Subgroups — #616375

Order 512.

3618 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 379 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2568	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#2548	C₂	1	2	yes	maximal
4	C₂×C₄×C₄⋊Q₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#15244	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#15243	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#15170	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#14708	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#14153	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
10	C₄²×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#124	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂²×#124	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
17	#2858	—	2	8	no	—
18	#2568	—	2	16	no	—
19	#2548	—	2	16	no	—
20	C₂×#400	C₂²	1	8	yes	—
21	C₂×#394	C₂²	1	8	yes	—
22	C₄×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
23	C₂×#391	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#391	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#390	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#390	C₂²	1	8	yes	—
30	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#389	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#382	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
36	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
37	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#1439	C₂²	1	16	yes	—
40	#1439	C₂²	1	16	yes	—
41	#1437	C₂²	1	32	yes	—
42	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	—
43	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂³×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂³×D₄	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
53	C₂×#127	—	2	4	no	—
54	C₂×#127	—	2	8	no	—
55	C₂×#124	—	2	16	no	—
56	C₂×#124	—	2	16	no	—
57	C₂×#124	—	2	16	no	—
58	C₂×#124	—	2	32	no	—
59	C₂×#124	—	4	8	no	—
60	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
61	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
62	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
70	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
73	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
82	#400	—	2	32	no	—
83	#394	—	2	32	no	—
84	#391	—	2	32	no	—
85	#391	—	2	8	no	—
86	#391	—	2	16	no	—
87	#390	—	2	32	no	—
88	#390	—	2	8	no	—
89	#390	—	2	8	no	—
90	#390	—	2	16	no	—
91	#390	—	2	16	no	—
92	#389	—	2	16	no	—
93	#384	—	2	4	no	—
94	#382	—	2	16	no	—
95	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
96	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
97	C₄×C₄⋊C₄	D₄	1	16	yes	—
98	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
99	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
100	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
101	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
103	C₄³	—	4	4	no	—
104	C₄³	D₄	1	8	yes	—
105	C₂⁵	C₂⁴	1	4	yes	—
106	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
113	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
114	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
115	C₂²×Q₈	#41	1	8	yes	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
121	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
122	C₂²×D₄	—	2	8	no	—
123	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
124	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
125	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
126	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
133	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
136	C₄⋊Q₈	—	2	32	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	4	16	no	—
138	#127	—	4	16	no	—
139	#124	—	4	64	no	—
140	#124	—	4	64	no	—
141	C₄×Q₈	—	4	32	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
154	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
156	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
157	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	16	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
165	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
169	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
170	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
171	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
173	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
174	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
175	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
176	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
177	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
178	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	16	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
186	C₂×C₄²	#41	1	16	yes	—
187	#95	—	2	16	no	—
188	#95	—	2	32	no	—
189	#95	—	2	32	no	—
190	#95	—	2	16	no	—
191	#95	C₂×D₄	1	16	yes	—
192	C₂⁴	—	2	4	no	—
193	C₂⁴	—	2	8	no	—
194	C₂⁴	—	2	8	no	—
195	C₂⁴	—	2	16	no	—
196	C₂⁴	—	2	4	no	—
197	C₂⁴	—	2	4	no	—
198	C₂⁴	—	2	16	no	—
199	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
200	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
210	C₂×D₄	—	4	16	no	—
211	C₂×D₄	—	4	8	no	—
212	C₂×D₄	—	4	16	no	—
213	C₂×D₄	—	4	8	no	—
214	C₂×D₄	—	4	8	no	—
215	C₂×D₄	—	4	8	no	—
216	C₂×D₄	—	4	32	no	—
217	C₂×D₄	—	4	8	no	—
218	C₂×D₄	—	4	16	no	—
219	C₂×D₄	—	4	16	no	—
220	C₂×D₄	—	8	16	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	16	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
258	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
260	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
264	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
265	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	4	64	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	4	32	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
271	C₄²	—	2	8	no	—
272	C₄²	—	2	8	no	—
273	C₄²	—	2	32	no	—
274	C₄²	—	4	8	no	—
275	C₄²	—	4	32	no	—
276	C₄²	—	4	16	no	—
277	C₄²	#124	1	32	yes	complemented
278	C₄²	#127	1	16	yes	—
279	C₂³	—	4	4	no	—
280	C₂³	—	4	8	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	16	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	8	no	—
285	C₂³	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	4	32	no	—
288	C₂³	—	4	16	no	—
289	C₂³	—	4	16	no	—
290	C₂³	—	4	16	no	—
291	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂³×D₄	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
294	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
296	C₂³	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	#585	1	4	yes	—
298	Q₈	—	4	32	no	—
299	Q₈	—	8	16	no	—
300	D₄	—	8	16	no	—
301	D₄	—	8	16	no	—
302	D₄	—	8	16	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	4	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	4	no	—
308	C₂×C₄	—	2	16	no	—
309	C₂×C₄	—	2	8	no	—
310	C₂×C₄	—	2	8	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	2	16	no	—
314	C₂×C₄	—	2	16	no	—
315	C₂×C₄	—	2	8	no	—
316	C₂×C₄	—	2	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	16	no	—
318	C₂×C₄	—	4	4	no	—
319	C₂×C₄	—	4	4	no	—
320	C₂×C₄	—	4	4	no	—
321	C₂×C₄	—	4	4	no	—
322	C₂×C₄	—	4	16	no	—
323	C₂×C₄	—	4	16	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	4	4	no	—
327	C₂×C₄	—	4	16	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	8	no	—
331	C₂×C₄	#525	1	4	yes	—
332	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#124	1	8	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#127	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#532	1	16	yes	—
339	C₂×C₄	#537	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#546	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	#548	1	8	yes	—
342	C₂²	—	8	4	no	—
343	C₂²	—	8	4	no	—
344	C₂²	—	8	16	no	—
345	C₂²	—	8	4	no	—
346	C₂²	—	8	8	no	—
347	C₂²	—	8	8	no	—
348	C₂²	—	8	16	no	—
349	C₂²	C₂×#525	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂²×#124	1	2	yes	—
351	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂×#532	1	4	yes	—
353	C₂²	C₂×#537	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3449	1	2	yes	—
355	C₂²	C₂×#546	1	2	yes	—
356	C₂²	C₂×#548	1	2	yes	—
357	C₂²	#3480	1	8	yes	—
358	C₂²	#3500	1	4	yes	—
359	C₂²	#3506	1	4	yes	—
360	C₂²	#3507	1	4	yes	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	2	8	no	—
363	C₄	—	2	8	no	—
364	C₄	—	4	16	no	—
365	C₄	—	4	8	no	—
366	C₄	—	8	4	no	—
367	C₄	—	8	4	no	—
368	C₄	#2540	1	8	yes	—
369	C₄	#2858	1	8	yes	—
370	C₂	—	16	4	no	—
371	C₂	C₂×#2540	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#34955	1	2	yes	—
373	C₂	#35180	1	2	yes	—
374	C₂	#35329	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#36419	1	4	yes	—
376	C₂	#36538	1	4	yes	—
377	C₂	C₂×#2858	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂²×#127	C₂²
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2568	C₂	semidirect
4. C₂×C₄×C₄⋊Q₈	C₂	semidirect
5. #15244	C₂	semidirect
6. #15243	C₂	semidirect
7. #15170	C₂	semidirect
8. #14708	C₂	semidirect
9. #14153	C₂	semidirect
10. C₄²×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
277. C₄²	#124	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2858	2
C₂×#2568	2
C₂×#2548	2
C₂×C₄×C₄⋊Q₈	2
#15244	2
#15243	2
#15170	2
#14708	2
#14153	2
C₄²×C₄⋊C₄	2