Subgroups — #616331

Order 512.

4778 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#2503	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2435	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂²×#390	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#15244	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#15243	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#15170	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#14708	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#13903	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂⁴×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂²×#124	C₂²	1	4	yes	—
14	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂³×C₄⋊C₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂³×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#2857	—	2	8	no	—
19	#2503	—	2	16	no	—
20	#2435	—	2	16	no	—
21	C₂×#400	C₂²	1	8	yes	complemented
22	C₂×#394	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	complemented
24	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	complemented
25	C₂×#390	—	2	8	no	—
26	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	complemented
31	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	complemented
33	C₂×#381	C₂²	1	8	yes	—
34	C₂×#380	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×#379	C₂²	1	8	yes	—
36	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
37	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#1439	C₂²	1	16	yes	complemented
40	#1439	C₂²	1	16	yes	complemented
41	#1437	C₂²	1	32	yes	complemented
42	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	complemented
43	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	complemented
44	C₂⁶	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
47	C₂³×D₄	—	2	4	no	—
48	C₂³×D₄	—	2	8	no	—
49	C₂³×D₄	—	4	4	no	—
50	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
57	C₂×#124	—	2	16	no	—
58	C₂×#124	—	2	16	no	—
59	C₂×#124	—	4	8	no	—
60	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
62	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
74	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
77	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
79	C₂²×C₄²	—	4	4	no	—
80	C₂²×C₄²	D₄	1	8	yes	—
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
85	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
86	#400	—	2	32	no	—
87	#394	—	2	32	no	—
88	#391	—	2	8	no	—
89	#391	—	2	16	no	—
90	#390	—	2	16	no	—
91	#390	—	2	8	no	—
92	#390	—	2	8	no	—
93	#390	—	2	16	no	—
94	#389	—	2	16	no	—
95	#384	—	2	4	no	—
96	#382	—	2	16	no	—
97	#381	—	2	32	no	—
98	#380	—	2	16	no	—
99	#379	—	2	32	no	—
100	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
101	C₄×C₂²⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
102	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
103	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
104	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
105	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
106	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
107	C₄³	—	4	4	no	—
108	C₂⁵	—	2	4	no	—
109	C₂⁵	—	2	8	no	—
110	C₂⁵	—	2	8	no	—
111	C₂⁵	—	2	16	no	—
112	C₂⁵	—	4	4	no	—
113	C₂⁵	—	4	8	no	—
114	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
115	C₂⁵	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
116	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
117	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
118	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
120	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	32	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
127	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
128	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
129	C₂²×D₄	—	4	64	no	—
130	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
131	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
132	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
133	C₂²×D₄	#41	1	8	yes	—
134	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
135	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
136	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
137	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
138	C₂³×C₄	—	2	16	no	—
139	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
140	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
141	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
142	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	8	yes	—
144	C₂³×C₄	#41	1	16	yes	—
145	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
148	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
149	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
150	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
151	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
152	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
153	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
154	#124	—	4	64	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	4	32	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
170	C₂×C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
172	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
173	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
177	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
178	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
179	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
180	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
181	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
182	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
184	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
185	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
186	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
187	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
188	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
189	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
190	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
191	C₂×C₄²	—	4	16	no	—
192	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
193	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
194	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
195	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
199	#95	—	2	16	no	—
200	#95	—	2	32	no	—
201	#95	—	2	32	no	—
202	#95	—	2	16	no	—
203	#95	C₂×D₄	1	16	yes	—
204	C₂⁴	—	2	2	no	—
205	C₂⁴	—	2	2	no	—
206	C₂⁴	—	2	4	no	—
207	C₂⁴	—	2	16	no	—
208	C₂⁴	—	2	4	no	—
209	C₂⁴	—	2	8	no	—
210	C₂⁴	—	2	16	no	—
211	C₂⁴	—	2	4	no	—
212	C₂⁴	—	2	8	no	—
213	C₂⁴	—	2	16	no	—
214	C₂⁴	—	4	32	no	—
215	C₂⁴	—	4	64	no	—
216	C₂⁴	—	4	8	no	—
217	C₂⁴	—	4	16	no	—
218	C₂⁴	—	4	16	no	—
219	C₂⁴	—	4	8	no	—
220	C₂⁴	—	4	32	no	—
221	C₂⁴	—	8	16	no	—
222	C₂⁴	—	8	32	no	—
223	C₂⁴	C₂²×D₄	1	2	yes	—
224	C₂⁴	C₂²×D₄	1	4	yes	—
225	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
226	C₂⁴	C₂×#41	1	8	yes	—
227	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
228	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
229	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
230	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
231	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
233	C₂×D₄	—	2	16	no	—
234	C₂×D₄	—	2	16	no	—
235	C₂×D₄	—	2	32	no	—
236	C₂×D₄	—	4	32	no	—
237	C₂×D₄	—	4	8	no	—
238	C₂×D₄	—	4	128	no	—
239	C₂×D₄	—	4	8	no	—
240	C₂×D₄	—	4	8	no	—
241	C₂×D₄	—	4	8	no	—
242	C₂×D₄	—	4	16	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
270	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
271	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
272	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
273	C₂²×C₄	—	4	32	no	—
274	C₂²×C₄	#124	1	32	yes	complemented
275	C₂²×C₄	#127	1	16	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
286	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
296	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
299	C₄²	—	2	8	no	—
300	C₄²	—	2	8	no	—
301	C₄²	—	2	32	no	—
302	C₄²	—	4	8	no	—
303	C₄²	—	4	32	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	—	2	2	no	—
306	C₂³	—	2	4	no	—
307	C₂³	—	2	8	no	—
308	C₂³	—	2	16	no	—
309	C₂³	—	2	8	no	—
310	C₂³	—	2	16	no	—
311	C₂³	—	2	8	no	—
312	C₂³	—	2	16	no	—
313	C₂³	—	2	32	no	—
314	C₂³	—	4	32	no	—
315	C₂³	—	4	64	no	—
316	C₂³	—	4	8	no	—
317	C₂³	—	4	4	no	—
318	C₂³	—	4	16	no	—
319	C₂³	—	4	4	no	—
320	C₂³	—	4	8	no	—
321	C₂³	—	4	8	no	—
322	C₂³	—	4	16	no	—
323	C₂³	—	4	16	no	—
324	C₂³	—	4	32	no	—
325	C₂³	—	8	128	no	—
326	C₂³	—	8	16	no	—
327	C₂³	—	8	32	no	—
328	C₂³	—	8	16	no	—
329	C₂³	C₂×#124	1	8	yes	—
330	C₂³	C₂×#127	1	4	yes	—
331	C₂³	#532	1	16	yes	—
332	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
334	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
335	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
336	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
337	C₂³	#585	1	4	yes	—
338	Q₈	—	8	16	no	—
339	D₄	—	4	32	no	—
340	D₄	—	4	32	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	4	no	—
347	C₂×C₄	—	2	8	no	—
348	C₂×C₄	—	2	16	no	—
349	C₂×C₄	—	2	16	no	—
350	C₂×C₄	—	2	32	no	—
351	C₂×C₄	—	2	16	no	—
352	C₂×C₄	—	2	16	no	—
353	C₂×C₄	—	2	16	no	—
354	C₂×C₄	—	4	32	no	—
355	C₂×C₄	—	4	16	no	—
356	C₂×C₄	—	4	16	no	—
357	C₂×C₄	—	4	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	8	no	—
359	C₂×C₄	—	4	4	no	—
360	C₂×C₄	—	4	4	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	16	no	—
363	C₂×C₄	—	4	4	no	—
364	C₂×C₄	—	4	8	no	—
365	C₂×C₄	—	4	8	no	—
366	C₂×C₄	—	4	8	no	—
367	C₂×C₄	—	4	8	no	—
368	C₂×C₄	—	4	8	no	—
369	C₂×C₄	—	8	16	no	—
370	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
371	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
374	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
375	C₂×C₄	#534	1	4	yes	—
376	C₂×C₄	#546	1	16	yes	—
377	C₂²	—	2	4	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	2	32	no	—
380	C₂²	—	2	8	no	—
381	C₂²	—	2	8	no	—
382	C₂²	—	4	8	no	—
383	C₂²	—	4	32	no	—
384	C₂²	—	4	16	no	—
385	C₂²	—	8	64	no	—
386	C₂²	—	8	4	no	—
387	C₂²	—	8	4	no	—
388	C₂²	—	8	16	no	—
389	C₂²	—	8	8	no	—
390	C₂²	#2858	1	8	yes	—
391	C₂²	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
392	C₂²	C₂²×#124	1	2	yes	—
393	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	C₂×#532	1	4	yes	—
395	C₂²	C₂×#534	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#3449	1	2	yes	—
397	C₂²	C₂×#546	1	4	yes	—
398	C₂²	#3475	1	8	yes	—
399	C₂²	#3500	1	4	yes	—
400	C₂²	#3505	1	8	yes	—
401	C₄	—	2	4	no	—
402	C₄	—	2	8	no	—
403	C₄	—	2	8	no	—
404	C₄	—	4	16	no	—
405	C₄	—	8	4	no	—
406	C₄	—	8	4	no	—
407	C₄	—	8	4	no	—
408	C₄	#2539	1	8	yes	—
409	C₂	—	2	8	no	—
410	C₂	—	8	8	no	—
411	C₂	C₂×#2539	1	1	yes	characteristic
412	C₂	#34946	1	2	yes	—
413	C₂	#35019	1	2	yes	—
414	C₂	#35329	1	1	yes	characteristic
415	C₂	#36386	1	8	yes	—
416	C₂	C₂×#2858	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂⁴×D₄	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2857	C₂	semidirect
2. C₂×#2503	C₂	semidirect
5. #15244	C₂	semidirect
6. #15243	C₂	semidirect
7. #15170	C₂	semidirect
8. #14708	C₂	semidirect
9. #13903	C₂	semidirect
10. C₄²×C₂²⋊C₄	C₂	semidirect
12. C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
21. C₂×#400	C₂²	semidirect
23. C₂×#391	C₂²	semidirect
24. C₂×#391	C₂²	semidirect
30. C₂×#389	C₂²	semidirect
31. C₂×#384	C₂²	semidirect
32. C₂×#382	C₂²	semidirect
38. C₂×C₄³	C₂²	semidirect
39. #1439	C₂²	semidirect
40. #1439	C₂²	semidirect
41. #1437	C₂²	semidirect
42. C₄×#95	C₂²	semidirect
43. C₄×#95	C₂²	semidirect
274. C₂²×C₄	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2857	2
C₂×#2503	2
C₂×#2435	2
C₂²×#390	2
#15244	2
#15243	2
#15170	2
#14708	2
#13903	2
C₄²×C₂²⋊C₄	2