48	no	—
65	#384	—	2	4	no	—
66	#384	—	2	24	no	—
67	#384	—	2	8	no	—
68	#384	—	4	12	no	—
69	#380	—	2	48	no	—
70	C₄×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
71	C₄×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
72	C₂×#95	C₂³	1	24	yes	—
73	C₂×#95	C₂³	1	6	yes	—
74	C₄³	—	2	8	no	—
75	C₄³	D₄	1	8	yes	—
76	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
77	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
78	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
79	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
80	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
83	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
84	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
85	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
86	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	24	yes	—
87	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
88	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
89	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
90	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
91	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
92	C₂³×C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
93	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
94	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
95	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
96	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
97	#127	—	2	32	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	4	64	no	—
99	C₄×Q₈	—	2	96	no	—
100	C₄×D₄	—	4	96	no	—
101	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
102	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
103	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
104	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
108	C₂×C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
109	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
110	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
111	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
112	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
113	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
116	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
117	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
118	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
119	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
120	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
121	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	48	no	—
122	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
123	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
124	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
125	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
126	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
127	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
128	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
129	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
130	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	24	yes	—
131	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
132	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
133	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
134	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
136	C₂×C₄²	#41	1	12	yes	—
137	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
138	#95	—	2	12	no	—
139	#95	—	2	48	no	—
140	C₂⁴	—	2	12	no	—
141	C₂⁴	—	2	4	no	—
142	C₂⁴	—	2	12	no	—
143	C₂⁴	—	2	4	no	—
144	C₂⁴	—	2	12	no	—
145	C₂⁴	—	2	12	no	—
146	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
147	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
148	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
149	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
150	C₂×Q₈	#127	1	16	yes	complemented
151	C₂×D₄	—	2	48	no	—
152	C₂×D₄	—	2	48	no	—
153	C₂×D₄	—	2	48	no	—
154	C₂×D₄	—	4	24	no	—
155	C₂×D₄	—	4	24	no	—
156	C₂×D₄	—	4	24	no	—
157	C₂×D₄	—	4	24	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
160	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
161	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
162	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
163	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
164	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
165	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
166	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
167	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
168	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
169	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
170	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
171	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
172	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
173	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
174	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
175	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
176	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
177	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
178	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	12	yes	—
179	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
181	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
182	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
183	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	6	yes	—
184	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
185	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
186	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
187	C₂²×C₄	C₂×#41	1	6	yes	—
188	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	6	yes	—
189	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	6	yes	—
190	C₄⋊C₄	—	2	48	no	—
191	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
192	C₄⋊C₄	—	4	24	no	—
193	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
194	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
195	C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
196	C₄⋊C₄	—	8	24	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	4	48	no	—
198	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
199	C₂²⋊C₄	—	8	48	no	—
200	C₄²	—	2	48	no	—
201	C₄²	—	2	24	no	—
202	C₄²	—	4	24	no	—
203	C₄²	#121	1	48	yes	—
204	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	complemented
205	C₂³	—	2	8	no	—
206	C₂³	—	2	24	no	—
207	C₂³	—	2	24	no	—
208	C₂³	—	4	12	no	—
209	C₂³	—	4	4	no	—
210	C₂³	—	4	12	no	—
211	C₂³	—	4	12	no	—
212	C₂³	—	4	12	no	—
213	C₂³	—	4	12	no	—
214	C₂³	—	4	12	no	—
215	C₂³	—	4	12	no	—
216	C₂³	—	4	24	no	—
217	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂³	C₂³×D₄	1	3	yes	—
219	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
220	C₂³	C₂²×#41	1	3	yes	—
221	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
222	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	3	yes	—
223	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	3	yes	—
224	Q₈	—	2	32	no	—
225	D₄	—	4	96	no	—
226	C₂×C₄	—	2	12	no	—
227	C₂×C₄	—	2	12	no	—
228	C₂×C₄	—	2	12	no	—
229	C₂×C₄	—	2	6	no	—
230	C₂×C₄	—	2	6	no	—
231	C₂×C₄	—	2	12	no	—
232	C₂×C₄	—	2	12	no	—
233	C₂×C₄	—	2	12	no	—
234	C₂×C₄	—	2	12	no	—
235	C₂×C₄	—	4	12	no	—
236	C₂×C₄	—	4	12	no	—
237	C₂×C₄	—	4	12	no	—
238	C₂×C₄	—	4	8	no	—
239	C₂×C₄	—	4	4	no	—
240	C₂×C₄	—	4	12	no	—
241	C₂×C₄	—	4	24	no	—
242	C₂×C₄	—	4	24	no	—
243	C₂×C₄	—	8	32	no	—
244	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
245	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
246	C₂×C₄	C₂×#121	1	12	yes	—
247	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	12	yes	—
248	C₂×C₄	C₂×#127	1	8	yes	—
249	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
250	C₂×C₄	#532	1	12	yes	—
251	C₂×C₄	#537	1	12	yes	—
252	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	12	yes	—
253	C₂×C₄	#550	1	12	yes	—
254	C₂×C₄	#554	1	12	yes	—
255	C₂×C₄	#556	1	12	yes	—
256	C₂²	—	4	24	no	—
257	C₂²	—	4	8	no	—
258	C₂²	—	4	24	no	—
259	C₂²	—	8	4	no	—
260	C₂²	—	8	12	no	—
261	C₂²	—	8	4	no	—
262	C₂²	—	8	12	no	—
263	C₂²	C₂²×#121	1	3	yes	—
264	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
265	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
266	C₂²	C₂×#532	1	3	yes	—
267	C₂²	C₂×#537	1	3	yes	—
268	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	3	yes	—
269	C₂²	C₂×#550	1	3	yes	—
270	C₂²	C₂×#554	1	3	yes	—
271	C₂²	C₂×#556	1	3	yes	—
272	C₂²	#3498	1	3	yes	—
273	C₂²	#3499	1	3	yes	—
274	C₂²	#3511	1	6	yes	—
275	C₄	—	2	8	no	—
276	C₄	—	2	12	no	—
277	C₄	—	4	12	no	—
278	C₄	—	8	4	no	—
279	C₄	—	8	8	no	—
280	C₄	#2538	1	24	yes	complemented
281	C₄	#2856	1	8	yes	—
282	C₂	—	8	8	no	—
283	C₂	C₂×#2538	1	3	yes	—
284	C₂	#35273	1	3	yes	—
285	C₂	Q₈×#127	1	1	yes	characteristic
286	C₂	#36559	1	3	yes	—
287	C₂	#36592	1	1	yes	characteristic
288	C₂	#36594	1	3	yes	—
289	C₂	C₂×#2856	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2538	C₂	semidirect
3. C₂×C₄²×Q₈	C₂	semidirect
4. #15134	C₂	semidirect
6. #14712	C₂	semidirect
7. #14692	C₂	semidirect
8. #13906	C₂	semidirect
37. C₂×#127	Q₈	semidirect
41. C₂×C₄×Q₈	D₄	semidirect
150. C₂×Q₈	#127	semidirect
204. C₄²	C₂²⋊Q₈	semidirect
280. C₄	#2538	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2538	2
C₂×C₄×#127	2
C₂×C₄²×Q₈	2
#15134	2
#14713	2
#14712	2
#14692	2
#13906	2