Subgroups — #62114

Order 256.

870 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 429 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3511	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	Q₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3385	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3372	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3357	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3346	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3320	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3254	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3246	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3237	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3230	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3112	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3103	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3078	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂×#477	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2989	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	Q₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#557	—	2	1	no	—
20	#557	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#556	—	2	1	no	—
22	#555	C₂²	1	2	yes	—
23	#554	—	2	1	no	—
24	#554	—	2	2	no	—
25	#554	C₂²	1	2	yes	—
26	#554	C₂²	1	2	yes	—
27	#554	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#553	C₂²	1	4	yes	—
29	D₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
31	#548	—	2	2	no	—
32	#547	—	2	1	no	—
33	#542	—	2	2	no	—
34	#537	—	2	1	no	—
35	#533	—	2	1	no	—
36	#533	—	2	2	no	—
37	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#533	C₂²	1	2	yes	—
39	#533	C₂²	1	2	yes	—
40	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#532	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#520	—	2	1	no	—
44	C₄×#41	—	2	1	no	—
45	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
48	#501	C₂²	1	4	yes	—
49	#500	C₂²	1	2	yes	—
50	#491	C₂²	1	4	yes	—
51	#487	C₂²	1	2	yes	—
52	#485	C₂²	1	4	yes	—
53	#485	C₂²	1	4	yes	—
54	#484	C₂²	1	4	yes	—
55	#481	C₂²	1	2	yes	—
56	#480	C₂²	1	4	yes	—
57	#479	C₂²	1	4	yes	—
58	#479	C₂²	1	4	yes	—
59	#477	C₂²	1	2	yes	—
60	#477	C₂²	1	2	yes	—
61	#477	C₂²	1	2	yes	—
62	#477	C₂²	1	2	yes	—
63	#477	C₂²	1	2	yes	—
64	#477	C₂²	1	2	yes	—
65	#476	C₂²	1	2	yes	—
66	#475	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	#475	C₂²	1	2	yes	—
68	#475	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	#474	C₂²	1	4	yes	—
70	#468	C₂²	1	4	yes	—
71	#468	C₂²	1	4	yes	—
72	#465	C₂²	1	4	yes	—
73	#461	C₂²	1	2	yes	—
74	#461	C₂²	1	4	yes	—
75	#460	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	#460	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#460	C₂²	1	2	yes	—
78	#448	C₂²	1	4	yes	—
79	#448	C₂²	1	2	yes	—
80	#446	C₂²	1	2	yes	—
81	#440	C₂²	1	4	yes	—
82	#440	C₂²	1	4	yes	—
83	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
84	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
85	#436	C₂²	1	2	yes	—
86	#435	C₂²	1	4	yes	—
87	#432	C₂²	1	2	yes	—
88	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	#428	C₂²	1	4	yes	—
90	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
91	#423	C₂²	1	2	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
93	#419	C₂²	1	4	yes	—
94	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	—
95	C₂×#41	—	2	1	no	—
96	C₂×#41	—	2	2	no	—
97	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
99	C₂²×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
108	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
109	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
111	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
112	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
114	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
117	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
118	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
119	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
120	#126	—	2	4	no	—
121	#125	—	2	1	no	—
122	#125	—	2	2	no	—
123	#125	—	2	1	no	—
124	#125	—	2	2	no	—
125	#125	—	2	1	no	—
126	#125	—	2	2	no	—
127	#125	C₂³	1	4	yes	—
128	#124	—	2	4	no	—
129	#124	—	2	1	no	—
130	#124	—	2	2	no	—
131	#123	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
145	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
146	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
147	#121	—	2	2	no	—
148	#121	—	2	4	no	—
149	#121	—	2	2	no	—
150	#121	—	2	1	no	—
151	#121	C₂³	1	2	yes	—
152	#121	C₂³	1	4	yes	—
153	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
154	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
157	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
169	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
170	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
171	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
172	C₄×D₄	—	2	1	no	—
173	C₄×D₄	—	2	2	no	—
174	C₄×D₄	—	2	2	no	—
175	C₄×D₄	—	2	1	no	—
176	C₄×D₄	—	2	4	no	—
177	C₄×D₄	—	2	2	no	—
178	C₄×D₄	—	2	1	no	—
179	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
180	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
181	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
182	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
183	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
184	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
185	#117	—	2	2	no	—
186	#117	—	2	1	no	—
187	#117	—	2	2	no	—
188	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
189	#117	D₄	1	2	yes	—
190	#117	C₂³	1	4	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
198	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
200	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
202	#107	C₂³	1	4	yes	—
203	#107	C₂³	1	4	yes	—
204	#107	C₂³	1	4	yes	—
205	#107	C₂³	1	4	yes	—
206	#106	C₂³	1	2	yes	—
207	#106	C₂³	1	4	yes	—
208	#106	C₂³	1	2	yes	—
209	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
210	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
211	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
212	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
213	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
214	#103	C₂³	1	4	yes	—
215	#103	C₂³	1	4	yes	—
216	#103	C₂³	1	2	yes	—
217	#103	C₂³	1	4	yes	—
218	#103	C₂³	1	4	yes	—
219	#103	C₂³	1	2	yes	—
220	#103	C₂³	1	4	yes	—
221	#102	C₂³	1	2	yes	—
222	#102	C₂³	1	2	yes	—
223	#102	C₂³	1	4	yes	—
224	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
225	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
226	#97	C₂³	1	4	yes	—
227	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
228	#41	—	2	4	no	—
229	#41	—	4	4	no	—
230	#41	—	8	4	no	—
231	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
239	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
240	C₂×Q₈	—	4	1	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
243	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
246	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
247	C₂×D₄	—	2	2	no	—
248	C₂×D₄	—	2	4	no	—
249	C₂×D₄	—	2	1	no	—
250	C₂×D₄	—	2	1	no	—
251	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
252	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
253	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
254	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
267	SD₁₆	—	2	4	no	—
268	SD₁₆	—	4	4	no	—
269	SD₁₆	—	4	2	no	—
270	M₁₆	—	4	4	no	—
271	C₂×C₈	—	4	2	no	—
272	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
273	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
274	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
275	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
302	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
303	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
304	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
305	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
306	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
307	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
317	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
318	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
319	C₄²	—	2	1	no	—
320	C₄²	—	2	2	no	—
321	C₄²	—	2	1	no	—
322	C₄²	—	2	2	no	—
323	C₄²	—	2	1	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	—	2	1	no	—
326	C₄²	—	2	4	no	—
327	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
328	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
331	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
332	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
333	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
334	C₂³	—	2	2	no	—
335	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
336	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
337	Q₈	—	2	2	no	—
338	Q₈	—	2	1	no	—
339	Q₈	—	2	1	no	—
340	Q₈	—	2	2	no	—
341	Q₈	—	2	2	no	—
342	Q₈	—	2	1	no	—
343	Q₈	—	4	2	no	—
344	Q₈	—	4	4	no	—
345	Q₈	—	4	4	no	—
346	Q₈	—	4	2	no	—
347	Q₈	—	8	2	no	—
348	Q₈	—	8	1	no	—
349	Q₈	—	8	2	no	—
350	Q₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
351	D₄	—	2	4	no	—
352	D₄	—	2	2	no	—
353	D₄	—	2	2	no	—
354	D₄	—	2	2	no	—
355	D₄	—	4	2	no	—
356	D₄	—	4	4	no	—
357	D₄	—	4	2	no	—
358	D₄	—	8	4	no	—
359	C₂×C₄	—	2	1	no	—
360	C₂×C₄	—	2	4	no	—
361	C₂×C₄	—	2	1	no	—
362	C₂×C₄	—	2	2	no	—
363	C₂×C₄	—	2	1	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	2	1	no	—
366	C₂×C₄	—	2	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	2	no	—
368	C₂×C₄	—	2	1	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	1	no	—
371	C₂×C₄	—	2	4	no	—
372	C₂×C₄	—	4	1	no	—
373	C₂×C₄	—	4	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	4	no	—
377	C₂×C₄	—	8	4	no	—
378	C₂×C₄	—	8	1	no	—
379	C₂×C₄	—	8	2	no	—
380	C₂×C₄	—	8	2	no	—
381	C₂×C₄	#137	1	4	yes	—
382	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
384	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
387	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
391	C₈	—	2	2	no	—
392	C₈	—	2	4	no	—
393	C₈	—	2	2	no	—
394	C₂²	—	2	1	no	—
395	C₂²	—	2	1	no	—
396	C₂²	—	2	2	no	—
397	C₂²	—	2	2	no	—
398	C₂²	—	2	2	no	—
399	C₂²	—	4	2	no	—
400	C₂²	—	4	2	no	—
401	C₂²	—	4	2	no	—
402	C₂²	C₂×#137	1	2	yes	—
403	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
404	C₄	—	2	1	no	—
405	C₄	—	2	2	no	—
406	C₄	—	2	1	no	—
407	C₄	—	2	1	no	—
408	C₄	—	2	2	no	—
409	C₄	—	2	2	no	—
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	4	1	no	—
412	C₄	—	4	4	no	—
413	C₄	—	4	1	no	—
414	C₄	—	4	2	no	—
415	C₄	—	4	1	no	—
416	C₄	—	4	2	no	—
417	C₄	—	4	2	no	—
418	C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
419	C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
420	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
421	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
422	C₂	—	2	2	no	—
423	C₂	—	4	2	no	—
424	C₂	—	8	2	no	—
425	C₂	#3489	1	1	yes	characteristic
426	C₂	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
427	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3511	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. Q₈×#41	C₂	semidirect
3. #3385	C₂	semidirect
4. #3372	C₂	semidirect
5. #3357	C₂	semidirect
6. #3346	C₂	semidirect
7. #3329	C₂	semidirect
8. #3320	C₂	semidirect
9. #3254	C₂	semidirect
10. #3246	C₂	semidirect
11. #3237	C₂	semidirect
12. #3230	C₂	semidirect
13. #3112	C₂	semidirect
14. #3103	C₂	semidirect
15. #3078	C₂	semidirect
16. C₂×#477	C₂	semidirect
17. #2989	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3511	2
Q₈×#41	2
#3385	2
#3372	2
#3357	2
#3346	2
#3329	2
#3320	2
#3254	2
#3246	2
#3237	2
#3230	2
#3112	2
#3103	2
#3078	2
C₂×#477	2
#2989	2