Subgroups — #61682

Order 256.

1070 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 404 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3549	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3497	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3321	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3305	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	D₄×SD₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3265	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3207	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3198	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#3112	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3010	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
15	#2981	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	1	2	yes	complemented
17	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
18	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
19	H(3,𝔽₄)	—	2	2	no	—
20	#555	—	2	1	no	—
21	#555	C₂²	1	2	yes	—
22	#555	C₂²	1	2	yes	—
23	#550	—	2	1	no	—
24	#550	C₂²	1	2	yes	complemented
25	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
26	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#548	—	2	2	no	—
28	#548	C₂²	1	4	yes	complemented
29	D₄²	—	2	1	no	—
30	D₄²	C₂²	1	2	yes	—
31	D₄²	C₂²	1	2	yes	—
32	#537	—	2	2	no	—
33	#537	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#535	—	2	2	no	—
35	#535	—	2	2	no	—
36	#535	C₂²	1	4	yes	—
37	#532	—	2	2	no	—
38	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
43	#496	C₂²	1	2	yes	—
44	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#489	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#487	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#486	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
49	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#481	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#480	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#477	C₂²	1	2	yes	complemented
54	#475	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#469	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#466	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#461	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#460	C₂²	1	2	yes	—
62	#460	C₂²	1	2	yes	—
63	#459	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#448	C₂²	1	2	yes	complemented
71	#448	C₂²	1	2	yes	complemented
72	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
73	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
74	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
75	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
76	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
77	#436	C₂²	1	2	yes	complemented
78	#435	C₂²	1	4	yes	complemented
79	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
80	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
81	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
82	#419	C₂²	1	4	yes	complemented
83	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
84	#408	C₂²	1	4	yes	complemented
85	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
86	C₂×#41	—	2	4	no	—
87	C₂×#41	—	2	2	no	—
88	C₂×#41	—	2	1	no	—
89	C₂×#41	—	2	1	no	—
90	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
94	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
96	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
97	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
98	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
99	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
100	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
101	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#127	—	2	2	no	—
116	#127	—	2	4	no	—
117	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
118	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	#124	—	2	4	no	—
122	#124	—	2	4	no	—
123	#124	—	2	4	no	—
124	#124	—	2	4	no	—
125	#124	—	2	1	no	—
126	#124	—	2	1	no	—
127	#124	D₄	1	2	yes	—
128	#124	C₂³	1	2	yes	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
133	#121	—	2	4	no	—
134	#121	—	2	2	no	—
135	#121	—	2	2	no	—
136	#121	—	2	4	no	—
137	#121	—	2	2	no	—
138	#121	—	2	1	no	—
139	#121	—	2	1	no	—
140	#121	—	2	1	no	—
141	#121	—	2	1	no	—
142	#121	—	2	2	no	—
143	#121	—	2	2	no	—
144	#121	—	2	4	no	—
145	#121	D₄	1	2	yes	—
146	#121	D₄	1	2	yes	—
147	#121	C₂³	1	2	yes	—
148	#121	C₂³	1	2	yes	—
149	#121	C₂³	1	4	yes	—
150	#121	C₂³	1	4	yes	—
151	#121	C₂³	1	4	yes	—
152	#120	—	2	4	no	—
153	#120	—	2	4	no	—
154	#120	—	2	4	no	—
155	#120	—	2	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
158	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
159	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	—	2	2	no	—
162	C₄×D₄	—	2	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	—	2	1	no	—
165	C₄×D₄	—	2	1	no	—
166	C₄×D₄	—	2	1	no	—
167	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
168	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
170	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	C₂³	1	4	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
177	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	#107	C₂³	1	4	yes	—
179	#106	C₂³	1	2	yes	—
180	#106	C₂³	1	2	yes	—
181	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
182	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
183	#103	C₂³	1	2	yes	—
184	#103	C₂³	1	4	yes	—
185	#103	C₂³	1	2	yes	—
186	#103	C₂³	1	4	yes	—
187	#103	C₂³	1	4	yes	—
188	#102	C₂³	1	4	yes	—
189	#102	C₂³	1	4	yes	—
190	#102	C₂³	1	2	yes	—
191	#102	C₂³	1	2	yes	—
192	#102	C₂³	1	4	yes	—
193	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
194	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
195	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
196	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
197	#97	C₂³	1	2	yes	—
198	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
200	C₂⁴	—	2	4	no	—
201	#41	—	2	8	no	—
202	#41	—	4	4	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	#41	—	4	16	no	—
206	#41	—	4	8	no	—
207	#41	—	8	2	no	—
208	#41	—	8	2	no	—
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
213	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
214	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
215	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
216	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
217	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂×D₄	—	2	2	no	—
221	C₂×D₄	—	2	4	no	—
222	C₂×D₄	—	2	4	no	—
223	C₂×D₄	—	2	4	no	—
224	C₂×D₄	—	2	4	no	—
225	C₂×D₄	—	2	2	no	—
226	C₂×D₄	—	2	2	no	—
227	C₂×D₄	—	2	1	no	—
228	C₂×D₄	—	2	1	no	—
229	C₂×D₄	—	2	1	no	—
230	C₂×D₄	—	2	1	no	—
231	C₂×D₄	—	2	1	no	—
232	C₂×D₄	—	2	1	no	—
233	C₂×D₄	—	2	4	no	—
234	C₂×D₄	—	4	4	no	—
235	C₂×D₄	—	4	4	no	—
236	C₂×D₄	—	8	4	no	—
237	C₂×D₄	—	8	4	no	—
238	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
239	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
241	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
242	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
243	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
244	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
246	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
256	SD₁₆	—	2	4	no	—
257	SD₁₆	—	2	8	no	—
258	SD₁₆	—	2	4	no	—
259	SD₁₆	—	4	4	no	—
260	SD₁₆	—	4	4	no	—
261	D₈	—	4	4	no	—
262	D₈	—	4	4	no	—
263	M₁₆	—	4	4	no	—
264	C₂×C₈	—	4	4	no	—
265	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
277	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
278	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
279	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
293	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
294	C₄²	—	2	2	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
301	C₂³	—	2	2	no	—
302	C₂³	—	2	2	no	—
303	C₂³	—	2	2	no	—
304	C₂³	—	8	4	no	—
305	C₂³	—	8	4	no	—
306	C₂³	—	8	4	no	—
307	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
308	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	Q₈	—	2	4	no	—
310	Q₈	—	2	2	no	—
311	Q₈	—	2	4	no	—
312	Q₈	—	4	2	no	—
313	Q₈	—	4	8	no	—
314	Q₈	—	8	1	no	—
315	Q₈	—	8	1	no	—
316	Q₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
317	D₄	—	2	4	no	—
318	D₄	—	2	2	no	—
319	D₄	—	2	4	no	—
320	D₄	—	2	4	no	—
321	D₄	—	2	2	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	D₄	—	4	2	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	4	8	no	—
326	D₄	—	4	2	no	—
327	D₄	—	4	4	no	—
328	D₄	—	4	2	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	8	1	no	—
331	D₄	—	8	4	no	—
332	D₄	—	8	1	no	—
333	D₄	—	8	1	no	—
334	D₄	—	8	4	no	—
335	D₄	—	8	4	no	—
336	D₄	—	8	4	no	—
337	D₄	—	8	2	no	—
338	D₄	—	8	2	no	—
339	C₂×C₄	—	2	4	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	2	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	4	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	8	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	4	no	—
353	C₂×C₄	—	4	4	no	—
354	C₂×C₄	—	4	4	no	—
355	C₂×C₄	—	8	1	no	—
356	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
358	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
360	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
363	C₈	—	2	2	no	—
364	C₈	—	2	4	no	—
365	C₈	—	2	2	no	—
366	C₂²	—	2	1	no	—
367	C₂²	—	2	4	no	—
368	C₂²	—	2	1	no	—
369	C₂²	—	2	4	no	—
370	C₂²	—	2	1	no	—
371	C₂²	—	2	4	no	—
372	C₂²	—	4	2	no	—
373	C₂²	—	4	2	no	—
374	C₂²	—	4	2	no	—
375	C₂²	—	4	2	no	—
376	C₂²	—	4	2	no	—
377	C₂²	—	4	2	no	—
378	C₂²	—	4	2	no	—
379	C₂²	—	4	2	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	16	8	no	—
382	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
383	C₄	—	2	1	no	—
384	C₄	—	2	1	no	—
385	C₄	—	2	4	no	—
386	C₄	—	2	1	no	—
387	C₄	—	2	4	no	—
388	C₄	—	2	1	no	—
389	C₄	—	4	2	no	—
390	C₄	—	4	2	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	#577	1	2	yes	—
394	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
395	C₂	—	4	1	no	—
396	C₂	—	4	4	no	—
397	C₂	—	8	2	no	—
398	C₂	—	8	2	no	—
399	C₂	—	8	2	no	—
400	C₂	#3484	1	1	yes	characteristic
401	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
402	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3549	C₂	semidirect
2. #3497	C₂	semidirect
3. #3329	C₂	semidirect
4. #3321	C₂	semidirect
5. #3305	C₂	semidirect
6. D₄×SD₁₆	C₂	semidirect
7. #3274	C₂	semidirect
8. #3265	C₂	semidirect
9. #3214	C₂	semidirect
10. #3207	C₂	semidirect
11. #3198	C₂	semidirect
12. #3112	C₂	semidirect
13. #3103	C₂	semidirect
14. #3010	C₂	semidirect
15. #2981	C₂	semidirect
16. C₂×2₋¹⁺⁴	C₂²	semidirect
17. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
18. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
24. #550	C₂²	semidirect
26. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
28. #548	C₂²	semidirect
33. #537	C₂²	semidirect
41. #532	C₂²	semidirect
42. C₂×C₄×Q₈	C₂²	semidirect
46. #489	C₂²	semidirect
47. #487	C₂²	semidirect
48. #486	C₂²	semidirect
49. #485	C₂²	semidirect
50. #482	C₂²	semidirect
51. #481	C₂²	semidirect
52. #480	C₂²	semidirect
53. #477	C₂²	semidirect
54. #475	C₂²	semidirect
55. #469	C₂²	semidirect
56. #468	C₂²	semidirect
57. #466	C₂²	semidirect
58. #465	C₂²	semidirect
59. #463	C₂²	semidirect
60. #461	C₂²	semidirect
63. #459	C₂²	semidirect
64. #450	C₂²	semidirect
65. #449	C₂²	semidirect
66. #449	C₂²	semidirect
67. #449	C₂²	semidirect
68. #449	C₂²	semidirect
69. #448	C₂²	semidirect
70. #448	C₂²	semidirect
71. #448	C₂²	semidirect
72. #448	C₂²	semidirect
73. #447	C₂²	semidirect
74. #440	C₂²	semidirect
75. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
76. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
77. #436	C₂²	semidirect
78. #435	C₂²	semidirect
79. C₈×D₄	C₂²	semidirect
80. #432	C₂²	semidirect
81. #431	C₂²	semidirect
82. #419	C₂²	semidirect
83. #416	C₂²	semidirect
84. #408	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3549	2
#3497	2
#3329	2
#3321	2
#3305	2
D₄×SD₁₆	2
#3274	2
#3265	2
#3214	2
#3207	2
#3198	2
#3112	2
#3103	2
#3010	2
#2981	2