Subgroups — #61719

Order 256.

899 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 321 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3506	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3357	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3356	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3333	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3331	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3230	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3227	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3196	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#3104	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3092	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#2975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#559	—	2	2	no	—
15	#556	C₂²	1	2	yes	—
16	#555	C₂²	1	2	yes	—
17	#554	—	2	2	no	—
18	#554	—	2	2	no	—
19	#554	C₂²	1	4	yes	—
20	#554	C₂²	1	4	yes	—
21	#553	—	2	2	no	—
22	#550	C₂²	1	2	yes	—
23	#547	C₂²	1	2	yes	—
24	#538	—	2	2	no	—
25	#535	—	2	1	no	—
26	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#125	—	2	1	no	—
30	#525	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
32	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
33	#520	—	2	1	no	—
34	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₄×D₄	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂²×C₄⋊C₄	C₂²	1	2	yes	—
38	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#498	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#485	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#484	C₂²	1	2	yes	—
44	#484	C₂²	1	4	yes	—
45	#483	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#481	C₂²	1	2	yes	—
47	#481	C₂²	1	4	yes	—
48	#480	C₂²	1	8	yes	complemented
49	#477	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#477	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#476	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#475	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#470	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#468	C₂²	1	8	yes	complemented
55	#462	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#460	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
58	#451	C₂²	1	2	yes	—
59	#448	C₂²	1	2	yes	—
60	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
61	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#436	C₂²	1	4	yes	—
63	#436	C₂²	1	4	yes	—
64	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#428	C₂²	1	8	yes	complemented
67	#417	C₂²	1	8	yes	complemented
68	#407	C₂²	1	4	yes	—
69	C₂×#41	—	2	1	no	—
70	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
72	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
75	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×M₁₆	C₂³	1	8	yes	—
79	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
80	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
81	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
85	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#127	—	2	2	no	—
87	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#126	—	2	4	no	—
89	#125	—	2	4	no	—
90	#125	—	2	4	no	—
91	#125	—	2	1	no	—
92	#124	—	2	2	no	—
93	#124	—	2	4	no	—
94	#124	—	2	1	no	—
95	#123	—	2	4	no	—
96	#123	—	2	4	no	—
97	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
98	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
99	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
100	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
101	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
102	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
104	#121	—	2	2	no	—
105	#121	—	2	2	no	—
106	#121	—	2	1	no	—
107	#121	—	2	4	no	—
108	#121	C₂³	1	2	yes	—
109	#121	C₂³	1	4	yes	—
110	#120	—	2	4	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
112	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
113	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
114	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
115	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
117	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
118	C₄×D₄	—	2	4	no	—
119	C₄×D₄	—	2	4	no	—
120	C₄×D₄	—	2	4	no	—
121	C₄×D₄	—	2	4	no	—
122	C₄×D₄	—	2	2	no	—
123	C₄×D₄	—	2	1	no	—
124	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
125	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
126	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
127	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
128	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
129	#117	—	2	1	no	—
130	#117	—	2	2	no	—
131	#117	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
135	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
136	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	8	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
145	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	#107	C₂³	1	4	yes	—
147	#107	C₂³	1	8	yes	—
148	#106	C₂³	1	4	yes	—
149	#106	C₂³	1	8	yes	—
150	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
151	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
152	#103	C₂³	1	4	yes	—
153	#103	C₂³	1	8	yes	—
154	#103	C₂³	1	4	yes	—
155	#103	C₂³	1	4	yes	—
156	#102	C₂³	1	4	yes	—
157	#102	C₂³	1	8	yes	—
158	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
160	C₂²⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
161	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
162	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
163	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	#41	—	4	8	no	—
165	#41	—	4	4	no	—
166	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
167	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
168	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
169	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
170	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
171	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
172	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
173	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
174	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
175	C₂×D₄	—	2	2	no	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	1	no	—
180	C₂×D₄	—	2	1	no	—
181	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
182	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
183	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
184	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
192	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
194	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
195	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
198	Q₁₆	—	4	4	no	—
199	SD₁₆	—	4	4	no	—
200	M₁₆	—	4	8	no	—
201	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
202	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
203	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
204	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
206	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
207	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
213	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
214	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
215	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
216	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
217	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
218	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
222	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
225	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₄²	—	2	2	no	—
234	C₄²	—	2	2	no	—
235	C₄²	—	2	4	no	—
236	C₄²	—	2	2	no	—
237	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
238	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₂³	—	2	4	no	—
242	C₂³	—	2	2	no	—
243	C₂³	—	4	2	no	—
244	C₂³	—	4	2	no	—
245	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
246	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
247	Q₈	—	2	2	no	—
248	Q₈	—	2	2	no	—
249	Q₈	—	2	4	no	—
250	Q₈	—	4	2	no	—
251	Q₈	—	4	2	no	—
252	Q₈	—	8	1	no	—
253	Q₈	—	8	2	no	—
254	Q₈	—	8	2	no	—
255	D₄	—	2	4	no	—
256	D₄	—	2	4	no	—
257	D₄	—	2	4	no	—
258	D₄	—	4	4	no	—
259	D₄	—	4	2	no	—
260	D₄	—	8	1	no	—
261	D₄	—	8	4	no	—
262	D₄	—	8	4	no	—
263	C₂×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₄	—	4	4	no	—
272	C₂×C₄	—	4	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	1	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	—	4	4	no	—
276	C₂×C₄	—	4	2	no	—
277	C₂×C₄	—	4	4	no	—
278	C₂×C₄	—	8	4	no	—
279	C₂×C₄	—	8	8	no	—
280	C₂×C₄	#137	1	4	yes	—
281	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
284	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
285	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
288	C₈	—	2	4	no	—
289	C₈	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	2	1	no	—
291	C₂²	—	2	1	no	—
292	C₂²	—	2	4	no	—
293	C₂²	—	2	4	no	—
294	C₂²	—	2	4	no	—
295	C₂²	—	4	8	no	—
296	C₂²	—	4	2	no	—
297	C₂²	—	4	2	no	—
298	C₂²	—	4	2	no	—
299	C₂²	C₂×#137	1	2	yes	—
300	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄	—	2	1	no	—
302	C₄	—	2	1	no	—
303	C₄	—	2	1	no	—
304	C₄	—	2	4	no	—
305	C₄	—	4	2	no	—
306	C₄	—	4	4	no	—
307	C₄	—	4	2	no	—
308	C₄	—	4	2	no	—
309	C₄	—	4	2	no	—
310	C₄	—	4	2	no	—
311	C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
312	C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
313	C₄	#585	1	2	yes	—
314	C₂	—	2	2	no	—
315	C₂	—	4	4	no	—
316	C₂	—	8	2	no	—
317	C₂	#3485	1	1	yes	characteristic
318	C₂	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
319	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3506	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#554	C₂	semidirect
3. #3357	C₂	semidirect
4. #3356	C₂	semidirect
5. #3333	C₂	semidirect
6. #3331	C₂	semidirect
7. #3230	C₂	semidirect
8. #3227	C₂	semidirect
9. #3196	C₂	semidirect
10. #3104	C₂	semidirect
11. #3103	C₂	semidirect
12. #3092	C₂	semidirect
13. #2975	C₂	semidirect
38. #500	C₂²	semidirect
39. #498	C₂²	semidirect
40. #487	C₂²	semidirect
41. #486	C₂²	semidirect
42. #485	C₂²	semidirect
45. #483	C₂²	semidirect
48. #480	C₂²	semidirect
49. #477	C₂²	semidirect
50. #477	C₂²	semidirect
51. #476	C₂²	semidirect
52. #475	C₂²	semidirect
53. #470	C₂²	semidirect
54. #468	C₂²	semidirect
55. #462	C₂²	semidirect
56. #460	C₂²	semidirect
57. #452	C₂²	semidirect
60. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
61. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
66. #428	C₂²	semidirect
67. #417	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3506	2
C₂×#554	2
#3357	2
#3356	2
#3333	2
#3331	2
#3230	2
#3227	2
#3196	2
#3104	2
#3103	2
#3092	2
#2975	2