Subgroups — #61667

Order 256.

1032 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 423 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3548	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3330	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3299	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3298	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3284	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3283	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3278	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3276	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3206	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3201	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
14	#3107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#3013	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
17	#2979	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	—
21	#562	—	2	2	no	—
22	#554	—	2	1	no	—
23	#554	C₂²	1	2	yes	—
24	#550	—	2	1	no	—
25	#550	C₂²	1	2	yes	—
26	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
27	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	#547	—	2	2	no	—
29	#547	—	2	2	no	—
30	#547	C₂²	1	2	yes	—
31	#547	C₂²	1	2	yes	—
32	#547	C₂²	1	2	yes	—
33	#547	C₂²	1	2	yes	—
34	#540	—	2	2	no	—
35	#537	—	2	2	no	—
36	#537	C₂²	1	4	yes	—
37	#536	—	2	2	no	—
38	#536	C₂²	1	2	yes	—
39	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#532	—	2	1	no	—
41	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#494	C₂²	1	2	yes	—
47	#492	C₂²	1	2	yes	—
48	#487	C₂²	1	2	yes	—
49	#487	C₂²	1	2	yes	—
50	#485	C₂²	1	2	yes	—
51	#484	C₂²	1	4	yes	—
52	#483	C₂²	1	4	yes	—
53	#482	C₂²	1	2	yes	—
54	#477	C₂²	1	1	yes	characteristic
55	#476	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	#475	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#474	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#470	C₂²	1	4	yes	—
59	#468	C₂²	1	4	yes	—
60	#467	C₂²	1	4	yes	—
61	#465	C₂²	1	4	yes	—
62	#462	C₂²	1	2	yes	—
63	#462	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	#462	C₂²	1	2	yes	—
65	#461	C₂²	1	2	yes	—
66	#461	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	#461	C₂²	1	2	yes	—
68	#460	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	#459	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	#452	C₂²	1	4	yes	—
71	#452	C₂²	1	2	yes	—
72	#452	C₂²	1	4	yes	—
73	#452	C₂²	1	4	yes	—
74	#451	C₂²	1	4	yes	—
75	#451	C₂²	1	4	yes	—
76	#449	C₂²	1	4	yes	—
77	#449	C₂²	1	2	yes	—
78	#448	C₂²	1	4	yes	—
79	#448	C₂²	1	4	yes	—
80	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
81	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
83	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
84	#436	C₂²	1	2	yes	—
85	#436	C₂²	1	2	yes	—
86	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
87	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
88	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
90	#417	C₂²	1	4	yes	—
91	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	—
92	#408	C₂²	1	4	yes	—
93	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
94	2₋¹⁺⁴	—	4	4	no	—
95	C₂×#41	—	2	2	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	1	no	—
99	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
106	#137	—	4	8	no	—
107	#135	—	4	8	no	—
108	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
113	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
123	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
125	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	#127	—	2	2	no	—
130	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
131	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	#125	—	2	2	no	—
133	#125	—	2	1	no	—
134	#124	—	2	2	no	—
135	#124	—	2	1	no	—
136	#124	D₄	1	2	yes	—
137	#123	—	2	4	no	—
138	#123	—	2	4	no	—
139	#123	—	2	4	no	—
140	#123	—	2	4	no	—
141	#123	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
148	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
150	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
151	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
152	#121	—	2	2	no	—
153	#121	—	2	2	no	—
154	#121	—	2	4	no	—
155	#121	—	2	4	no	—
156	#121	—	2	2	no	—
157	#121	—	2	4	no	—
158	#121	—	2	1	no	—
159	#121	—	2	4	no	—
160	#121	D₄	1	2	yes	—
161	#121	D₄	1	2	yes	—
162	#121	C₂³	1	2	yes	—
163	#121	C₂³	1	4	yes	—
164	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
165	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
168	C₄×D₄	—	2	2	no	—
169	C₄×D₄	—	2	2	no	—
170	C₄×D₄	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	—	2	1	no	—
172	C₄×D₄	—	2	1	no	—
173	C₄×D₄	—	2	2	no	—
174	C₄×D₄	—	2	1	no	—
175	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
176	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
177	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
178	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
179	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
180	#117	—	2	1	no	—
181	#117	—	2	1	no	—
182	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
189	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
190	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
191	#107	C₂³	1	2	yes	—
192	#107	C₂³	1	2	yes	—
193	#106	C₂³	1	2	yes	—
194	#106	C₂³	1	2	yes	—
195	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
198	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
199	#103	C₂³	1	2	yes	—
200	#103	C₂³	1	2	yes	—
201	#103	C₂³	1	4	yes	—
202	#103	C₂³	1	4	yes	—
203	#103	C₂³	1	4	yes	—
204	#103	C₂³	1	4	yes	—
205	#103	C₂³	1	2	yes	—
206	#103	C₂³	1	2	yes	—
207	#102	C₂³	1	2	yes	—
208	#102	C₂³	1	2	yes	—
209	#102	C₂³	1	2	yes	—
210	#102	C₂³	1	2	yes	—
211	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
212	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
213	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
214	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
215	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
216	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
217	#41	—	2	2	no	—
218	#41	—	2	2	no	—
219	#41	—	2	8	no	—
220	#41	—	4	2	no	—
221	#41	—	4	2	no	—
222	#41	—	4	4	no	—
223	#41	—	4	8	no	—
224	#41	—	4	4	no	—
225	#41	—	4	4	no	—
226	#41	—	4	16	no	—
227	#41	—	8	2	no	—
228	#41	—	8	4	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
235	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
238	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
239	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
240	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
241	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
242	C₂×D₄	—	2	1	no	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	2	no	—
245	C₂×D₄	—	2	4	no	—
246	C₂×D₄	—	2	4	no	—
247	C₂×D₄	—	2	1	no	—
248	C₂×D₄	—	2	1	no	—
249	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
250	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
251	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
252	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
253	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
254	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
268	Q₁₆	—	2	4	no	—
269	Q₁₆	—	4	4	no	—
270	Q₁₆	—	4	4	no	—
271	SD₁₆	—	2	4	no	—
272	SD₁₆	—	2	4	no	—
273	SD₁₆	—	4	4	no	—
274	SD₁₆	—	4	4	no	—
275	D₈	—	2	4	no	—
276	M₁₆	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	—	4	4	no	—
278	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
280	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
300	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
301	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
302	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
303	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
315	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
316	C₄²	—	2	1	no	—
317	C₄²	—	2	1	no	—
318	C₄²	—	2	1	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
323	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	—	2	1	no	—
325	C₂³	—	2	2	no	—
326	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
327	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
328	Q₈	—	2	1	no	—
329	Q₈	—	2	2	no	—
330	Q₈	—	2	4	no	—
331	Q₈	—	2	4	no	—
332	Q₈	—	2	2	no	—
333	Q₈	—	4	2	no	—
334	Q₈	—	4	8	no	—
335	Q₈	—	4	4	no	—
336	Q₈	—	4	2	no	—
337	Q₈	—	8	1	no	—
338	Q₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
339	D₄	—	2	4	no	—
340	D₄	—	2	4	no	—
341	D₄	—	2	4	no	—
342	D₄	—	2	1	no	—
343	D₄	—	2	2	no	—
344	D₄	—	2	2	no	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	4	4	no	—
347	D₄	—	4	8	no	—
348	D₄	—	4	2	no	—
349	D₄	—	8	1	no	—
350	D₄	—	8	4	no	—
351	D₄	—	8	2	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	1	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	1	no	—
361	C₂×C₄	—	2	1	no	—
362	C₂×C₄	—	2	1	no	—
363	C₂×C₄	—	2	1	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	2	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	8	no	—
369	C₂×C₄	—	4	8	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	—	4	4	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	—	8	4	no	—
376	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
380	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
383	C₈	—	2	2	no	—
384	C₈	—	2	2	no	—
385	C₈	—	2	2	no	—
386	C₈	—	2	2	no	—
387	C₂²	—	2	1	no	—
388	C₂²	—	2	2	no	—
389	C₂²	—	2	4	no	—
390	C₂²	—	2	1	no	—
391	C₂²	—	2	4	no	—
392	C₂²	—	2	1	no	—
393	C₂²	—	2	4	no	—
394	C₂²	—	4	1	no	—
395	C₂²	—	4	1	no	—
396	C₂²	—	4	2	no	—
397	C₂²	—	4	2	no	—
398	C₂²	—	4	2	no	—
399	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
400	C₄	—	2	1	no	—
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	2	4	no	—
403	C₄	—	2	1	no	—
404	C₄	—	2	1	no	—
405	C₄	—	4	4	no	—
406	C₄	—	4	2	no	—
407	C₄	—	4	1	no	—
408	C₄	—	4	2	no	—
409	C₄	—	4	2	no	—
410	C₄	—	4	1	no	—
411	C₄	#577	1	2	yes	—
412	C₄	#578	1	2	yes	—
413	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
414	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
415	C₂	—	4	1	no	—
416	C₂	—	4	4	no	—
417	C₂	—	4	2	no	—
418	C₂	—	8	2	no	—
419	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
420	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
421	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3548	C₂	semidirect
2. #3499	C₂	semidirect
3. #3331	C₂	semidirect
4. #3330	C₂	semidirect
5. #3299	C₂	semidirect
6. #3298	C₂	semidirect
7. #3284	C₂	semidirect
8. #3283	C₂	semidirect
9. #3278	C₂	semidirect
10. #3276	C₂	semidirect
11. #3209	C₂	semidirect
12. #3206	C₂	semidirect
13. #3201	C₂	semidirect
14. #3107	C₂	semidirect
15. #3106	C₂	semidirect
16. #3013	C₂	semidirect
17. #2979	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3548	2
#3499	2
#3331	2
#3330	2
#3299	2
#3298	2
#3284	2
#3283	2
#3278	2
#3276	2
#3209	2
#3206	2
#3201	2
#3107	2
#3106	2
#3013	2
#2979	2