Subgroups — #62252

Order 256.

943 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 383 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3520	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3342	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3302	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3300	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3298	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	D₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3248	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3190	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3050	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	C₂×#467	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	C₂×C₈×D₄	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂³×C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	#556	C₂²	1	2	yes	—
22	#554	—	2	2	no	—
23	#552	C₂²	1	4	yes	—
24	#551	—	2	4	no	—
25	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
26	#548	C₂²	1	4	yes	—
27	#547	C₂²	1	2	yes	—
28	#547	C₂²	1	2	yes	—
29	#546	—	2	2	no	—
30	#542	—	2	2	no	—
31	#539	—	2	4	no	—
32	#533	C₂²	1	2	yes	—
33	#529	C₂²	1	2	yes	—
34	#525	C₂²	1	4	yes	—
35	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	4	yes	—
36	#520	—	2	2	no	—
37	C₂×C₄×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#499	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#495	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
41	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
42	#488	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#483	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#475	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic
52	#467	C₂²	1	2	yes	—
53	#467	C₂²	1	2	yes	—
54	#467	C₂²	1	4	yes	—
55	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#467	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#466	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#465	C₂²	1	2	yes	—
62	#465	C₂²	1	4	yes	—
63	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#462	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#461	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#451	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
71	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
72	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
73	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
74	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
75	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
76	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
78	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
81	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
83	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
86	C₂×#103	C₂²	1	4	yes	complemented
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂²×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂³×C₄	C₂³	1	2	yes	—
94	#135	—	4	4	no	—
95	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
101	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
104	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
114	#126	—	2	4	no	—
115	#126	—	2	4	no	—
116	#126	—	2	2	no	—
117	#125	—	2	4	no	—
118	#125	—	2	2	no	—
119	#125	C₂³	1	2	yes	—
120	#124	—	2	2	no	—
121	#124	—	2	4	no	—
122	#124	C₂³	1	2	yes	—
123	#123	—	2	4	no	—
124	#123	—	2	4	no	—
125	#123	—	2	2	no	—
126	#123	—	2	4	no	—
127	#123	—	2	4	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
136	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
139	#121	—	2	4	no	—
140	#121	—	2	2	no	—
141	#121	C₂³	1	2	yes	—
142	#121	C₂³	1	4	yes	—
143	#120	—	2	4	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
147	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	—	2	4	no	—
153	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
155	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
157	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
159	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
160	#117	—	2	2	no	—
161	#117	—	2	4	no	—
162	#117	—	2	2	no	—
163	#117	C₂³	1	4	yes	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
168	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	D₄	1	2	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
171	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
172	#107	C₂³	1	2	yes	—
173	#107	C₂³	1	4	yes	—
174	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
175	#107	C₂³	1	2	yes	—
176	#106	C₂³	1	4	yes	—
177	#106	C₂³	1	2	yes	—
178	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
181	#103	C₂³	1	2	yes	—
182	#103	C₂³	1	4	yes	—
183	#103	C₂³	1	4	yes	—
184	#103	C₂³	1	4	yes	—
185	#103	C₂³	1	4	yes	—
186	#103	C₂³	1	4	yes	—
187	#103	C₂³	1	2	yes	—
188	#102	C₂³	1	2	yes	—
189	#102	C₂³	1	4	yes	—
190	#102	C₂³	1	2	yes	—
191	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
192	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
193	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
194	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
199	C₂⁴	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	#41	—	4	4	no	—
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	8	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
208	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
209	C₂×D₄	—	2	4	no	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
223	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
224	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	Q₁₆	—	2	2	no	—
232	Q₁₆	—	2	4	no	—
233	Q₁₆	—	4	4	no	—
234	Q₁₆	—	4	2	no	—
235	SD₁₆	—	4	2	no	—
236	SD₁₆	—	4	4	no	—
237	D₈	—	2	2	no	—
238	C₂×C₈	—	2	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	4	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	4	2	no	—
242	C₂×C₈	—	4	2	no	—
243	C₂×C₈	—	4	2	no	—
244	C₂×C₈	—	4	1	no	—
245	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
264	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
266	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
268	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
269	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
283	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
285	C₄²	—	2	4	no	—
286	C₄²	—	2	4	no	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	—	2	4	no	—
293	C₂³	—	2	4	no	—
294	C₂³	—	2	2	no	—
295	C₂³	—	4	2	no	—
296	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
298	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
299	Q₈	—	2	4	no	—
300	Q₈	—	2	2	no	—
301	Q₈	—	2	2	no	—
302	Q₈	—	2	4	no	—
303	Q₈	—	4	4	no	—
304	Q₈	—	8	4	no	—
305	D₄	—	2	4	no	—
306	D₄	—	2	2	no	—
307	D₄	—	2	2	no	—
308	D₄	—	2	2	no	—
309	D₄	—	4	8	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	8	4	no	—
312	D₄	#135	1	4	yes	complemented
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	1	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	4	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	8	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	8	4	no	—
332	C₂×C₄	—	8	4	no	—
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
340	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
341	C₈	—	2	1	no	—
342	C₈	—	2	2	no	—
343	C₈	—	2	2	no	—
344	C₈	—	2	1	no	—
345	C₈	—	2	1	no	—
346	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
347	C₂²	—	2	1	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	1	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	2	2	no	—
353	C₂²	—	2	2	no	—
354	C₂²	—	4	8	no	—
355	C₂²	—	4	2	no	—
356	C₂²	—	4	2	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	C₂×#135	1	4	yes	—
359	C₂²	#578	1	2	yes	—
360	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	1	no	—
365	C₄	—	2	1	no	—
366	C₄	—	2	1	no	—
367	C₄	—	4	4	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	4	2	no	—
370	C₄	—	4	4	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
373	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	2	4	no	—
377	C₂	—	4	2	no	—
378	C₂	—	8	2	no	—
379	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
380	C₂	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
381	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3520	C₂	semidirect
2. #3342	C₂	semidirect
3. #3336	C₂	semidirect
4. #3334	C₂	semidirect
5. #3302	C₂	semidirect
6. #3300	C₂	semidirect
7. #3298	C₂	semidirect
8. D₄×Q₁₆	C₂	semidirect
9. #3285	C₂	semidirect
10. #3283	C₂	semidirect
11. #3248	C₂	semidirect
12. #3190	C₂	semidirect
13. #3170	C₂	semidirect
14. #3168	C₂	semidirect
15. #3050	C₂	semidirect
16. C₂×#467	C₂	semidirect
17. C₂×C₈×D₄	C₂	semidirect
18. C₂×#135	C₂²	semidirect
19. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
38. #500	C₂²	semidirect
39. #499	C₂²	semidirect
40. #495	C₂²	semidirect
41. #494	C₂²	semidirect
42. #488	C₂²	semidirect
43. #487	C₂²	semidirect
44. #485	C₂²	semidirect
45. #485	C₂²	semidirect
46. #483	C₂²	semidirect
47. #480	C₂²	semidirect
48. #479	C₂²	semidirect
49. #475	C₂²	semidirect
50. #474	C₂²	semidirect
55. #467	C₂²	semidirect
56. #467	C₂²	semidirect
57. #467	C₂²	semidirect
58. #467	C₂²	semidirect
60. #466	C₂²	semidirect
63. #465	C₂²	semidirect
64. #464	C₂²	semidirect
65. #462	C₂²	semidirect
66. #461	C₂²	semidirect
67. #452	C₂²	semidirect
68. #452	C₂²	semidirect
69. #451	C₂²	semidirect
70. #448	C₂²	semidirect
71. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
72. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
73. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
74. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
75. C₄×D₈	C₂²	semidirect
82. #427	C₂²	semidirect
83. C₂×#107	C₂²	semidirect
85. #416	C₂²	semidirect
86. C₂×#103	C₂²	semidirect
312. D₄	#135	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3520	2
#3342	2
#3336	2
#3334	2
#3302	2
#3300	2
#3298	2
D₄×Q₁₆	2
#3285	2
#3283	2
#3248	2
#3190	2
#3170	2
#3168	2
#3050	2
C₂×#467	2
C₂×C₈×D₄	2