Subgroups — #61905

Order 256.

862 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 420 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3523	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×#556	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3402	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3398	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3377	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3367	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3364	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3218	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3215	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3211	C₂	1	2	yes	maximal
12	#3209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3117	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3110	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3105	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
16	#3104	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	#2984	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#557	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	#557	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
20	#557	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#556	—	2	1	no	—
22	#556	—	2	1	no	—
23	#556	—	2	2	no	—
24	#556	C₂²	1	2	yes	—
25	#556	C₂²	1	2	yes	—
26	#556	C₂²	1	4	yes	—
27	#556	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
28	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#552	—	2	1	no	—
30	#552	—	2	2	no	—
31	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
32	D₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#541	—	2	1	no	—
34	#541	—	2	2	no	—
35	#533	C₂²	1	2	yes	—
36	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#529	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#126	—	2	2	no	—
41	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
43	#519	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂×#117	—	2	1	no	—
48	#497	C₂²	1	4	yes	—
49	#497	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#495	C₂²	1	4	yes	—
51	#494	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#491	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#489	C₂²	1	4	yes	—
54	#488	C₂²	1	4	yes	—
55	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#484	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#484	C₂²	1	2	yes	—
58	#481	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#478	C₂²	1	2	yes	—
61	#477	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#474	C₂²	1	2	yes	—
63	#464	C₂²	1	4	yes	—
64	#464	C₂²	1	4	yes	—
65	#464	C₂²	1	4	yes	—
66	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
67	#463	C₂²	1	2	yes	—
68	#463	C₂²	1	4	yes	—
69	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#462	C₂²	1	2	yes	complemented
71	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
72	#461	C₂²	1	2	yes	—
73	#461	C₂²	1	2	yes	complemented
74	#451	C₂²	1	2	yes	—
75	#451	C₂²	1	2	yes	—
76	#451	C₂²	1	2	yes	—
77	#450	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	#450	C₂²	1	2	yes	—
79	#448	C₂²	1	2	yes	—
80	#447	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	#446	C₂²	1	2	yes	complemented
82	#446	C₂²	1	4	yes	complemented
83	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
84	#441	C₂²	1	4	yes	complemented
85	#440	C₂²	1	4	yes	—
86	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
87	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
88	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
89	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
90	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
91	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
92	#432	C₂²	1	2	yes	—
93	#431	C₂²	1	2	yes	—
94	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
96	C₂²×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂²×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
100	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
111	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
117	#126	—	2	4	no	—
118	#126	—	2	4	no	—
119	#126	—	2	4	no	—
120	#126	—	2	4	no	—
121	#126	—	2	2	no	—
122	#126	—	2	2	no	—
123	#126	—	2	2	no	—
124	#126	—	2	1	no	—
125	#126	—	2	2	no	—
126	#125	—	2	2	no	—
127	#125	—	2	2	no	—
128	#125	—	2	2	no	—
129	#125	—	2	1	no	—
130	#125	—	2	2	no	—
131	#125	—	2	1	no	—
132	#125	—	2	2	no	—
133	#125	C₂³	1	1	yes	characteristic
134	#125	C₂³	1	2	yes	—
135	#124	—	2	2	no	—
136	#124	—	2	2	no	—
137	#124	C₂³	1	4	yes	—
138	#124	C₂³	1	4	yes	—
139	#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	#124	C₂³	1	2	yes	—
141	#123	—	2	2	no	—
142	#123	—	2	1	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
152	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
154	#121	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
163	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₄×Q₈	D₄	1	2	yes	—
165	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
166	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
170	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
171	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
172	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
173	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
174	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
175	C₄×D₄	—	2	1	no	—
176	C₄×D₄	—	2	2	no	—
177	C₄×D₄	—	2	1	no	—
178	C₄×D₄	—	2	1	no	—
179	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
180	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
181	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
182	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	1	no	—
185	#117	—	2	2	no	—
186	#117	—	2	2	no	—
187	#117	—	2	4	no	—
188	#117	—	2	1	no	—
189	#117	—	2	2	no	—
190	#117	—	2	1	no	—
191	#117	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
200	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
204	#107	C₂³	1	2	yes	—
205	#107	C₂³	1	4	yes	—
206	#106	C₂³	1	2	yes	—
207	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
208	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
209	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
210	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
211	#103	C₂³	1	2	yes	—
212	#103	C₂³	1	4	yes	—
213	#103	C₂³	1	4	yes	—
214	#103	C₂³	1	4	yes	—
215	#103	C₂³	1	4	yes	—
216	#103	C₂³	1	4	yes	—
217	#102	C₂³	1	2	yes	—
218	#102	C₂³	1	2	yes	—
219	#102	C₂³	1	2	yes	—
220	#102	C₂³	1	4	yes	—
221	C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
222	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
223	C₂²⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
224	#97	C₂³	1	2	yes	—
225	#97	C₂³	1	4	yes	—
226	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
227	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
228	C₂⁴	—	2	1	no	—
229	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
235	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
236	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
237	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
238	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
239	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
241	C₂×D₄	—	2	1	no	—
242	C₂×D₄	—	2	1	no	—
243	C₂×D₄	—	4	2	no	—
244	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
245	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
247	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
248	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
252	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
253	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
258	Q₁₆	—	4	4	no	—
259	Q₁₆	—	4	4	no	—
260	Q₁₆	—	4	4	no	—
261	SD₁₆	—	4	4	no	—
262	SD₁₆	—	4	4	no	—
263	SD₁₆	—	4	2	no	—
264	D₈	—	4	2	no	—
265	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
266	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
267	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
268	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
292	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
295	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
297	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
298	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
299	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
300	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
301	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
302	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
318	C₄²	—	2	4	no	—
319	C₄²	—	2	4	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	2	no	—
324	C₄²	—	2	1	no	—
325	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
327	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
328	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
329	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
331	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
332	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
333	C₂³	—	2	1	no	—
334	C₂³	—	2	2	no	—
335	C₂³	—	4	2	no	—
336	C₂³	—	4	2	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
339	Q₈	—	2	2	no	—
340	Q₈	—	2	2	no	—
341	Q₈	—	2	4	no	—
342	Q₈	—	2	2	no	—
343	Q₈	—	2	4	no	—
344	Q₈	—	2	4	no	—
345	Q₈	—	4	2	no	—
346	Q₈	—	4	4	no	—
347	Q₈	—	4	4	no	—
348	Q₈	—	4	2	no	—
349	D₄	—	2	2	no	—
350	D₄	—	2	2	no	—
351	D₄	—	2	2	no	—
352	D₄	—	4	2	no	—
353	D₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	1	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	1	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	1	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	4	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	4	no	—
370	C₂×C₄	—	4	4	no	—
371	C₂×C₄	—	4	2	no	—
372	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
376	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
382	C₈	—	2	2	no	—
383	C₈	—	2	4	no	—
384	C₈	—	2	2	no	—
385	C₂²	—	2	1	no	—
386	C₂²	—	2	1	no	—
387	C₂²	—	4	2	no	—
388	C₂²	—	4	1	no	—
389	C₂²	—	4	1	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	1	no	—
392	C₂²	—	4	2	no	—
393	C₂²	—	8	4	no	—
394	C₂²	#578	1	2	yes	—
395	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
396	C₄	—	2	1	no	—
397	C₄	—	2	1	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	2	2	no	—
402	C₄	—	2	1	no	—
403	C₄	—	2	1	no	—
404	C₄	—	4	4	no	—
405	C₄	—	4	1	no	—
406	C₄	—	4	2	no	—
407	C₄	—	4	2	no	—
408	C₄	—	4	2	no	—
409	C₄	—	4	1	no	—
410	C₄	—	4	1	no	—
411	C₄	#575	1	2	yes	—
412	C₄	#585	1	2	yes	—
413	C₂	—	2	2	no	—
414	C₂	—	8	1	no	—
415	C₂	—	8	2	no	—
416	C₂	#3487	1	1	yes	characteristic
417	C₂	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
418	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#447	C₂²
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3523	C₂	semidirect
2. C₂×#556	C₂	semidirect
3. #3402	C₂	semidirect
4. #3398	C₂	semidirect
5. #3393	C₂	semidirect
6. #3377	C₂	semidirect
7. #3367	C₂	semidirect
8. #3364	C₂	semidirect
9. #3218	C₂	semidirect
10. #3215	C₂	semidirect
12. #3209	C₂	semidirect
13. #3117	C₂	semidirect
14. #3110	C₂	semidirect
16. #3104	C₂	semidirect
17. #2984	C₂	semidirect
18. #557	C₂²	semidirect
19. #557	C₂²	semidirect
20. #557	C₂²	semidirect
27. #556	C₂²	semidirect
28. #556	C₂²	semidirect
32. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
49. #497	C₂²	semidirect
51. #494	C₂²	semidirect
52. #491	C₂²	semidirect
55. #487	C₂²	semidirect
59. #479	C₂²	semidirect
61. #477	C₂²	semidirect
66. #464	C₂²	semidirect
69. #462	C₂²	semidirect
70. #462	C₂²	semidirect
71. #462	C₂²	semidirect
73. #461	C₂²	semidirect
81. #446	C₂²	semidirect
82. #446	C₂²	semidirect
83. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
84. #441	C₂²	semidirect
86. #440	C₂²	semidirect
87. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
88. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3523	2
C₂×#556	2
#3402	2
#3398	2
#3393	2
#3377	2
#3367	2
#3364	2
#3218	2
#3215	2
#3211	2
#3209	2
#3117	2
#3110	2
#3105	2
#3104	2
#2984	2