Subgroups — #62099

Order 256.

974 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 247 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	Q₈×SD₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3359	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3335	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#3298	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#3246	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	#3229	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#3103	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
10	C₂×#475	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
11	#2988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
13	Q₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#557	—	2	1	no	—
15	#557	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#554	—	2	3	no	—
17	#554	C₂²	1	3	yes	—
18	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
19	D₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
20	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
21	#547	—	2	3	no	—
22	#547	C₂²	1	6	yes	—
23	#536	—	2	3	no	—
24	#533	—	2	3	no	—
25	#533	C₂²	1	3	yes	—
26	#532	C₂²	1	3	yes	—
27	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	3	yes	—
28	C₄×#41	—	2	1	no	—
29	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	3	yes	—
31	#498	C₂²	1	6	yes	—
32	#487	C₂²	1	6	yes	—
33	#483	C₂²	1	12	yes	—
34	#481	C₂²	1	6	yes	—
35	#476	C₂²	1	6	yes	—
36	#475	C₂²	1	3	yes	—
37	#475	C₂²	1	6	yes	—
38	#475	C₂²	1	6	yes	—
39	#475	C₂²	1	6	yes	—
40	#475	C₂²	1	3	yes	—
41	#465	C₂²	1	12	yes	—
42	#461	C₂²	1	6	yes	—
43	#460	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#460	C₂²	1	3	yes	—
45	#448	C₂²	1	6	yes	—
46	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
47	C₄×SD₁₆	C₂²	1	6	yes	—
48	C₄×SD₁₆	C₂²	1	6	yes	—
49	C₈×D₄	C₂²	1	6	yes	—
50	#431	C₂²	1	3	yes	—
51	C₂×#106	C₂²	1	6	yes	—
52	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
53	C₂×#103	C₂²	1	6	yes	—
54	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
55	C₂×#41	—	2	6	no	—
56	C₂×#41	—	2	3	no	—
57	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
59	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
60	C₂²×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
61	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×SD₁₆	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂²×C₈	C₂³	1	6	yes	—
64	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
65	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
66	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
67	C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
68	C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
69	C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
70	C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
71	C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
72	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#125	—	2	3	no	—
74	#125	—	2	3	no	—
75	#125	—	2	3	no	—
76	#124	—	2	3	no	—
77	#123	—	2	12	no	—
78	C₂²⋊Q₈	—	2	3	no	—
79	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
80	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
81	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
82	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
83	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
84	#121	—	2	3	no	—
85	#121	C₂³	1	6	yes	—
86	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
87	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
88	C₄×Q₈	—	2	3	no	—
89	C₄×Q₈	—	2	3	no	—
90	C₄×Q₈	—	2	3	no	—
91	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
94	C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
95	C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
96	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₄×D₄	—	2	3	no	—
98	C₄×D₄	—	2	3	no	—
99	C₄×D₄	—	2	3	no	—
100	C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
101	C₄×D₄	C₂³	1	6	yes	—
102	C₄×D₄	C₂³	1	3	yes	—
103	#117	—	2	3	no	—
104	#117	D₄	1	3	yes	—
105	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
106	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
107	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	6	yes	—
109	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
110	C₂×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
111	#106	C₂³	1	6	yes	—
112	#106	C₂³	1	12	yes	—
113	#106	C₂³	1	6	yes	—
114	C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
115	C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
116	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	#103	C₂³	1	6	yes	—
118	#103	C₂³	1	12	yes	—
119	#103	C₂³	1	6	yes	—
120	#102	C₂³	1	2	yes	—
121	#102	C₂³	1	6	yes	—
122	C₂²⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
123	C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
124	#41	—	4	24	no	—
125	#41	—	4	12	no	—
126	#41	SD₁₆	1	8	yes	complemented
127	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
128	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
129	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
130	C₂×Q₈	—	2	3	no	—
131	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
132	C₂×Q₈	—	4	3	no	—
133	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
134	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
135	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×Q₈	C₂⁴	1	3	yes	—
137	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂×D₄	—	2	6	no	—
139	C₂×D₄	—	2	1	no	—
140	C₂×D₄	—	2	1	no	—
141	C₂×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
142	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
143	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
144	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
145	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
146	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
147	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
148	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
149	C₂²×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
150	SD₁₆	—	2	4	no	—
151	SD₁₆	—	4	6	no	—
152	C₂×C₈	—	4	6	no	—
153	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
154	C₂×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
155	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
156	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
157	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
158	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
159	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
160	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
161	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
162	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
163	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
164	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
165	C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
166	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
167	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
168	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
169	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
170	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
171	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	6	yes	—
172	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
173	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
174	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
175	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
176	C₄²	—	2	1	no	—
177	C₄²	—	2	3	no	—
178	C₄²	—	2	3	no	—
179	C₄²	—	2	3	no	—
180	C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
181	C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
182	C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
183	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
184	C₂³	—	2	2	no	—
185	C₂³	C₂²×D₄	1	3	yes	—
186	Q₈	—	2	1	no	—
187	Q₈	—	2	3	no	—
188	Q₈	—	2	3	no	—
189	Q₈	—	4	6	no	—
190	Q₈	—	4	12	no	—
191	Q₈	—	4	6	no	—
192	Q₈	—	8	3	no	—
193	Q₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
194	Q₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	complemented
195	D₄	—	2	2	no	—
196	D₄	—	2	2	no	—
197	D₄	—	4	2	no	—
198	D₄	—	4	12	no	—
199	D₄	—	4	2	no	—
200	D₄	C₂×SD₁₆	1	12	yes	—
201	C₂×C₄	—	2	1	no	—
202	C₂×C₄	—	2	3	no	—
203	C₂×C₄	—	2	3	no	—
204	C₂×C₄	—	2	1	no	—
205	C₂×C₄	—	2	3	no	—
206	C₂×C₄	—	2	3	no	—
207	C₂×C₄	—	2	6	no	—
208	C₂×C₄	—	4	3	no	—
209	C₂×C₄	—	4	6	no	—
210	C₂×C₄	—	4	12	no	—
211	C₂×C₄	—	4	12	no	—
212	C₂×C₄	—	8	3	no	—
213	C₂×C₄	C₂×SD₁₆	1	12	yes	—
214	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
216	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
217	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
219	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
220	C₈	—	2	2	no	—
221	C₈	—	2	6	no	—
222	C₂²	—	2	3	no	—
223	C₂²	—	2	3	no	—
224	C₂²	—	4	2	no	—
225	C₂²	—	4	2	no	—
226	C₂²	—	4	2	no	—
227	C₂²	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
228	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
229	C₄	—	2	1	no	—
230	C₄	—	2	3	no	—
231	C₄	—	2	3	no	—
232	C₄	—	2	2	no	—
233	C₄	—	4	1	no	—
234	C₄	—	4	3	no	—
235	C₄	—	4	3	no	—
236	C₄	—	4	6	no	—
237	C₄	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
238	C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
239	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
241	C₂	—	2	6	no	—
242	C₂	—	8	2	no	—
243	C₂	#3489	1	1	yes	characteristic
244	C₂	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
245	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3499	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. Q₈×#41	C₂	semidirect
3. Q₈×SD₁₆	C₂	semidirect
4. #3359	C₂	semidirect
5. #3335	C₂	semidirect
6. #3298	C₂	semidirect
7. #3246	C₂	semidirect
8. #3229	C₂	semidirect
9. #3103	C₂	semidirect
10. C₂×#475	C₂	semidirect
11. #2988	C₂	semidirect
126. #41	SD₁₆	semidirect
194. Q₈	2₋¹⁺⁴	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3499	2
Q₈×#41	2
Q₈×SD₁₆	2
#3359	2
#3335	2
#3298	2
#3246	2
#3229	2
#3103	2
C₂×#475	2
#2988	2