Subgroups — #62111

Order 256.

974 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 444 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3499	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3480	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3386	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3373	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3353	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3345	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3332	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3308	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3251	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3245	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3239	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3226	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3115	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3079	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂×#475	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2989	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
19	#559	—	2	1	no	—
20	#559	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#557	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#556	—	2	1	no	—
23	#556	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#553	—	2	2	no	—
25	#553	C₂²	1	2	yes	—
26	#550	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	D₄×Q₈	—	2	1	no	—
28	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
29	#548	C₂²	1	2	yes	—
30	#547	—	2	2	no	—
31	#547	—	2	1	no	—
32	#547	C₂²	1	2	yes	—
33	#547	C₂²	1	4	yes	—
34	#536	—	2	1	no	—
35	#536	—	2	2	no	—
36	#532	—	2	1	no	—
37	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#532	C₂²	1	2	yes	—
39	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
42	#529	—	2	2	no	—
43	#529	C₂²	1	2	yes	—
44	C₄×#41	—	2	1	no	—
45	C₄×#41	C₂²	1	2	yes	—
46	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#501	C₂²	1	4	yes	—
49	#500	C₂²	1	2	yes	—
50	#489	C₂²	1	4	yes	—
51	#486	C₂²	1	2	yes	—
52	#484	C₂²	1	4	yes	—
53	#482	C₂²	1	4	yes	—
54	#481	C₂²	1	4	yes	—
55	#481	C₂²	1	2	yes	—
56	#480	C₂²	1	4	yes	—
57	#478	C₂²	1	4	yes	—
58	#477	C₂²	1	4	yes	—
59	#476	C₂²	1	4	yes	—
60	#475	C₂²	1	2	yes	—
61	#475	C₂²	1	2	yes	—
62	#475	C₂²	1	2	yes	—
63	#475	C₂²	1	2	yes	—
64	#475	C₂²	1	1	yes	characteristic
65	#475	C₂²	1	1	yes	characteristic
66	#474	C₂²	1	2	yes	—
67	#474	C₂²	1	2	yes	—
68	#474	C₂²	1	2	yes	—
69	#474	C₂²	1	2	yes	—
70	#469	C₂²	1	4	yes	—
71	#468	C₂²	1	4	yes	—
72	#466	C₂²	1	4	yes	—
73	#463	C₂²	1	4	yes	—
74	#460	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	#460	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	#459	C₂²	1	2	yes	—
77	#459	C₂²	1	2	yes	—
78	#449	C₂²	1	4	yes	—
79	#448	C₂²	1	2	yes	—
80	#446	C₂²	1	2	yes	—
81	#442	C₂²	1	4	yes	—
82	#440	C₂²	1	4	yes	—
83	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
84	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
85	#436	C₂²	1	2	yes	—
86	#435	C₂²	1	4	yes	—
87	#432	C₂²	1	2	yes	—
88	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	#428	C₂²	1	4	yes	—
90	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	—
91	#423	C₂²	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	#417	C₂²	1	4	yes	—
94	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
95	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
96	C₂×#41	—	2	4	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	—	2	1	no	—
99	C₂×#41	—	2	2	no	—
100	C₂×#41	—	2	1	no	—
101	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
106	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
110	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
113	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
114	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
115	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
116	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
117	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
118	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
120	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
121	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
122	#127	—	2	1	no	—
123	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
125	#126	—	2	2	no	—
126	#126	—	2	2	no	—
127	#126	—	2	2	no	—
128	#125	—	2	2	no	—
129	#125	C₂³	1	2	yes	—
130	#124	—	2	1	no	—
131	#124	—	2	1	no	—
132	#124	—	2	2	no	—
133	#124	—	2	2	no	—
134	#124	—	2	1	no	—
135	#124	—	2	1	no	—
136	#124	C₂³	1	2	yes	—
137	#123	—	2	2	no	—
138	#123	—	2	2	no	—
139	#123	—	2	2	no	—
140	#123	—	2	4	no	—
141	#123	—	2	4	no	—
142	#123	—	2	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
148	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
149	#121	—	2	2	no	—
150	#121	—	2	2	no	—
151	#121	—	2	1	no	—
152	#121	—	2	2	no	—
153	#121	—	2	1	no	—
154	#121	—	2	2	no	—
155	#121	C₂³	1	2	yes	—
156	#121	C₂³	1	2	yes	—
157	#121	C₂³	1	4	yes	—
158	#121	C₂³	1	2	yes	—
159	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
163	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	C₄×D₄	—	2	2	no	—
171	C₄×D₄	—	2	2	no	—
172	C₄×D₄	—	2	2	no	—
173	C₄×D₄	—	2	1	no	—
174	C₄×D₄	—	2	1	no	—
175	C₄×D₄	—	2	2	no	—
176	C₄×D₄	—	2	2	no	—
177	C₄×D₄	—	2	1	no	—
178	C₄×D₄	—	2	2	no	—
179	C₄×D₄	—	2	1	no	—
180	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
181	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
183	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
184	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
185	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
186	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
187	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
188	#117	—	2	2	no	—
189	#117	—	2	2	no	—
190	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
191	#117	D₄	1	2	yes	—
192	#117	C₂³	1	2	yes	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
199	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
203	#107	C₂³	1	4	yes	—
204	#107	C₂³	1	4	yes	—
205	#107	C₂³	1	4	yes	—
206	#106	C₂³	1	4	yes	—
207	#106	C₂³	1	4	yes	—
208	#106	C₂³	1	2	yes	—
209	#106	C₂³	1	2	yes	—
210	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
211	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
212	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
213	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
214	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
215	#103	C₂³	1	4	yes	—
216	#103	C₂³	1	4	yes	—
217	#103	C₂³	1	2	yes	—
218	#103	C₂³	1	2	yes	—
219	#102	C₂³	1	4	yes	—
220	#102	C₂³	1	4	yes	—
221	#102	C₂³	1	2	yes	—
222	#102	C₂³	1	2	yes	—
223	#102	C₂³	1	4	yes	—
224	#102	C₂³	1	4	yes	—
225	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
226	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
227	#97	C₂³	1	4	yes	—
228	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
229	#41	—	2	4	no	—
230	#41	—	2	4	no	—
231	#41	—	4	2	no	—
232	#41	—	4	8	no	—
233	#41	—	4	16	no	—
234	#41	—	4	8	no	—
235	#41	—	4	4	no	—
236	#41	—	4	4	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
248	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
250	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₂×D₄	—	2	2	no	—
252	C₂×D₄	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	2	2	no	—
255	C₂×D₄	—	2	2	no	—
256	C₂×D₄	—	2	1	no	—
257	C₂×D₄	—	2	1	no	—
258	C₂×D₄	—	2	1	no	—
259	C₂×D₄	—	2	1	no	—
260	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
261	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
262	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
263	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
279	SD₁₆	—	2	4	no	—
280	SD₁₆	—	4	2	no	—
281	D₈	—	4	4	no	—
282	M₁₆	—	4	4	no	—
283	C₂×C₈	—	4	2	no	—
284	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
285	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
304	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
306	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
307	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
308	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
309	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
310	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
311	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
318	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
319	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
325	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
326	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
327	C₄²	—	2	1	no	—
328	C₄²	—	2	1	no	—
329	C₄²	—	2	2	no	—
330	C₄²	—	2	2	no	—
331	C₄²	—	2	1	no	—
332	C₄²	—	2	1	no	—
333	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
334	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
335	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
338	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
339	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	—	2	2	no	—
341	C₂³	—	2	2	no	—
342	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
343	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	2	2	no	—
345	Q₈	—	2	1	no	—
346	Q₈	—	2	1	no	—
347	Q₈	—	2	1	no	—
348	Q₈	—	4	2	no	—
349	Q₈	—	4	8	no	—
350	Q₈	—	4	2	no	—
351	Q₈	—	4	4	no	—
352	Q₈	—	4	4	no	—
353	Q₈	—	4	2	no	—
354	Q₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	complemented
355	D₄	—	2	4	no	—
356	D₄	—	2	2	no	—
357	D₄	—	2	2	no	—
358	D₄	—	2	2	no	—
359	D₄	—	2	2	no	—
360	D₄	—	2	2	no	—
361	D₄	—	4	4	no	—
362	D₄	—	4	2	no	—
363	D₄	—	4	8	no	—
364	D₄	—	4	4	no	—
365	D₄	—	4	4	no	—
366	D₄	—	4	2	no	—
367	D₄	—	4	2	no	—
368	D₄	—	8	1	no	—
369	D₄	—	8	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	1	no	—
371	C₂×C₄	—	2	4	no	—
372	C₂×C₄	—	2	1	no	—
373	C₂×C₄	—	2	2	no	—
374	C₂×C₄	—	2	1	no	—
375	C₂×C₄	—	2	2	no	—
376	C₂×C₄	—	2	1	no	—
377	C₂×C₄	—	2	1	no	—
378	C₂×C₄	—	2	2	no	—
379	C₂×C₄	—	2	1	no	—
380	C₂×C₄	—	2	4	no	—
381	C₂×C₄	—	2	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	1	no	—
384	C₂×C₄	—	4	4	no	—
385	C₂×C₄	—	4	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	8	no	—
387	C₂×C₄	—	4	8	no	—
388	C₂×C₄	—	4	4	no	—
389	C₂×C₄	—	4	4	no	—
390	C₂×C₄	—	4	4	no	—
391	C₂×C₄	—	8	2	no	—
392	C₂×C₄	—	8	1	no	—
393	C₂×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
394	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
397	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
398	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
399	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
400	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
403	C₈	—	2	2	no	—
404	C₈	—	2	4	no	—
405	C₈	—	2	2	no	—
406	C₂²	—	2	1	no	—
407	C₂²	—	2	1	no	—
408	C₂²	—	2	2	no	—
409	C₂²	—	2	2	no	—
410	C₂²	—	2	2	no	—
411	C₂²	—	4	2	no	—
412	C₂²	—	4	2	no	—
413	C₂²	—	4	2	no	—
414	C₂²	—	4	2	no	—
415	C₂²	—	4	2	no	—
416	C₂²	—	4	2	no	—
417	C₂²	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
418	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
419	C₄	—	2	1	no	—
420	C₄	—	2	2	no	—
421	C₄	—	2	1	no	—
422	C₄	—	2	2	no	—
423	C₄	—	2	1	no	—
424	C₄	—	2	2	no	—
425	C₄	—	2	2	no	—
426	C₄	—	4	1	no	—
427	C₄	—	4	1	no	—
428	C₄	—	4	1	no	—
429	C₄	—	4	4	no	—
430	C₄	—	4	2	no	—
431	C₄	—	4	2	no	—
432	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
433	C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
434	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
435	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
436	C₂	—	2	2	no	—
437	C₂	—	4	2	no	—
438	C₂	—	8	2	no	—
439	C₂	—	8	2	no	—
440	C₂	#3489	1	1	yes	characteristic
441	C₂	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
442	C₂	#3586	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3499	C₂	semidirect
2. #3480	C₂	semidirect
3. #3386	C₂	semidirect
4. #3373	C₂	semidirect
5. #3353	C₂	semidirect
6. #3345	C₂	semidirect
7. #3332	C₂	semidirect
8. #3308	C₂	semidirect
9. #3251	C₂	semidirect
10. #3245	C₂	semidirect
11. #3239	C₂	semidirect
12. #3226	C₂	semidirect
13. #3115	C₂	semidirect
14. #3103	C₂	semidirect
15. #3079	C₂	semidirect
16. C₂×#475	C₂	semidirect
17. #2989	C₂	semidirect
354. Q₈	2₋¹⁺⁴	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3499	2
#3480	2
#3386	2
#3373	2
#3353	2
#3345	2
#3332	2
#3308	2
#3251	2
#3245	2
#3239	2
#3226	2
#3115	2
#3103	2
#3079	2
C₂×#475	2
#2989	2