Subgroups — #61680

Order 256.

1048 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#3324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3311	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3302	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	D₄×SD₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3276	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3266	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3216	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3210	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3201	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#3110	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3009	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
15	#2981	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
19	#563	—	2	2	no	—
20	#559	—	2	1	no	—
21	Q₈²	—	2	1	no	—
22	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
24	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
25	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#547	—	2	1	no	—
27	#547	C₂²	1	2	yes	—
28	#546	—	2	2	no	—
29	#546	C₂²	1	4	yes	—
30	D₄²	—	2	1	no	—
31	D₄²	C₂²	1	2	yes	—
32	#542	—	2	2	no	—
33	#542	—	2	2	no	—
34	#537	C₂²	1	2	yes	—
35	#536	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#534	—	2	2	no	—
37	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#121	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
45	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#489	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#487	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#486	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#484	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#483	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#476	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#470	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#467	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#462	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#461	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#461	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#460	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#451	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#450	C₂²	1	2	yes	—
70	#450	C₂²	1	2	yes	—
71	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
73	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
74	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
75	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
76	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
77	#436	C₂²	1	2	yes	complemented
78	#435	C₂²	1	4	yes	complemented
79	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
80	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
81	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
82	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
83	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
84	#408	C₂²	1	4	yes	complemented
85	H(5,𝔽₂)	—	4	8	no	—
86	C₂×#41	—	2	2	no	—
87	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
92	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
97	#137	—	4	8	no	—
98	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
101	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
118	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#126	—	2	4	no	—
120	#126	—	2	4	no	—
121	#125	—	2	1	no	—
122	#125	—	2	1	no	—
123	#124	—	2	4	no	—
124	#124	—	2	2	no	—
125	#124	—	2	2	no	—
126	#124	D₄	1	2	yes	—
127	#124	C₂³	1	2	yes	—
128	#123	—	2	4	no	—
129	#123	—	2	4	no	—
130	#123	—	2	4	no	—
131	#123	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
137	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
138	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
139	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
141	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
142	#121	—	2	4	no	—
143	#121	—	2	2	no	—
144	#121	—	2	2	no	—
145	#121	—	2	1	no	—
146	#121	—	2	1	no	—
147	#121	—	2	2	no	—
148	#121	—	2	4	no	—
149	#121	D₄	1	2	yes	—
150	#121	D₄	1	2	yes	—
151	#121	C₂³	1	4	yes	—
152	#120	—	2	4	no	—
153	#120	—	2	4	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
158	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
159	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	2	2	no	—
162	C₄×D₄	—	2	1	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	—	2	1	no	—
165	C₄×D₄	—	2	1	no	—
166	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
167	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
168	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
170	#117	—	2	1	no	—
171	#117	—	2	1	no	—
172	#117	C₂³	1	4	yes	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
177	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	#107	C₂³	1	4	yes	—
179	#106	C₂³	1	2	yes	—
180	#106	C₂³	1	2	yes	—
181	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
182	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
183	#103	C₂³	1	4	yes	—
184	#103	C₂³	1	4	yes	—
185	#103	C₂³	1	2	yes	—
186	#103	C₂³	1	2	yes	—
187	#103	C₂³	1	4	yes	—
188	#102	C₂³	1	2	yes	—
189	#102	C₂³	1	4	yes	—
190	#102	C₂³	1	2	yes	—
191	#102	C₂³	1	4	yes	—
192	#102	C₂³	1	4	yes	—
193	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
194	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
195	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
196	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
197	#97	C₂³	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
200	C₂⁴	—	2	1	no	—
201	C₂⁴	—	2	4	no	—
202	#41	—	2	8	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	#41	—	4	4	no	—
206	#41	—	4	8	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
208	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
212	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
214	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
215	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	2	8	no	—
218	C₂×D₄	—	2	4	no	—
219	C₂×D₄	—	2	2	no	—
220	C₂×D₄	—	2	4	no	—
221	C₂×D₄	—	2	1	no	—
222	C₂×D₄	—	2	1	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	1	no	—
225	C₂×D₄	—	4	4	no	—
226	C₂×D₄	—	4	8	no	—
227	C₂×D₄	—	4	16	no	—
228	C₂×D₄	—	8	4	no	—
229	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
230	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
231	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
233	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
234	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
242	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
246	Q₁₆	—	4	4	no	—
247	Q₁₆	—	4	4	no	—
248	SD₁₆	—	2	4	no	—
249	SD₁₆	—	2	8	no	—
250	SD₁₆	—	2	4	no	—
251	SD₁₆	—	4	4	no	—
252	SD₁₆	—	4	4	no	—
253	M₁₆	—	4	4	no	—
254	C₂×C₈	—	4	4	no	—
255	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
258	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
275	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
276	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
277	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
278	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
291	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
292	C₄²	—	2	2	no	—
293	C₄²	—	2	2	no	—
294	C₄²	—	2	4	no	—
295	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
296	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	—	2	4	no	—
300	C₂³	—	2	2	no	—
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	4	8	no	—
303	C₂³	—	8	1	no	—
304	C₂³	—	8	1	no	—
305	C₂³	—	8	4	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
308	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	2	2	no	—
310	Q₈	—	2	4	no	—
311	Q₈	—	2	2	no	—
312	Q₈	—	2	4	no	—
313	Q₈	—	4	2	no	—
314	Q₈	—	4	2	no	—
315	Q₈	—	4	2	no	—
316	Q₈	—	8	4	no	—
317	D₄	—	2	4	no	—
318	D₄	—	2	4	no	—
319	D₄	—	2	2	no	—
320	D₄	—	2	4	no	—
321	D₄	—	4	2	no	—
322	D₄	—	4	4	no	—
323	D₄	—	4	2	no	—
324	D₄	—	4	8	no	—
325	D₄	—	4	8	no	—
326	D₄	—	4	4	no	—
327	D₄	—	4	2	no	—
328	D₄	—	8	1	no	—
329	D₄	—	8	4	no	—
330	D₄	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	2	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	1	no	—
342	C₂×C₄	—	4	8	no	—
343	C₂×C₄	—	4	4	no	—
344	C₂×C₄	—	4	4	no	—
345	C₂×C₄	—	8	2	no	—
346	C₂×C₄	—	8	1	no	—
347	C₂×C₄	—	8	4	no	—
348	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
350	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
352	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
355	C₈	—	2	2	no	—
356	C₈	—	2	4	no	—
357	C₈	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	2	4	no	—
360	C₂²	—	2	4	no	—
361	C₂²	—	2	1	no	—
362	C₂²	—	2	4	no	—
363	C₂²	—	2	1	no	—
364	C₂²	—	2	4	no	—
365	C₂²	—	4	2	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	2	no	—
369	C₂²	—	4	2	no	—
370	C₂²	—	8	4	no	—
371	C₂²	—	16	8	no	—
372	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₄	—	2	1	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	2	1	no	—
376	C₄	—	2	4	no	—
377	C₄	—	2	1	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	2	no	—
381	C₄	—	4	2	no	—
382	C₄	—	4	2	no	—
383	C₄	—	4	2	no	—
384	C₄	#577	1	2	yes	—
385	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
386	C₂	—	4	1	no	—
387	C₂	—	4	4	no	—
388	C₂	—	4	4	no	—
389	C₂	—	8	2	no	—
390	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
391	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3496	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3550	C₂	semidirect
3. #3324	C₂	semidirect
4. #3311	C₂	semidirect
5. #3302	C₂	semidirect
6. D₄×SD₁₆	C₂	semidirect
7. #3276	C₂	semidirect
8. #3266	C₂	semidirect
9. #3216	C₂	semidirect
10. #3210	C₂	semidirect
11. #3201	C₂	semidirect
12. #3110	C₂	semidirect
13. #3101	C₂	semidirect
14. #3009	C₂	semidirect
15. #2981	C₂	semidirect
17. C₂×#137	C₂²	semidirect
18. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
22. #556	C₂²	semidirect
23. #556	C₂²	semidirect
24. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
25. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
35. #536	C₂²	semidirect
37. #533	C₂²	semidirect
38. #533	C₂²	semidirect
43. #497	C₂²	semidirect
44. #494	C₂²	semidirect
45. #492	C₂²	semidirect
46. #489	C₂²	semidirect
47. #487	C₂²	semidirect
48. #486	C₂²	semidirect
49. #485	C₂²	semidirect
50. #484	C₂²	semidirect
51. #483	C₂²	semidirect
52. #482	C₂²	semidirect
53. #476	C₂²	semidirect
54. #474	C₂²	semidirect
55. #470	C₂²	semidirect
56. #468	C₂²	semidirect
57. #467	C₂²	semidirect
58. #465	C₂²	semidirect
59. #464	C₂²	semidirect
60. #462	C₂²	semidirect
61. #461	C₂²	semidirect
62. #461	C₂²	semidirect
63. #460	C₂²	semidirect
64. #452	C₂²	semidirect
65. #452	C₂²	semidirect
66. #452	C₂²	semidirect
67. #452	C₂²	semidirect
68. #451	C₂²	semidirect
71. #450	C₂²	semidirect
72. #450	C₂²	semidirect
73. #448	C₂²	semidirect
74. #440	C₂²	semidirect
75. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
76. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
77. #436	C₂²	semidirect
78. #435	C₂²	semidirect
79. C₈×D₄	C₂²	semidirect
80. #432	C₂²	semidirect
81. #431	C₂²	semidirect
82. #418	C₂²	semidirect
83. #416	C₂²	semidirect
84. #408	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3550	2
#3496	2
#3324	2
#3311	2
#3302	2
D₄×SD₁₆	2
#3276	2
#3266	2
#3216	2
#3210	2
#3201	2
#3110	2
#3101	2
#3009	2
#2981	2