Subgroups — #62249

Order 256.

951 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 279 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3506	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3341	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3304	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3303	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3287	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3283	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3246	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3191	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3050	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂×#135	C₂²	1	4	yes	complemented
15	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
16	#559	—	2	4	no	—
17	#556	C₂²	1	4	yes	—
18	#555	C₂²	1	4	yes	—
19	#553	—	2	4	no	—
20	#550	C₂²	1	4	yes	—
21	#547	C₂²	1	4	yes	—
22	#538	—	2	4	no	—
23	#535	—	2	2	no	—
24	#533	C₂²	1	2	yes	—
25	#532	C₂²	1	2	yes	—
26	#525	C₂²	1	8	yes	—
27	#520	—	2	2	no	—
28	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
30	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
31	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
32	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
33	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#485	C₂²	1	8	yes	complemented
36	#482	C₂²	1	8	yes	complemented
37	#476	C₂²	1	4	yes	complemented
38	#475	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#467	C₂²	1	2	yes	—
40	#467	C₂²	1	2	yes	—
41	#467	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#466	C₂²	1	2	yes	—
43	#466	C₂²	1	2	yes	—
44	#466	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#465	C₂²	1	8	yes	—
46	#465	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#460	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
51	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
52	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
53	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
54	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
55	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
56	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
57	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
58	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
59	#427	C₂²	1	4	yes	complemented
60	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
61	#416	C₂²	1	8	yes	complemented
62	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
63	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	C₂×#41	—	2	2	no	—
65	C₂×#41	C₂³	1	8	yes	—
66	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
68	#135	—	4	8	no	—
69	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
73	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
75	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
77	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
79	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
82	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
83	#127	—	2	4	no	—
84	#127	C₂³	1	2	yes	—
85	#126	—	2	8	no	—
86	#125	—	2	2	no	—
87	#124	—	2	4	no	—
88	#124	—	2	8	no	—
89	#124	—	2	2	no	—
90	#123	—	2	8	no	—
91	#123	—	2	8	no	—
92	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
93	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
95	#121	—	2	4	no	—
96	#121	—	2	4	no	—
97	#121	—	2	2	no	—
98	#121	—	2	8	no	—
99	#121	C₂³	1	4	yes	—
100	#121	C₂³	1	8	yes	—
101	#120	—	2	8	no	—
102	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
103	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
104	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
105	C₄×D₄	—	2	8	no	—
106	C₄×D₄	—	2	8	no	—
107	C₄×D₄	—	2	4	no	—
108	C₄×D₄	—	2	2	no	—
109	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
110	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
111	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
112	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
113	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
114	#117	—	2	2	no	—
115	#117	—	2	4	no	—
116	#117	C₂³	1	8	yes	—
117	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
118	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
121	#107	C₂³	1	2	yes	—
122	#107	C₂³	1	2	yes	—
123	#107	C₂³	1	2	yes	—
124	#107	C₂³	1	2	yes	—
125	#106	C₂³	1	8	yes	—
126	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
127	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
128	#103	C₂³	1	4	yes	—
129	#103	C₂³	1	8	yes	—
130	#103	C₂³	1	4	yes	—
131	#102	C₂³	1	4	yes	—
132	#102	C₂³	1	8	yes	—
133	#102	C₂³	1	4	yes	—
134	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
135	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
136	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
137	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
139	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
141	#41	—	4	8	no	—
142	#41	—	4	8	no	—
143	#41	—	4	8	no	—
144	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
147	C₂×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂×D₄	—	2	8	no	—
149	C₂×D₄	—	2	8	no	—
150	C₂×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂×D₄	—	2	2	no	—
152	C₂×D₄	—	2	2	no	—
153	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
155	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
158	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
162	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
166	Q₁₆	—	2	4	no	—
167	Q₁₆	—	4	2	no	—
168	SD₁₆	—	4	8	no	—
169	D₈	—	2	4	no	—
170	D₈	—	4	2	no	—
171	C₂×C₈	—	2	2	no	—
172	C₂×C₈	—	2	8	no	—
173	C₂×C₈	—	4	4	no	—
174	C₂×C₈	—	4	2	no	—
175	C₂×C₈	—	4	1	no	—
176	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
180	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
181	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
185	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
186	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
187	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
188	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
191	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
192	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
193	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
194	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
196	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
199	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
200	C₄²	—	2	8	no	—
201	C₄²	—	2	4	no	—
202	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
203	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
206	C₂³	—	2	4	no	—
207	C₂³	—	2	4	no	—
208	C₂³	—	4	2	no	—
209	C₂³	—	4	2	no	—
210	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
211	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
212	Q₈	—	2	4	no	—
213	Q₈	—	2	4	no	—
214	Q₈	—	4	4	no	—
215	Q₈	—	8	2	no	—
216	D₄	—	2	4	no	—
217	D₄	—	2	4	no	—
218	D₄	—	2	4	no	—
219	D₄	—	2	4	no	—
220	D₄	—	4	8	no	—
221	D₄	—	4	4	no	—
222	D₄	—	8	2	no	—
223	D₄	—	8	8	no	—
224	D₄	—	8	8	no	—
225	C₂×C₄	—	2	1	no	—
226	C₂×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₄	—	2	1	no	—
228	C₂×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂×C₄	—	2	4	no	—
231	C₂×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂×C₄	—	4	4	no	—
233	C₂×C₄	—	4	2	no	—
234	C₂×C₄	—	4	1	no	—
235	C₂×C₄	—	4	8	no	—
236	C₂×C₄	—	8	8	no	—
237	C₂×C₄	#135	1	4	yes	complemented
238	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
239	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
245	C₈	—	2	1	no	—
246	C₈	—	2	4	no	—
247	C₈	—	2	1	no	—
248	C₈	—	2	1	no	—
249	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
250	C₂²	—	2	1	no	—
251	C₂²	—	2	1	no	—
252	C₂²	—	2	4	no	—
253	C₂²	—	2	4	no	—
254	C₂²	—	2	4	no	—
255	C₂²	—	4	8	no	—
256	C₂²	—	4	4	no	—
257	C₂²	—	4	4	no	—
258	C₂²	—	4	4	no	—
259	C₂²	C₂×#135	1	2	yes	—
260	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₄	—	2	1	no	—
262	C₄	—	2	1	no	—
263	C₄	—	2	1	no	—
264	C₄	—	2	4	no	—
265	C₄	—	4	4	no	—
266	C₄	—	4	4	no	—
267	C₄	—	4	4	no	—
268	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
269	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
270	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
271	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
272	C₂	—	2	2	no	—
273	C₂	—	4	4	no	—
274	C₂	—	8	4	no	—
275	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
276	C₂	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
277	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3506	C₂	semidirect
2. #3342	C₂	semidirect
3. #3341	C₂	semidirect
4. #3304	C₂	semidirect
5. #3303	C₂	semidirect
6. #3287	C₂	semidirect
7. #3283	C₂	semidirect
8. #3246	C₂	semidirect
9. #3191	C₂	semidirect
10. #3170	C₂	semidirect
11. #3169	C₂	semidirect
12. #3050	C₂	semidirect
13. C₂×C₈×D₄	C₂	semidirect
14. C₂×#135	C₂²	semidirect
29. #500	C₂²	semidirect
30. #500	C₂²	semidirect
31. #494	C₂²	semidirect
32. #493	C₂²	semidirect
33. #487	C₂²	semidirect
34. #486	C₂²	semidirect
35. #485	C₂²	semidirect
36. #482	C₂²	semidirect
37. #476	C₂²	semidirect
38. #475	C₂²	semidirect
41. #467	C₂²	semidirect
44. #466	C₂²	semidirect
46. #465	C₂²	semidirect
47. #461	C₂²	semidirect
48. #460	C₂²	semidirect
49. #452	C₂²	semidirect
50. #449	C₂²	semidirect
51. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
52. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
53. C₄×D₈	C₂²	semidirect
54. C₄×D₈	C₂²	semidirect
59. #427	C₂²	semidirect
61. #416	C₂²	semidirect
237. C₂×C₄	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3506	2
#3342	2
#3341	2
#3304	2
#3303	2
#3287	2
#3283	2
#3246	2
#3191	2
#3170	2
#3169	2
#3050	2
C₂×C₈×D₄	2