Subgroups — #62244

Order 256.

957 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 340 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3505	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3337	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#3300	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3297	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3282	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3250	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3191	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3189	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3186	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3050	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#465	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	complemented
15	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#553	—	2	4	no	—
19	#553	C₂²	1	4	yes	—
20	#552	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#551	—	2	4	no	—
22	#548	C₂²	1	4	yes	—
23	#546	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#539	—	2	2	no	—
25	#538	—	2	2	no	—
26	#534	—	2	2	no	—
27	#529	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#525	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
31	#518	—	2	2	no	—
32	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#499	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#488	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
37	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
45	#466	C₂²	1	2	yes	—
46	#466	C₂²	1	2	yes	—
47	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#451	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
59	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
60	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
61	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
62	C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
63	C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
67	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
68	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
70	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
72	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
73	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
74	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#135	—	4	4	no	—
81	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
84	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
89	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
90	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
95	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#126	—	2	4	no	—
99	#126	—	2	4	no	—
100	#126	—	2	4	no	—
101	#125	—	2	4	no	—
102	#125	C₂³	1	4	yes	—
103	#124	—	2	4	no	—
104	#124	C₂³	1	4	yes	—
105	#123	—	2	4	no	—
106	#123	—	2	4	no	—
107	#123	—	2	4	no	—
108	#123	—	2	4	no	—
109	#123	—	2	4	no	—
110	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
111	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
112	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
113	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
114	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
115	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
116	#121	—	2	4	no	—
117	#121	—	2	4	no	—
118	#121	—	2	2	no	—
119	#121	—	2	2	no	—
120	#121	—	2	4	no	—
121	#121	C₂³	1	4	yes	—
122	#121	C₂³	1	4	yes	—
123	#121	C₂³	1	4	yes	—
124	#120	—	2	4	no	—
125	#120	—	2	4	no	—
126	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
127	C₄×D₄	—	2	4	no	—
128	C₄×D₄	—	2	4	no	—
129	C₄×D₄	—	2	4	no	—
130	C₄×D₄	—	2	4	no	—
131	C₄×D₄	—	2	4	no	—
132	C₄×D₄	D₄	1	4	yes	—
133	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
134	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
135	#117	—	2	4	no	—
136	#117	—	2	4	no	—
137	#117	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
141	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
144	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
145	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	#107	C₂³	1	2	yes	—
149	#107	C₂³	1	2	yes	—
150	#107	C₂³	1	2	yes	—
151	#107	C₂³	1	2	yes	—
152	#106	C₂³	1	4	yes	—
153	#106	C₂³	1	4	yes	—
154	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
155	#103	C₂³	1	4	yes	—
156	#103	C₂³	1	4	yes	—
157	#103	C₂³	1	4	yes	—
158	#103	C₂³	1	4	yes	—
159	#102	C₂³	1	4	yes	—
160	#102	C₂³	1	4	yes	—
161	#102	C₂³	1	4	yes	—
162	#102	C₂³	1	4	yes	—
163	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
164	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
165	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
166	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
167	C₂⁴	—	2	2	no	—
168	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
169	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
170	#41	—	4	4	no	—
171	#41	—	4	4	no	—
172	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
174	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
175	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
176	C₂×D₄	—	2	4	no	—
177	C₂×D₄	—	2	4	no	—
178	C₂×D₄	—	2	4	no	—
179	C₂×D₄	—	2	4	no	—
180	C₂×D₄	—	2	4	no	—
181	C₂×D₄	—	2	2	no	—
182	C₂×D₄	—	4	2	no	—
183	C₂×D₄	—	4	2	no	—
184	C₂×D₄	—	4	8	no	—
185	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
186	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
196	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
198	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	Q₁₆	—	4	2	no	—
206	Q₁₆	—	4	2	no	—
207	SD₁₆	—	2	8	no	—
208	SD₁₆	—	4	4	no	—
209	D₈	—	4	2	no	—
210	D₈	—	4	2	no	—
211	C₂×C₈	—	2	2	no	—
212	C₂×C₈	—	2	4	no	—
213	C₂×C₈	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	4	2	no	—
215	C₂×C₈	—	4	2	no	—
216	C₂×C₈	—	4	1	no	—
217	C₂×C₈	—	4	1	no	—
218	C₂×C₈	—	4	1	no	—
219	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
222	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
224	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
234	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
246	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	4	no	—
249	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
250	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
251	C₂³	—	2	2	no	—
252	C₂³	—	2	4	no	—
253	C₂³	—	4	1	no	—
254	C₂³	—	4	1	no	—
255	C₂³	—	4	1	no	—
256	C₂³	—	4	1	no	—
257	C₂³	—	4	4	no	—
258	C₂³	—	8	2	no	—
259	C₂³	—	8	2	no	—
260	C₂³	#135	1	4	yes	complemented
261	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
262	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
264	Q₈	—	2	4	no	—
265	Q₈	—	2	4	no	—
266	Q₈	—	8	2	no	—
267	D₄	—	2	8	no	—
268	D₄	—	2	4	no	—
269	D₄	—	2	4	no	—
270	D₄	—	4	8	no	—
271	D₄	—	4	8	no	—
272	D₄	—	8	2	no	—
273	D₄	—	8	4	no	—
274	D₄	—	8	4	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	4	1	no	—
288	C₂×C₄	—	4	1	no	—
289	C₂×C₄	—	4	1	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	8	4	no	—
292	C₂×C₄	—	8	4	no	—
293	C₂×C₄	—	8	2	no	—
294	C₂×C₄	—	8	2	no	—
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
301	C₈	—	2	1	no	—
302	C₈	—	2	2	no	—
303	C₈	—	2	2	no	—
304	C₈	—	2	2	no	—
305	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
306	C₂²	—	2	1	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	1	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	2	no	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	4	4	no	—
316	C₂²	—	4	4	no	—
317	C₂²	—	4	4	no	—
318	C₂²	—	16	4	no	—
319	C₂²	C₂×#135	1	2	yes	—
320	C₂²	C₂×#135	1	4	yes	—
321	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄	—	2	2	no	—
323	C₄	—	2	1	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	2	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	4	4	no	—
328	C₄	—	4	4	no	—
329	C₄	—	4	4	no	—
330	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
331	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
332	C₂	—	2	2	no	—
333	C₂	—	2	4	no	—
334	C₂	—	4	2	no	—
335	C₂	—	8	4	no	—
336	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
337	C₂	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
338	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3505	C₂	semidirect
2. #3337	C₂	semidirect
3. #3300	C₂	semidirect
4. #3297	C₂	semidirect
5. #3282	C₂	semidirect
6. #3250	C₂	semidirect
7. #3191	C₂	semidirect
8. #3189	C₂	semidirect
9. #3186	C₂	semidirect
10. #3168	C₂	semidirect
11. #3050	C₂	semidirect
12. C₂×#465	C₂	semidirect
13. C₂×C₈×D₄	C₂	semidirect
14. C₂×#135	C₂²	semidirect
15. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
17. C₂³×C₈	C₂²	semidirect
20. #552	C₂²	semidirect
23. #546	C₂²	semidirect
27. #529	C₂²	semidirect
28. #525	C₂²	semidirect
33. #499	C₂²	semidirect
34. #495	C₂²	semidirect
35. #488	C₂²	semidirect
36. #485	C₂²	semidirect
37. #484	C₂²	semidirect
38. #482	C₂²	semidirect
39. #480	C₂²	semidirect
40. #479	C₂²	semidirect
41. #478	C₂²	semidirect
42. #467	C₂²	semidirect
43. #467	C₂²	semidirect
44. #467	C₂²	semidirect
47. #466	C₂²	semidirect
48. #465	C₂²	semidirect
49. #465	C₂²	semidirect
50. #465	C₂²	semidirect
51. #465	C₂²	semidirect
52. #465	C₂²	semidirect
53. #464	C₂²	semidirect
54. #463	C₂²	semidirect
55. #452	C₂²	semidirect
56. #451	C₂²	semidirect
57. #449	C₂²	semidirect
58. #447	C₂²	semidirect
59. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
60. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
61. C₄×D₈	C₂²	semidirect
62. C₈×D₄	C₂²	semidirect
63. C₈×D₄	C₂²	semidirect
64. #427	C₂²	semidirect
65. C₂×#106	C₂²	semidirect
66. C₂×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
67. #416	C₂²	semidirect
68. C₂×#103	C₂²	semidirect
69. C₂×#102	C₂²	semidirect
71. C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	semidirect
72. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect
260. C₂³	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3505	2
#3337	2
#3300	2
#3297	2
#3282	2
#3250	2
#3191	2
#3189	2
#3186	2
#3168	2
#3050	2
C₂×#465	2
C₂×C₈×D₄	2