Subgroups — #616774

Order 512.

2722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#2862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×C₄×#124	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#15191	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#15144	C₂	1	2	yes	maximal
5	#14866	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#14708	C₂	1	2	yes	maximal
7	#14689	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#14243	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
9	#13942	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#13941	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₄²×C₄⋊C₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#124	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#2862	—	2	8	no	—
17	C₂×#393	C₂²	1	8	yes	—
18	C₄×#124	—	2	8	no	—
19	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
21	C₂×#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#391	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#390	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#390	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#388	C₂²	1	4	yes	—
26	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#382	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₂²⋊C₄	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₄³	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄³	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1446	C₂²	1	8	yes	—
35	#1442	C₂²	1	8	yes	—
36	#1441	C₂²	1	8	yes	—
37	#1439	C₂²	1	8	yes	—
38	#1439	C₂²	1	8	yes	—
39	#1437	C₂²	1	16	yes	—
40	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
41	C₄⋊#95	C₂²	1	4	yes	—
42	#1434	C₂²	1	16	yes	—
43	#1434	C₂²	1	8	yes	—
44	C₂²⋊#95	C₂²	1	8	yes	—
45	C₄×#95	C₂²	1	2	yes	—
46	C₄×#95	C₂²	1	4	yes	—
47	C₂³×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂³×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
49	C₂³×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	C₂⁴×C₄	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	—	4	8	no	—
53	C₂×#124	—	2	4	no	—
54	C₂×#124	—	2	4	no	—
55	C₂×#124	Q₈	1	8	yes	complemented
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	4	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	8	no	—
58	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
59	C₂×C₄×D₄	—	2	8	no	—
60	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	C₂³	1	16	yes	—
70	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄²	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	8	yes	—
73	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#393	—	2	32	no	—
79	#391	—	2	16	no	—
80	#391	—	2	16	no	—
81	#391	—	2	4	no	—
82	#391	—	4	8	no	—
83	#390	—	2	4	no	—
84	#390	—	4	8	no	—
85	#388	—	2	16	no	—
86	#382	—	2	8	no	—
87	#382	—	2	8	no	—
88	#382	—	2	4	no	—
89	C₄×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
90	C₄×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
91	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
92	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
93	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×#95	C₂³	1	8	yes	—
98	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
101	C₂×#95	C₂³	1	16	yes	—
102	C₂×#95	C₂³	1	4	yes	—
103	C₄³	—	2	8	no	—
104	C₄³	D₄	1	8	yes	—
105	C₂⁵	C₂⁴	1	2	yes	—
106	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
107	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
108	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
109	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
110	C₂²×Q₈	—	2	16	no	—
111	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
112	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
113	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
114	C₂²×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
115	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
116	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
117	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
118	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
119	C₂²×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
120	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
123	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
127	C₂³×C₄	C₂⁴	1	8	yes	—
128	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
130	C₂³×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
133	C₄⋊Q₈	—	4	32	no	—
134	#124	—	2	32	no	—
135	C₄×Q₈	—	4	16	no	—
136	C₄×D₄	—	4	16	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
150	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
155	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	16	no	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
157	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×Q₈	1	16	yes	—
160	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
161	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
163	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
164	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
165	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
166	C₂×C₄²	—	2	16	no	—
167	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
168	C₂×C₄²	—	2	8	no	—
169	C₂×C₄²	—	4	4	no	—
170	C₂×C₄²	—	4	8	no	—
171	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	8	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
177	C₂×C₄²	#41	1	4	yes	—
178	C₂×C₄²	#41	1	8	yes	—
179	#95	—	2	8	no	—
180	#95	—	2	8	no	—
181	#95	—	2	16	no	—
182	#95	—	2	8	no	—
183	#95	—	2	8	no	—
184	#95	—	2	8	no	—
185	#95	—	2	8	no	—
186	#95	—	2	32	no	—
187	#95	—	4	16	no	—
188	#95	—	4	16	no	—
189	#95	#41	1	16	yes	—
190	C₂⁴	—	2	2	no	—
191	C₂⁴	—	2	8	no	—
192	C₂⁴	—	2	2	no	—
193	C₂⁴	—	2	4	no	—
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	2	8	no	—
196	C₂⁴	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
197	C₂⁴	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
198	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
201	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
202	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
204	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
206	C₂×Q₈	—	8	32	no	—
207	C₂×D₄	—	2	8	no	—
208	C₂×D₄	—	2	16	no	—
209	C₂×D₄	—	4	4	no	—
210	C₂×D₄	—	4	4	no	—
211	C₂×D₄	—	4	8	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
233	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	16	no	—
239	C₂²×C₄	—	4	16	no	—
240	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
241	C₂²×C₄	—	8	16	no	—
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×#41	1	16	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×#41	1	8	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂×#41	1	4	yes	—
257	C₂²×C₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
258	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
260	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	4	16	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	4	16	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	8	32	no	—
268	C₄²	—	2	16	no	—
269	C₄²	—	2	8	no	—
270	C₄²	—	4	8	no	—
271	C₄²	—	4	32	no	—
272	C₄²	—	4	8	no	—
273	C₄²	—	4	16	no	—
274	C₄²	C₂²⋊Q₈	1	16	yes	—
275	C₄²	#124	1	16	yes	—
276	C₂³	—	2	4	no	—
277	C₂³	—	2	8	no	—
278	C₂³	—	2	16	no	—
279	C₂³	—	4	2	no	—
280	C₂³	—	4	4	no	—
281	C₂³	—	4	8	no	—
282	C₂³	—	4	2	no	—
283	C₂³	—	4	4	no	—
284	C₂³	—	4	4	no	—
285	C₂³	—	4	8	no	—
286	C₂³	—	4	8	no	—
287	C₂³	—	4	16	no	—
288	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂³	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
291	C₂³	C₂²×#41	1	2	yes	—
292	C₂³	C₂²×#41	1	4	yes	—
293	C₂³	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
294	C₂³	#585	1	4	yes	—
295	Q₈	—	4	16	no	—
296	Q₈	—	8	32	no	—
297	D₄	—	4	16	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	8	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂×C₄	—	2	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	2	16	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	16	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	16	no	—
313	C₂×C₄	—	2	16	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	4	8	no	—
320	C₂×C₄	—	4	8	no	—
321	C₂×C₄	—	4	2	no	—
322	C₂×C₄	—	4	2	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	8	no	—
325	C₂×C₄	—	4	8	no	—
326	C₂×C₄	—	4	8	no	—
327	C₂×C₄	—	4	4	no	—
328	C₂×C₄	—	4	8	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	16	no	—
331	C₂×C₄	—	4	16	no	—
332	C₂×C₄	—	8	16	no	—
333	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	8	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#124	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	#532	1	8	yes	—
339	C₂×C₄	#535	1	4	yes	—
340	C₂×C₄	#554	1	8	yes	—
341	C₂×C₄	#555	1	8	yes	—
342	C₂²	—	4	4	no	—
343	C₂²	—	4	8	no	—
344	C₂²	—	4	16	no	—
345	C₂²	—	8	2	no	—
346	C₂²	—	8	2	no	—
347	C₂²	—	8	4	no	—
348	C₂²	—	8	8	no	—
349	C₂²	C₂²×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
350	C₂²	C₂²×#124	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂×#532	1	2	yes	—
352	C₂²	#3444	1	4	yes	—
353	C₂²	C₂×#535	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#3449	1	2	yes	—
355	C₂²	C₂×#554	1	2	yes	—
356	C₂²	C₂×#555	1	2	yes	—
357	C₂²	#3475	1	4	yes	—
358	C₂²	Q₈×#41	1	4	yes	—
359	C₂²	#3510	1	4	yes	—
360	C₂²	#3514	1	8	yes	—
361	C₄	—	2	4	no	—
362	C₄	—	2	4	no	—
363	C₄	—	2	8	no	—
364	C₄	—	2	8	no	—
365	C₄	—	4	16	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	—	8	2	no	—
369	C₄	—	8	8	no	—
370	C₄	#2563	1	8	yes	—
371	C₂	—	8	4	no	—
372	C₂	C₂×#2563	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#34947	1	2	yes	—
374	C₂	#35131	1	2	yes	—
375	C₂	#35338	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#36195	1	4	yes	—
377	C₂	#36566	1	4	yes	—
378	C₂	#36639	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, commutator, Frattini, socle, cosocle	C₂⁴	C₂⁵
prime radical	C₂³×D₄	C₂³
LCS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ G
LECS	G ▷ C₂⁴ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#2862	C₂	semidirect
3. #15191	C₂	semidirect
5. #14866	C₂	semidirect
7. #14689	C₂	semidirect
8. #14243	C₂	semidirect
9. #13942	C₂	semidirect
11. C₄²×C₄⋊C₄	C₂	semidirect
55. C₂×#124	Q₈	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#2862	2
C₂×C₄×#124	2
#15191	2
#15144	2
#14866	2
#14708	2
#14689	2
#14243	2
#13942	2
#13941	2
C₄²×C₄⋊C₄	2