Subgroups — #61850

Order 256.

858 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3501	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3384	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	Q₈×SD₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3376	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3373	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3361	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3244	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#3237	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3228	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3118	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#3109	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
14	#3101	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2985	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#563	—	2	2	no	—
17	#559	C₂²	1	2	yes	complemented
18	Q₈²	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#556	—	2	1	no	—
20	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#554	—	2	1	no	—
22	#554	—	2	2	no	—
23	#554	C₂²	1	2	yes	—
24	#554	C₂²	1	4	yes	—
25	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
26	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
27	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#544	C₂²	1	2	yes	—
30	#543	—	2	2	no	—
31	#542	—	2	2	no	—
32	#542	C₂²	1	4	yes	—
33	#536	—	2	2	no	—
34	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
39	#518	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#501	C₂²	1	2	yes	complemented
42	#501	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	#498	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
45	#498	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#491	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#486	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
50	#486	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
51	#485	C₂²	1	4	yes	—
52	#483	C₂²	1	2	yes	—
53	#482	C₂²	1	4	yes	—
54	#481	C₂²	1	2	yes	—
55	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#477	C₂²	1	2	yes	complemented
59	#476	C₂²	1	2	yes	—
60	#476	C₂²	1	2	yes	—
61	#476	C₂²	1	4	yes	—
62	#476	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#475	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#475	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#474	C₂²	1	4	yes	—
66	#463	C₂²	1	4	yes	—
67	#463	C₂²	1	4	yes	—
68	#461	C₂²	1	2	yes	—
69	#459	C₂²	1	2	yes	—
70	#450	C₂²	1	2	yes	—
71	#447	C₂²	1	2	yes	—
72	#446	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
74	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
75	#442	C₂²	1	4	yes	—
76	#442	C₂²	1	4	yes	—
77	#440	C₂²	1	4	yes	—
78	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
79	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
81	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
82	#433	C₂²	1	4	yes	—
83	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
84	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	C₂×#41	—	2	1	no	—
86	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
87	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
88	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
90	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
94	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
95	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
96	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
104	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
105	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	#126	—	2	4	no	—
107	#126	—	2	4	no	—
108	#125	—	2	2	no	—
109	#125	—	2	1	no	—
110	#125	D₄	1	2	yes	—
111	#125	C₂³	1	2	yes	—
112	#125	C₂³	1	4	yes	—
113	#124	—	2	2	no	—
114	#124	—	2	4	no	—
115	#124	—	2	1	no	—
116	#124	C₂³	1	4	yes	—
117	#123	—	2	4	no	—
118	#123	—	2	4	no	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
123	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
126	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
135	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
136	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
137	#121	—	2	1	no	—
138	#121	C₂³	1	2	yes	—
139	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
143	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
144	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
145	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
146	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	2	1	no	—
151	C₄×D₄	—	2	1	no	—
152	C₄×D₄	—	2	1	no	—
153	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
154	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
155	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
156	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
157	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
158	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
159	#117	—	2	1	no	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	C₂³	1	2	yes	—
162	#117	C₂³	1	2	yes	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
167	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
168	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
169	#107	C₂³	1	4	yes	—
170	#107	C₂³	1	4	yes	—
171	#106	C₂³	1	4	yes	—
172	#106	C₂³	1	2	yes	—
173	#106	C₂³	1	2	yes	—
174	#106	C₂³	1	4	yes	—
175	#106	C₂³	1	4	yes	—
176	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
177	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
178	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
179	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
180	#103	C₂³	1	2	yes	—
181	#103	C₂³	1	2	yes	—
182	#103	C₂³	1	4	yes	—
183	#103	C₂³	1	4	yes	—
184	#102	C₂³	1	2	yes	—
185	#102	C₂³	1	4	yes	—
186	#102	C₂³	1	4	yes	—
187	#102	C₂³	1	2	yes	—
188	#102	C₂³	1	4	yes	—
189	#102	C₂³	1	4	yes	—
190	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
191	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
192	#97	C₂³	1	2	yes	—
193	#97	C₂³	1	4	yes	—
194	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
197	C₂⁴	—	2	1	no	—
198	#41	—	8	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
200	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
201	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
202	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
205	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
207	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	2	no	—
212	C₂×D₄	—	2	1	no	—
213	C₂×D₄	—	2	1	no	—
214	C₂×D₄	—	2	1	no	—
215	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	8	2	no	—
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	SD₁₆	—	2	4	no	—
229	SD₁₆	—	2	4	no	—
230	D₈	—	2	8	no	—
231	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
251	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
252	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
253	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
254	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
255	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
256	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
257	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
258	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
259	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
260	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
273	C₄²	—	2	2	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
278	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
280	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	—	2	4	no	—
282	C₂³	—	2	2	no	—
283	C₂³	—	2	2	no	—
284	C₂³	—	8	1	no	—
285	C₂³	—	8	1	no	—
286	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	Q₈	—	2	4	no	—
288	Q₈	—	2	2	no	—
289	Q₈	—	2	2	no	—
290	Q₈	—	4	2	no	—
291	Q₈	—	4	2	no	—
292	Q₈	—	4	2	no	—
293	Q₈	—	8	1	no	—
294	Q₈	—	8	4	no	—
295	Q₈	—	8	4	no	—
296	Q₈	—	8	1	no	—
297	D₄	—	2	4	no	—
298	D₄	—	2	2	no	—
299	D₄	—	2	4	no	—
300	D₄	—	4	2	no	—
301	D₄	—	8	1	no	—
302	D₄	—	8	2	no	—
303	D₄	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	2	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	1	no	—
313	C₂×C₄	—	4	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	8	2	no	—
317	C₂×C₄	—	8	4	no	—
318	C₂×C₄	—	8	4	no	—
319	C₂×C₄	—	8	1	no	—
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
327	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
328	C₈	—	2	4	no	—
329	C₈	—	2	2	no	—
330	C₈	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	1	no	—
332	C₂²	—	2	1	no	—
333	C₂²	—	2	4	no	—
334	C₂²	—	2	1	no	—
335	C₂²	—	4	2	no	—
336	C₂²	—	4	2	no	—
337	C₂²	—	4	2	no	—
338	C₂²	—	4	2	no	—
339	C₂²	—	4	2	no	—
340	C₂²	—	8	4	no	—
341	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₄	—	2	1	no	—
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	4	no	—
345	C₄	—	2	1	no	—
346	C₄	—	2	1	no	—
347	C₄	—	2	4	no	—
348	C₄	—	4	2	no	—
349	C₄	—	4	2	no	—
350	C₄	—	4	2	no	—
351	C₄	—	4	2	no	—
352	C₄	—	4	2	no	—
353	C₄	—	4	2	no	—
354	C₄	#577	1	2	yes	—
355	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
356	C₂	—	4	1	no	—
357	C₂	—	4	4	no	—
358	C₂	—	8	2	no	—
359	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
360	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3109	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3550	C₂	semidirect
2. #3501	C₂	semidirect
3. #3385	C₂	semidirect
4. #3384	C₂	semidirect
5. Q₈×SD₁₆	C₂	semidirect
6. #3376	C₂	semidirect
7. #3373	C₂	semidirect
8. #3361	C₂	semidirect
9. #3244	C₂	semidirect
10. #3237	C₂	semidirect
11. #3228	C₂	semidirect
12. #3118	C₂	semidirect
14. #3101	C₂	semidirect
15. #2985	C₂	semidirect
17. #559	C₂²	semidirect
18. Q₈²	C₂²	semidirect
20. #556	C₂²	semidirect
28. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
41. #501	C₂²	semidirect
42. #501	C₂²	semidirect
43. #500	C₂²	semidirect
44. #498	C₂²	semidirect
45. #498	C₂²	semidirect
46. #491	C₂²	semidirect
47. #489	C₂²	semidirect
48. #488	C₂²	semidirect
49. #486	C₂²	semidirect
50. #486	C₂²	semidirect
55. #479	C₂²	semidirect
56. #478	C₂²	semidirect
57. #478	C₂²	semidirect
58. #477	C₂²	semidirect
62. #476	C₂²	semidirect
63. #475	C₂²	semidirect
64. #475	C₂²	semidirect
72. #446	C₂²	semidirect
73. #446	C₂²	semidirect
74. C₈×Q₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3550	2
#3501	2
#3385	2
#3384	2
Q₈×SD₁₆	2
#3376	2
#3373	2
#3361	2
#3244	2
#3237	2
#3228	2
#3118	2
#3109	2
#3101	2
#2985	2