Subgroups — #61984

Order 256.

910 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 435 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3482	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#3398	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3374	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3312	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3298	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	D₄×Q₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3270	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3255	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3248	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3218	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3113	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3107	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3039	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×#462	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	#2990	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#137	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	—
20	Q₈²	—	2	1	no	—
21	#557	C₂²	1	2	yes	—
22	#557	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#556	—	2	1	no	—
24	#556	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#554	—	2	1	no	—
26	#554	—	2	2	no	—
27	#552	—	2	2	no	—
28	#552	C₂²	1	2	yes	—
29	D₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	D₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
31	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
32	#548	C₂²	1	2	yes	—
33	#547	—	2	1	no	—
34	#547	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#544	—	2	2	no	—
36	#544	—	2	1	no	—
37	#533	—	2	1	no	—
38	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#533	C₂²	1	2	yes	—
40	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
43	#529	—	2	2	no	—
44	#529	C₂²	1	2	yes	—
45	#520	—	2	1	no	—
46	C₄×#41	—	2	1	no	—
47	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
50	#497	C₂²	1	4	yes	—
51	#494	C₂²	1	2	yes	—
52	#491	C₂²	1	4	yes	—
53	#487	C₂²	1	2	yes	—
54	#485	C₂²	1	2	yes	—
55	#483	C₂²	1	4	yes	—
56	#479	C₂²	1	4	yes	—
57	#475	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#475	C₂²	1	2	yes	—
59	#475	C₂²	1	2	yes	—
60	#474	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#470	C₂²	1	4	yes	—
62	#467	C₂²	1	4	yes	—
63	#465	C₂²	1	4	yes	—
64	#464	C₂²	1	4	yes	—
65	#462	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#462	C₂²	1	2	yes	—
67	#462	C₂²	1	2	yes	—
68	#462	C₂²	1	4	yes	—
69	#462	C₂²	1	2	yes	—
70	#462	C₂²	1	2	yes	—
71	#462	C₂²	1	4	yes	—
72	#462	C₂²	1	2	yes	—
73	#462	C₂²	1	2	yes	—
74	#461	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	#461	C₂²	1	2	yes	—
76	#461	C₂²	1	2	yes	—
77	#452	C₂²	1	2	yes	—
78	#451	C₂²	1	4	yes	—
79	#451	C₂²	1	4	yes	—
80	#451	C₂²	1	4	yes	—
81	#448	C₂²	1	4	yes	—
82	#446	C₂²	1	2	yes	—
83	#441	C₂²	1	4	yes	—
84	#441	C₂²	1	4	yes	—
85	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
86	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
87	#435	C₂²	1	4	yes	—
88	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
89	#432	C₂²	1	2	yes	—
90	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
91	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
93	#419	C₂²	1	2	yes	—
94	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	—
95	C₂×#41	—	2	1	no	—
96	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
101	#137	—	4	4	no	—
102	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
103	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
109	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
117	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
118	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
119	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
121	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
123	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
124	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	#126	—	2	2	no	—
128	#126	—	2	2	no	—
129	#126	—	2	2	no	—
130	#125	—	2	2	no	—
131	#125	—	2	2	no	—
132	#125	—	2	2	no	—
133	#125	—	2	4	no	—
134	#125	—	2	1	no	—
135	#125	—	2	2	no	—
136	#125	—	2	1	no	—
137	#125	C₂³	1	2	yes	—
138	#124	—	2	2	no	—
139	#124	C₂³	1	2	yes	—
140	#123	—	2	2	no	—
141	#123	—	2	2	no	—
142	#123	—	2	2	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
153	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
154	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
155	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
156	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
157	#121	—	2	2	no	—
158	#121	C₂³	1	2	yes	—
159	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
166	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
170	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
171	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
172	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
173	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
174	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
175	C₄×D₄	—	2	1	no	—
176	C₄×D₄	—	2	4	no	—
177	C₄×D₄	—	2	2	no	—
178	C₄×D₄	—	2	2	no	—
179	C₄×D₄	—	2	1	no	—
180	C₄×D₄	—	2	1	no	—
181	C₄×D₄	—	2	2	no	—
182	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
183	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
184	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
185	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
186	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
187	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
188	#117	—	2	2	no	—
189	#117	—	2	1	no	—
190	#117	—	2	1	no	—
191	#117	—	2	1	no	—
192	#117	—	2	2	no	—
193	#117	—	2	1	no	—
194	#117	—	2	2	no	—
195	#117	D₄	1	2	yes	—
196	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
197	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
206	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
208	#107	C₂³	1	2	yes	—
209	#106	C₂³	1	2	yes	—
210	#106	C₂³	1	4	yes	—
211	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
212	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
213	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
214	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
215	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
216	#103	C₂³	1	2	yes	—
217	#103	C₂³	1	4	yes	—
218	#103	C₂³	1	4	yes	—
219	#103	C₂³	1	4	yes	—
220	#103	C₂³	1	4	yes	—
221	#103	C₂³	1	2	yes	—
222	#103	C₂³	1	2	yes	—
223	#103	C₂³	1	4	yes	—
224	#103	C₂³	1	4	yes	—
225	#102	C₂³	1	2	yes	—
226	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
227	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
228	#97	C₂³	1	4	yes	—
229	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
230	#41	—	2	4	no	—
231	#41	—	2	2	no	—
232	#41	—	4	1	no	—
233	#41	—	4	4	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
245	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
246	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
247	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
248	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
249	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
250	C₂×D₄	—	2	1	no	—
251	C₂×D₄	—	2	2	no	—
252	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
253	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
254	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
261	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
262	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
267	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
268	Q₁₆	—	2	4	no	—
269	Q₁₆	—	2	8	no	—
270	Q₁₆	—	4	4	no	—
271	Q₁₆	—	4	4	no	—
272	Q₁₆	—	4	4	no	—
273	SD₁₆	—	4	2	no	—
274	SD₁₆	—	4	4	no	—
275	M₁₆	—	4	2	no	—
276	C₂×C₈	—	4	4	no	—
277	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
278	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
279	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
280	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
306	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
308	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
309	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
311	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
312	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
313	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
314	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
325	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
326	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
327	C₄²	—	2	1	no	—
328	C₄²	—	2	1	no	—
329	C₄²	—	2	2	no	—
330	C₄²	—	2	2	no	—
331	C₄²	—	2	1	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	2	4	no	—
334	C₄²	—	2	2	no	—
335	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
338	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
339	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
340	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
341	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
342	C₂³	—	2	1	no	—
343	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
345	Q₈	—	2	2	no	—
346	Q₈	—	2	1	no	—
347	Q₈	—	2	4	no	—
348	Q₈	—	2	2	no	—
349	Q₈	—	2	2	no	—
350	Q₈	—	2	2	no	—
351	Q₈	—	2	2	no	—
352	Q₈	—	2	4	no	—
353	Q₈	—	4	4	no	—
354	Q₈	—	4	2	no	—
355	Q₈	—	4	2	no	—
356	Q₈	—	8	2	no	—
357	Q₈	—	8	4	no	—
358	Q₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
359	D₄	—	2	4	no	—
360	D₄	—	2	1	no	—
361	D₄	—	2	1	no	—
362	D₄	—	4	2	no	—
363	D₄	—	4	4	no	—
364	D₄	#137	1	4	yes	complemented
365	C₂×C₄	—	2	4	no	—
366	C₂×C₄	—	2	1	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	4	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	1	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	2	1	no	—
374	C₂×C₄	—	2	1	no	—
375	C₂×C₄	—	2	2	no	—
376	C₂×C₄	—	2	1	no	—
377	C₂×C₄	—	2	2	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	4	no	—
380	C₂×C₄	—	2	2	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	4	no	—
383	C₂×C₄	—	4	4	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	8	4	no	—
387	C₂×C₄	—	8	2	no	—
388	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
391	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
392	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
394	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
395	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
397	C₈	—	2	2	no	—
398	C₈	—	2	4	no	—
399	C₈	—	2	2	no	—
400	C₂²	—	2	2	no	—
401	C₂²	—	2	2	no	—
402	C₂²	—	2	1	no	—
403	C₂²	—	2	1	no	—
404	C₂²	—	2	1	no	—
405	C₂²	—	4	1	no	—
406	C₂²	—	4	1	no	—
407	C₂²	—	4	1	no	—
408	C₂²	C₂×#137	1	4	yes	—
409	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
410	C₄	—	2	1	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	2	1	no	—
414	C₄	—	2	2	no	—
415	C₄	—	2	2	no	—
416	C₄	—	2	1	no	—
417	C₄	—	4	2	no	—
418	C₄	—	4	4	no	—
419	C₄	—	4	2	no	—
420	C₄	—	4	1	no	—
421	C₄	—	4	2	no	—
422	C₄	—	4	1	no	—
423	C₄	—	4	2	no	—
424	C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
425	C₄	#578	1	2	yes	—
426	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
427	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
428	C₂	—	2	4	no	—
429	C₂	—	4	1	no	—
430	C₂	—	8	1	no	—
431	C₂	#3488	1	1	yes	characteristic
432	C₂	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
433	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3482	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3503	C₂	semidirect
3. #3398	C₂	semidirect
4. #3374	C₂	semidirect
5. #3312	C₂	semidirect
6. #3298	C₂	semidirect
7. D₄×Q₁₆	C₂	semidirect
8. #3270	C₂	semidirect
9. #3255	C₂	semidirect
10. #3248	C₂	semidirect
11. #3218	C₂	semidirect
12. #3209	C₂	semidirect
13. #3113	C₂	semidirect
14. #3107	C₂	semidirect
15. #3039	C₂	semidirect
16. C₂×#462	C₂	semidirect
17. #2990	C₂	semidirect
364. D₄	#137	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3503	2
#3482	2
#3398	2
#3374	2
#3312	2
#3298	2
D₄×Q₁₆	2
#3270	2
#3255	2
#3248	2
#3218	2
#3209	2
#3113	2
#3107	2
#3039	2
C₂×#462	2
#2990	2