Subgroups — #61700

Order 256.

921 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 330 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3341	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3340	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3305	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3303	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3230	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3227	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3188	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#3101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3100	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3091	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2972	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#559	—	2	2	no	—
15	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
16	#555	—	2	2	no	—
17	#555	—	2	2	no	—
18	#555	C₂²	1	4	yes	—
19	#555	C₂²	1	4	yes	—
20	#555	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#553	—	2	2	no	—
22	#550	C₂²	1	2	yes	complemented
23	#547	C₂²	1	2	yes	complemented
24	#538	—	2	2	no	—
25	#535	—	2	1	no	—
26	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#124	—	2	2	no	—
30	#525	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#121	—	2	1	no	—
32	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
33	#520	—	2	1	no	—
34	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#117	—	2	1	no	—
37	C₂×#117	C₂²	1	2	yes	—
38	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#498	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#485	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#484	C₂²	1	4	yes	—
44	#483	C₂²	1	2	yes	—
45	#482	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#482	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#481	C₂²	1	4	yes	—
48	#480	C₂²	1	2	yes	—
49	#477	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#476	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#476	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#466	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#465	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#461	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#459	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#450	C₂²	1	2	yes	—
58	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#447	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
61	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	complemented
62	C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
63	C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#427	C₂²	1	8	yes	complemented
67	#416	C₂²	1	8	yes	complemented
68	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	4	yes	—
69	C₂×#41	—	2	1	no	—
70	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
72	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
76	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₈	C₂³	1	8	yes	—
80	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
81	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
82	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
85	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	#127	—	2	2	no	—
88	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#126	—	2	4	no	—
90	#125	—	2	1	no	—
91	#124	—	2	2	no	—
92	#124	—	2	8	no	—
93	#124	—	2	8	no	—
94	#124	—	2	4	no	—
95	#124	—	2	1	no	—
96	#123	—	2	4	no	—
97	#123	—	2	4	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
99	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
101	#121	—	2	4	no	—
102	#121	—	2	4	no	—
103	#121	—	2	2	no	—
104	#121	—	2	2	no	—
105	#121	—	2	4	no	—
106	#121	—	2	1	no	—
107	#121	—	2	4	no	—
108	#121	C₂³	1	8	yes	—
109	#121	C₂³	1	2	yes	—
110	#121	C₂³	1	4	yes	—
111	#120	—	2	4	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄×D₄	—	2	4	no	—
116	C₄×D₄	—	2	4	no	—
117	C₄×D₄	—	2	2	no	—
118	C₄×D₄	—	2	1	no	—
119	C₄×D₄	—	2	1	no	—
120	C₄×D₄	—	2	1	no	—
121	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
122	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
123	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
124	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
125	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
126	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
128	#117	—	2	4	no	—
129	#117	—	2	1	no	—
130	#117	—	2	4	no	—
131	#117	—	2	4	no	—
132	#117	—	2	2	no	—
133	#117	C₂³	1	8	yes	—
134	#117	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
140	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
141	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	#107	C₂³	1	4	yes	—
147	#107	C₂³	1	8	yes	—
148	#106	C₂³	1	4	yes	—
149	#106	C₂³	1	8	yes	—
150	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
151	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
152	#103	C₂³	1	4	yes	—
153	#103	C₂³	1	8	yes	—
154	#102	C₂³	1	4	yes	—
155	#102	C₂³	1	8	yes	—
156	#102	C₂³	1	4	yes	—
157	#102	C₂³	1	4	yes	—
158	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
160	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
161	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
162	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
163	C₂⁴	—	2	1	no	—
164	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
165	#41	—	4	8	no	—
166	#41	—	4	4	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
172	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
173	C₂×D₄	—	2	2	no	—
174	C₂×D₄	—	2	4	no	—
175	C₂×D₄	—	2	4	no	—
176	C₂×D₄	—	2	8	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	1	no	—
179	C₂×D₄	—	2	1	no	—
180	C₂×D₄	—	2	1	no	—
181	C₂×D₄	—	4	2	no	—
182	C₂×D₄	—	8	4	no	—
183	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
184	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
185	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
186	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
187	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
196	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
201	SD₁₆	—	4	4	no	—
202	D₈	—	4	4	no	—
203	C₂×C₈	—	4	8	no	—
204	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
206	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
217	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
234	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
235	C₄²	—	2	8	no	—
236	C₄²	—	2	4	no	—
237	C₄²	—	2	2	no	—
238	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
242	C₂³	—	2	4	no	—
243	C₂³	—	2	2	no	—
244	C₂³	—	2	2	no	—
245	C₂³	—	4	2	no	—
246	C₂³	—	4	2	no	—
247	C₂³	—	4	2	no	—
248	C₂³	—	4	2	no	—
249	C₂³	—	4	2	no	—
250	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
251	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	Q₈	—	2	4	no	—
253	Q₈	—	4	2	no	—
254	Q₈	—	8	1	no	—
255	Q₈	—	8	2	no	—
256	Q₈	—	8	2	no	—
257	D₄	—	2	4	no	—
258	D₄	—	2	4	no	—
259	D₄	—	2	2	no	—
260	D₄	—	2	4	no	—
261	D₄	—	2	2	no	—
262	D₄	—	4	2	no	—
263	D₄	—	4	4	no	—
264	D₄	—	4	2	no	—
265	D₄	—	8	1	no	—
266	D₄	—	8	4	no	—
267	D₄	—	8	8	no	—
268	D₄	—	8	4	no	—
269	C₂×C₄	—	2	8	no	—
270	C₂×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	2	2	no	—
274	C₂×C₄	—	2	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	4	4	no	—
277	C₂×C₄	—	4	2	no	—
278	C₂×C₄	—	4	1	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂×C₄	—	4	4	no	—
284	C₂×C₄	—	8	4	no	—
285	C₂×C₄	#135	1	4	yes	—
286	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
293	C₈	—	2	4	no	—
294	C₈	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	2	1	no	—
296	C₂²	—	2	1	no	—
297	C₂²	—	2	4	no	—
298	C₂²	—	2	4	no	—
299	C₂²	—	2	4	no	—
300	C₂²	—	4	2	no	—
301	C₂²	—	4	2	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	4	2	no	—
305	C₂²	—	4	2	no	—
306	C₂²	—	8	4	no	—
307	C₂²	—	8	4	no	—
308	C₂²	C₂×#135	1	2	yes	—
309	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄	—	2	1	no	—
311	C₄	—	2	1	no	—
312	C₄	—	2	1	no	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	4	4	no	—
315	C₄	—	4	2	no	—
316	C₄	—	4	2	no	—
317	C₄	—	4	2	no	—
318	C₄	—	4	2	no	—
319	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
320	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
321	C₄	#585	1	2	yes	—
322	C₂	—	2	2	no	—
323	C₂	—	4	4	no	—
324	C₂	—	8	2	no	—
325	C₂	—	8	2	no	—
326	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
327	C₂	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
328	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3506	C₂	semidirect
2. C₂×#555	C₂	semidirect
3. #3341	C₂	semidirect
4. #3340	C₂	semidirect
5. #3305	C₂	semidirect
6. #3303	C₂	semidirect
7. #3230	C₂	semidirect
8. #3227	C₂	semidirect
9. #3188	C₂	semidirect
10. #3101	C₂	semidirect
11. #3100	C₂	semidirect
12. #3091	C₂	semidirect
13. #2972	C₂	semidirect
15. #556	C₂²	semidirect
20. #555	C₂²	semidirect
22. #550	C₂²	semidirect
23. #547	C₂²	semidirect
38. #500	C₂²	semidirect
39. #498	C₂²	semidirect
40. #487	C₂²	semidirect
41. #486	C₂²	semidirect
42. #485	C₂²	semidirect
45. #482	C₂²	semidirect
46. #482	C₂²	semidirect
49. #477	C₂²	semidirect
50. #476	C₂²	semidirect
51. #476	C₂²	semidirect
52. #474	C₂²	semidirect
53. #466	C₂²	semidirect
54. #465	C₂²	semidirect
55. #461	C₂²	semidirect
56. #459	C₂²	semidirect
58. #449	C₂²	semidirect
60. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
61. C₄×D₈	C₂²	semidirect
62. C₈×D₄	C₂²	semidirect
63. C₈×D₄	C₂²	semidirect
66. #427	C₂²	semidirect
67. #416	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3506	2
C₂×#555	2
#3341	2
#3340	2
#3305	2
#3303	2
#3230	2
#3227	2
#3188	2
#3101	2
#3100	2
#3091	2
#2972	2