Subgroups — #61871

Order 256.

850 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 389 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3550	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3384	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	Q₈×SD₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	Q₈×SD₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3373	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3369	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3365	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3360	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3244	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#3229	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3227	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3125	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
15	#3107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	#3106	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
17	#2986	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#563	—	2	2	no	—
19	#559	C₂²	1	2	yes	—
20	Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
21	Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
22	#557	C₂²	1	2	yes	—
23	#556	—	2	1	no	—
24	#556	C₂²	1	2	yes	—
25	#554	—	2	2	no	—
26	#554	C₂²	1	2	yes	—
27	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
28	D₄×Q₈	—	2	2	no	—
29	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
31	#544	—	2	2	no	—
32	#544	C₂²	1	2	yes	—
33	#542	—	2	2	no	—
34	#542	C₂²	1	4	yes	—
35	#536	—	2	2	no	—
36	#533	—	2	1	no	—
37	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#520	C₂²	1	2	yes	—
43	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#501	C₂²	1	4	yes	—
45	#498	C₂²	1	4	yes	—
46	#498	C₂²	1	2	yes	—
47	#498	C₂²	1	2	yes	—
48	#489	C₂²	1	4	yes	—
49	#488	C₂²	1	4	yes	—
50	#487	C₂²	1	2	yes	—
51	#486	C₂²	1	2	yes	—
52	#485	C₂²	1	2	yes	—
53	#483	C₂²	1	4	yes	—
54	#482	C₂²	1	2	yes	—
55	#481	C₂²	1	4	yes	—
56	#479	C₂²	1	4	yes	—
57	#478	C₂²	1	4	yes	—
58	#477	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#476	C₂²	1	2	yes	—
60	#476	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#476	C₂²	1	2	yes	—
62	#476	C₂²	1	4	yes	—
63	#476	C₂²	1	4	yes	—
64	#475	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	#475	C₂²	1	2	yes	—
66	#475	C₂²	1	4	yes	—
67	#475	C₂²	1	2	yes	—
68	#475	C₂²	1	4	yes	—
69	#474	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	#464	C₂²	1	4	yes	—
71	#463	C₂²	1	4	yes	—
72	#462	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	#461	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	#460	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	#459	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	#452	C₂²	1	2	yes	—
77	#449	C₂²	1	2	yes	—
78	#446	C₂²	1	2	yes	—
79	#446	C₂²	1	2	yes	—
80	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
81	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
82	#442	C₂²	1	4	yes	—
83	#441	C₂²	1	4	yes	—
84	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
85	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
86	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
87	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
88	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
89	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
90	#433	C₂²	1	4	yes	—
91	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
92	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#41	—	2	1	no	—
94	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
96	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
98	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
103	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
104	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
110	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
114	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
118	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
119	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	#126	—	2	4	no	—
121	#126	—	2	4	no	—
122	#125	—	2	2	no	—
123	#125	—	2	4	no	—
124	#125	—	2	1	no	—
125	#125	D₄	1	2	yes	—
126	#125	C₂³	1	4	yes	—
127	#124	—	2	2	no	—
128	#124	—	2	4	no	—
129	#124	—	2	1	no	—
130	#124	C₂³	1	4	yes	—
131	#123	—	2	4	no	—
132	#123	—	2	4	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
144	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
145	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
146	#121	—	2	1	no	—
147	#121	C₂³	1	2	yes	—
148	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
149	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
150	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
151	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
152	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
155	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
156	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
157	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
158	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
159	C₄×D₄	—	2	1	no	—
160	C₄×D₄	—	2	1	no	—
161	C₄×D₄	—	2	2	no	—
162	C₄×D₄	—	2	4	no	—
163	C₄×D₄	—	2	1	no	—
164	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
167	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
168	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
169	#117	—	2	1	no	—
170	#117	—	2	2	no	—
171	#117	—	2	2	no	—
172	#117	—	2	1	no	—
173	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
174	#117	C₂³	1	2	yes	—
175	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
176	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
177	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
180	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
181	#107	C₂³	1	2	yes	—
182	#107	C₂³	1	2	yes	—
183	#106	C₂³	1	2	yes	—
184	#106	C₂³	1	2	yes	—
185	#106	C₂³	1	4	yes	—
186	#106	C₂³	1	4	yes	—
187	#106	C₂³	1	4	yes	—
188	#106	C₂³	1	4	yes	—
189	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
190	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
191	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
192	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
193	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
194	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
195	#103	C₂³	1	2	yes	—
196	#103	C₂³	1	2	yes	—
197	#103	C₂³	1	2	yes	—
198	#103	C₂³	1	4	yes	—
199	#103	C₂³	1	2	yes	—
200	#103	C₂³	1	4	yes	—
201	#102	C₂³	1	2	yes	—
202	#102	C₂³	1	2	yes	—
203	#102	C₂³	1	2	yes	—
204	#102	C₂³	1	2	yes	—
205	#102	C₂³	1	4	yes	—
206	#102	C₂³	1	4	yes	—
207	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
208	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
209	#97	C₂³	1	4	yes	—
210	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
211	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
213	#41	—	2	2	no	—
214	#41	—	2	2	no	—
215	#41	—	8	2	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
222	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
223	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
225	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₂×D₄	—	2	1	no	—
230	C₂×D₄	—	2	2	no	—
231	C₂×D₄	—	2	1	no	—
232	C₂×D₄	—	2	1	no	—
233	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
234	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
245	Q₁₆	—	2	4	no	—
246	SD₁₆	—	2	4	no	—
247	SD₁₆	—	2	4	no	—
248	D₈	—	2	4	no	—
249	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
251	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
252	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
271	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
272	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
273	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
274	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
275	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
276	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
277	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
278	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
279	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
280	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
283	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
284	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
287	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
292	C₄²	—	2	1	no	—
293	C₄²	—	2	1	no	—
294	C₄²	—	2	1	no	—
295	C₄²	—	2	2	no	—
296	C₄²	—	2	4	no	—
297	C₄²	—	2	4	no	—
298	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
299	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
301	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
302	C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
303	C₂³	—	2	1	no	—
304	C₂³	—	2	2	no	—
305	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	Q₈	—	2	4	no	—
307	Q₈	—	2	4	no	—
308	Q₈	—	2	1	no	—
309	Q₈	—	2	2	no	—
310	Q₈	—	2	2	no	—
311	Q₈	—	4	2	no	—
312	Q₈	—	4	4	no	—
313	Q₈	—	8	2	no	—
314	Q₈	—	8	4	no	—
315	Q₈	—	8	4	no	—
316	Q₈	—	8	1	no	—
317	Q₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
318	D₄	—	2	4	no	—
319	D₄	—	2	1	no	—
320	D₄	—	2	2	no	—
321	D₄	—	2	2	no	—
322	D₄	—	4	2	no	—
323	D₄	—	8	1	no	—
324	D₄	—	8	2	no	—
325	D₄	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	—	2	4	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	2	1	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	4	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	4	no	—
343	C₂×C₄	—	8	2	no	—
344	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
347	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
352	C₈	—	2	2	no	—
353	C₈	—	2	2	no	—
354	C₈	—	2	2	no	—
355	C₈	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	1	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	1	no	—
359	C₂²	—	2	1	no	—
360	C₂²	—	4	1	no	—
361	C₂²	—	4	1	no	—
362	C₂²	—	4	2	no	—
363	C₂²	—	4	2	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
366	C₄	—	2	1	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	2	1	no	—
369	C₄	—	2	1	no	—
370	C₄	—	2	4	no	—
371	C₄	—	2	4	no	—
372	C₄	—	4	2	no	—
373	C₄	—	4	1	no	—
374	C₄	—	4	2	no	—
375	C₄	—	4	1	no	—
376	C₄	—	4	2	no	—
377	C₄	—	4	4	no	—
378	C₄	#577	1	2	yes	—
379	C₄	#577	1	2	yes	—
380	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
381	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
382	C₂	—	4	1	no	—
383	C₂	—	4	2	no	—
384	C₂	—	8	2	no	—
385	C₂	#3486	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic
387	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3106	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #533 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3550	C₂	semidirect
2. #3503	C₂	semidirect
3. #3387	C₂	semidirect
4. #3384	C₂	semidirect
5. Q₈×SD₁₆	C₂	semidirect
6. Q₈×SD₁₆	C₂	semidirect
7. #3373	C₂	semidirect
8. #3369	C₂	semidirect
9. #3365	C₂	semidirect
10. #3360	C₂	semidirect
11. #3244	C₂	semidirect
12. #3229	C₂	semidirect
13. #3227	C₂	semidirect
14. #3125	C₂	semidirect
15. #3107	C₂	semidirect
17. #2986	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3550	2
#3503	2
#3387	2
#3384	2
Q₈×SD₁₆	2
#3373	2
#3369	2
#3365	2
#3360	2
#3244	2
#3229	2
#3227	2
#3125	2
#3107	2
#3106	2
#2986	2