Subgroups — #61836

Order 256.

862 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 419 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3522	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#557	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3388	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3381	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3371	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3368	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3365	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3239	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3234	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3232	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3227	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3117	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3112	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3108	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#3103	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	#2984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#559	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#559	C₂²	1	2	yes	—
20	Q₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#557	—	2	1	no	—
22	#557	—	2	1	no	—
23	#557	—	2	2	no	—
24	#557	C₂²	1	2	yes	—
25	#557	C₂²	1	2	yes	—
26	#557	C₂²	1	4	yes	—
27	#554	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#554	C₂²	1	2	yes	—
29	#550	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#548	—	2	1	no	—
31	#547	—	2	1	no	—
32	#547	—	2	2	no	—
33	#542	—	2	2	no	—
34	#542	—	2	1	no	—
35	#532	C₂²	1	2	yes	—
36	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#529	C₂²	1	2	yes	—
41	C₂×#125	—	2	2	no	—
42	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
43	#520	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#501	C₂²	1	4	yes	—
49	#501	C₂²	1	2	yes	—
50	#499	C₂²	1	4	yes	—
51	#498	C₂²	1	2	yes	—
52	#490	C₂²	1	4	yes	—
53	#489	C₂²	1	2	yes	—
54	#488	C₂²	1	4	yes	—
55	#486	C₂²	1	2	yes	—
56	#484	C₂²	1	2	yes	—
57	#483	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#481	C₂²	1	2	yes	—
59	#481	C₂²	1	2	yes	—
60	#481	C₂²	1	2	yes	—
61	#480	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	#480	C₂²	1	2	yes	—
63	#479	C₂²	1	2	yes	—
64	#479	C₂²	1	4	yes	—
65	#479	C₂²	1	4	yes	—
66	#478	C₂²	1	4	yes	—
67	#478	C₂²	1	4	yes	—
68	#478	C₂²	1	4	yes	—
69	#477	C₂²	1	2	yes	—
70	#476	C₂²	1	4	yes	—
71	#475	C₂²	1	4	yes	—
72	#475	C₂²	1	2	yes	—
73	#474	C₂²	1	2	yes	—
74	#464	C₂²	1	2	yes	—
75	#464	C₂²	1	4	yes	—
76	#460	C₂²	1	4	yes	—
77	#460	C₂²	1	2	yes	—
78	#451	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	#448	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	#448	C₂²	1	2	yes	—
81	#446	C₂²	1	2	yes	—
82	#446	C₂²	1	4	yes	—
83	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
84	#441	C₂²	1	4	yes	—
85	#440	C₂²	1	4	yes	—
86	#440	C₂²	1	4	yes	—
87	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
88	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
89	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
90	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
91	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
92	#432	C₂²	1	2	yes	—
93	#431	C₂²	1	2	yes	—
94	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
95	C₂×#41	—	2	1	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	—	2	1	no	—
98	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
99	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
104	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
111	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
114	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
115	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	#127	C₂³	1	2	yes	—
117	#126	—	2	2	no	—
118	#126	—	2	1	no	—
119	#125	—	2	4	no	—
120	#125	—	2	4	no	—
121	#125	—	2	4	no	—
122	#125	—	2	4	no	—
123	#125	—	2	2	no	—
124	#125	—	2	2	no	—
125	#125	C₂³	1	4	yes	—
126	#125	C₂³	1	4	yes	—
127	#125	C₂³	1	2	yes	—
128	#125	C₂³	1	1	yes	characteristic
129	#124	—	2	1	no	—
130	#124	—	2	2	no	—
131	#124	—	2	2	no	—
132	#124	—	2	1	no	—
133	#124	C₂³	1	2	yes	—
134	#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
135	#123	—	2	2	no	—
136	#123	—	2	1	no	—
137	#123	—	2	2	no	—
138	#123	—	2	2	no	—
139	#123	—	2	2	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
146	#121	—	2	1	no	—
147	#121	—	2	2	no	—
148	#121	—	2	1	no	—
149	#121	—	2	2	no	—
150	#121	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	#121	C₂³	1	2	yes	—
152	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
153	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
160	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
162	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
164	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
165	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
166	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
171	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
172	C₄×D₄	—	2	1	no	—
173	C₄×D₄	—	2	2	no	—
174	C₄×D₄	—	2	1	no	—
175	C₄×D₄	—	2	2	no	—
176	C₄×D₄	—	2	2	no	—
177	C₄×D₄	—	2	1	no	—
178	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
180	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
181	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
182	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	1	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
196	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
197	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
200	#107	C₂³	1	2	yes	—
201	#107	C₂³	1	4	yes	—
202	#107	C₂³	1	4	yes	—
203	#106	C₂³	1	4	yes	—
204	#106	C₂³	1	4	yes	—
205	#106	C₂³	1	2	yes	—
206	#106	C₂³	1	4	yes	—
207	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
208	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
209	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
210	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
211	#103	C₂³	1	2	yes	—
212	#103	C₂³	1	2	yes	—
213	#103	C₂³	1	4	yes	—
214	#103	C₂³	1	2	yes	—
215	#103	C₂³	1	4	yes	—
216	#102	C₂³	1	4	yes	—
217	#102	C₂³	1	4	yes	—
218	#102	C₂³	1	2	yes	—
219	#102	C₂³	1	4	yes	—
220	#102	C₂³	1	4	yes	—
221	C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
222	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
223	C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
224	#97	C₂³	1	2	yes	—
225	#97	C₂³	1	4	yes	—
226	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
227	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
228	#41	—	4	4	no	—
229	#41	—	8	4	no	—
230	#41	—	8	2	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
239	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
243	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
244	C₂×D₄	—	2	1	no	—
245	C₂×D₄	—	2	2	no	—
246	C₂×D₄	—	2	2	no	—
247	C₂×D₄	—	2	1	no	—
248	C₂×D₄	—	2	2	no	—
249	C₂×D₄	—	2	1	no	—
250	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
252	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
265	Q₁₆	—	2	4	no	—
266	SD₁₆	—	2	4	no	—
267	SD₁₆	—	2	8	no	—
268	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
269	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
270	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
292	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
294	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
297	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
298	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
300	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
301	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
302	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
303	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
304	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₄²	—	2	4	no	—
317	C₄²	—	2	4	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	1	no	—
322	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
323	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
325	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
327	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
330	C₂³	—	2	2	no	—
331	C₂³	—	2	1	no	—
332	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
333	Q₈	—	2	4	no	—
334	Q₈	—	2	2	no	—
335	Q₈	—	2	2	no	—
336	Q₈	—	2	2	no	—
337	Q₈	—	2	2	no	—
338	Q₈	—	4	2	no	—
339	Q₈	—	4	4	no	—
340	Q₈	—	4	4	no	—
341	Q₈	—	8	2	no	—
342	Q₈	—	8	1	no	—
343	Q₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
344	D₄	—	2	2	no	—
345	D₄	—	2	4	no	—
346	D₄	—	4	4	no	—
347	D₄	—	4	2	no	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	2	no	—
350	D₄	—	8	2	no	—
351	D₄	—	8	1	no	—
352	C₂×C₄	—	2	4	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	1	no	—
359	C₂×C₄	—	2	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	1	no	—
363	C₂×C₄	—	2	1	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	2	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
373	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
378	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
382	C₈	—	2	2	no	—
383	C₈	—	2	4	no	—
384	C₈	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	1	no	—
386	C₂²	—	2	1	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	1	no	—
389	C₂²	—	4	2	no	—
390	C₂²	—	4	1	no	—
391	C₂²	—	4	2	no	—
392	C₂²	—	4	1	no	—
393	C₂²	#577	1	2	yes	—
394	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
395	C₄	—	2	4	no	—
396	C₄	—	2	1	no	—
397	C₄	—	2	1	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	2	1	no	—
402	C₄	—	2	2	no	—
403	C₄	—	2	1	no	—
404	C₄	—	4	1	no	—
405	C₄	—	4	1	no	—
406	C₄	—	4	4	no	—
407	C₄	—	4	2	no	—
408	C₄	—	4	2	no	—
409	C₄	—	4	1	no	—
410	C₄	#575	1	2	yes	—
411	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
412	C₂	—	2	2	no	—
413	C₂	—	8	2	no	—
414	C₂	—	8	1	no	—
415	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
416	C₂	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
417	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3522	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#557	C₂	semidirect
3. #3388	C₂	semidirect
4. #3387	C₂	semidirect
5. #3381	C₂	semidirect
6. #3371	C₂	semidirect
7. #3368	C₂	semidirect
8. #3365	C₂	semidirect
9. #3239	C₂	semidirect
10. #3234	C₂	semidirect
11. #3232	C₂	semidirect
12. #3227	C₂	semidirect
13. #3117	C₂	semidirect
14. #3112	C₂	semidirect
15. #3108	C₂	semidirect
16. #3103	C₂	semidirect
17. #2984	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3522	2
C₂×#557	2
#3388	2
#3387	2
#3381	2
#3371	2
#3368	2
#3365	2
#3239	2
#3234	2
#3232	2
#3227	2
#3117	2
#3112	2
#3108	2
#3103	2
#2984	2