Subgroups — #616292

Order 512.

3150 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2567	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×C₄²×Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#15196	C₂	1	4	yes	maximal
5	#15128	C₂	1	8	yes	maximal
6	#14712	C₂	1	4	yes	maximal
7	#14161	C₂	1	2	yes	maximal
8	#13926	C₂	1	4	yes	maximal
9	#13910	C₂	1	4	yes	maximal
10	C₄×#384	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	#2868	—	2	8	no	—
16	#2567	—	2	16	no	—
17	C₂×#395	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#389	C₂²	1	8	yes	—
20	C₂×#389	C₂²	1	16	yes	—
21	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#384	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#384	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄²×Q₈	—	2	8	no	—
27	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1446	C₂²	1	8	yes	—
36	#1444	C₂²	1	16	yes	—
37	#1441	C₂²	1	16	yes	—
38	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
39	C₄⋊#95	C₂²	1	16	yes	—
40	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
41	C₄⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
42	C₄⋊#95	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
46	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	16	no	—
47	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
50	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
52	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
54	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	16	yes	complemented
56	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
59	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
67	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
77	#395	—	2	32	no	—
78	#391	—	2	16	no	—
79	#389	—	2	32	no	—
80	#389	—	4	32	no	—
81	#384	—	2	16	no	—
82	#384	—	2	8	no	—
83	#384	—	2	16	no	—
84	#384	—	2	8	no	—
85	#384	Q₈	1	16	yes	complemented
86	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
87	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
88	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
91	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
92	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂×#95	C₂³	1	32	yes	—
98	C₄³	—	2	8	no	—
99	C₄³	D₄	1	8	yes	—
100	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
101	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
102	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
106	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
107	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	8	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
112	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
114	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
115	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
119	C₄⋊Q₈	—	4	64	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	4	32	no	—
121	C₄×Q₈	—	2	32	no	—
122	C₄×Q₈	—	2	64	no	—
123	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
124	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
126	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
127	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
128	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
131	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂×Q₈	1	32	yes	—
153	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
156	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
158	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	16	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	8	yes	—
175	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
177	#95	—	2	4	no	—
178	#95	—	2	8	no	—
179	#95	—	2	8	no	—
180	#95	—	2	32	no	—
181	#95	—	2	16	no	—
182	#95	—	4	32	no	—
183	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
184	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
185	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
188	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
190	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
191	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
192	C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	1	16	yes	complemented
193	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
199	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
200	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	16	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	8	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
238	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	8	yes	—
239	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
240	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	64	no	—
246	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
247	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
248	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
249	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
250	C₄⋊C₄	—	8	32	no	—
251	C₄²	—	2	16	no	—
252	C₄²	—	2	32	no	—
253	C₄²	—	2	16	no	—
254	C₄²	—	2	8	no	—
255	C₄²	—	4	16	no	—
256	C₄²	—	4	16	no	—
257	C₄²	—	4	8	no	—
258	C₄²	#121	1	16	yes	—
259	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	32	yes	—
260	C₄²	C₄⋊Q₈	1	16	yes	—
261	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
264	C₂³	C₂³×Q₈	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
266	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
267	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
268	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
269	Q₈	—	2	32	no	—
270	Q₈	—	8	32	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	2	4	no	—
274	C₂×C₄	—	2	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	2	8	no	—
280	C₂×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	16	no	—
285	C₂×C₄	—	2	32	no	—
286	C₂×C₄	—	2	8	no	—
287	C₂×C₄	—	2	16	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	8	no	—
293	C₂×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂×C₄	—	4	8	no	—
295	C₂×C₄	—	4	16	no	—
296	C₂×C₄	—	4	8	no	—
297	C₂×C₄	—	4	16	no	—
298	C₂×C₄	—	4	16	no	—
299	C₂×C₄	—	4	16	no	—
300	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
301	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×#121	1	4	yes	—
303	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
305	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	8	yes	—
308	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×C₄⋊Q₈	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	#532	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	#533	1	8	yes	—
312	C₂×C₄	#535	1	8	yes	—
313	C₂×C₄	#536	1	4	yes	—
314	C₂×C₄	D₄×Q₈	1	8	yes	—
315	C₂×C₄	#554	1	16	yes	—
316	C₂×C₄	#557	1	8	yes	—
317	C₂×C₄	Q₈²	1	16	yes	—
318	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
319	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
321	C₂²	C₂²×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
322	C₂²	C₂×#532	1	1	yes	characteristic
323	C₂²	C₂×#533	1	2	yes	—
324	C₂²	C₂×#535	1	2	yes	—
325	C₂²	C₂×#536	1	1	yes	characteristic
326	C₂²	C₂×D₄×Q₈	1	2	yes	—
327	C₂²	C₂×#554	1	4	yes	—
328	C₂²	C₂×#557	1	2	yes	—
329	C₂²	C₂×Q₈²	1	4	yes	—
330	C₂²	#3498	1	2	yes	—
331	C₂²	#3503	1	4	yes	—
332	C₂²	#3508	1	2	yes	—
333	C₂²	#3511	1	4	yes	—
334	C₄	—	2	8	no	—
335	C₄	—	2	4	no	—
336	C₄	—	2	8	no	—
337	C₄	—	4	4	no	—
338	C₄	—	4	8	no	—
339	C₄	—	4	16	no	—
340	C₄	—	8	8	no	—
341	C₄	#2546	1	8	yes	—
342	C₄	#2567	1	16	yes	complemented
343	C₄	#2857	1	8	yes	—
344	C₂	C₂×#2546	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂×#2567	1	2	yes	—
346	C₂	#35272	1	1	yes	characteristic
347	C₂	#35279	1	2	yes	—
348	C₂	Q₈×C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
349	C₂	#36559	1	2	yes	—
350	C₂	#36563	1	4	yes	—
351	C₂	C₂×#2857	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, prime radical, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
55. C₂×C₄×Q₈	Q₈	semidirect
85. #384	Q₈	semidirect
192. C₂×Q₈	C₄⋊Q₈	semidirect
342. C₄	#2567	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2868	2
C₂×#2567	2
C₂×C₄²×Q₈	2
#15196	2
#15128	2
#14712	2
#14161	2
#13926	2
#13910	2
C₄×#384	2