Subgroups — #62268

Order 256.

952 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 342 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3538	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3537	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#3337	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3320	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3310	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	D₄×SD₁₆	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3260	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3200	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3193	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3174	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3057	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	C₂×#465	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#2929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
15	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
16	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
17	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#563	—	2	2	no	—
19	#560	—	2	2	no	—
20	#553	C₂²	1	4	yes	—
21	#552	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#551	—	2	2	no	—
23	D₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	complemented
24	D₄²	—	2	2	no	—
25	D₄²	C₂²	1	4	yes	—
26	#544	—	2	2	no	—
27	#541	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#540	C₂²	1	2	yes	—
29	#539	—	2	2	no	—
30	#538	—	2	2	no	—
31	#536	C₂²	1	2	yes	complemented
32	#535	C₂²	1	2	yes	—
33	#534	—	2	2	no	—
34	#525	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
36	C₂×#121	C₂²	1	2	yes	—
37	#499	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#492	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#491	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#490	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#460	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
62	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#435	C₂²	1	4	yes	complemented
64	C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₂×#106	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#424	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
69	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
70	C₂×#103	C₂²	1	2	yes	complemented
71	C₂×#102	C₂²	1	2	yes	complemented
72	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
73	#407	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
74	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
75	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
79	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
80	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
81	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
84	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
85	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
86	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
87	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
89	#131	—	4	2	no	—
90	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
94	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
97	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
100	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
101	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
102	#127	—	2	2	no	—
103	#127	C₂³	1	2	yes	—
104	#126	—	2	4	no	—
105	#126	—	2	4	no	—
106	#126	—	2	4	no	—
107	#125	—	2	4	no	—
108	#125	—	2	4	no	—
109	#125	C₂³	1	2	yes	—
110	#125	C₂³	1	2	yes	—
111	#124	—	2	2	no	—
112	#124	—	2	2	no	—
113	#123	—	2	2	no	—
114	#123	—	2	2	no	—
115	#123	—	2	4	no	—
116	#123	—	2	4	no	—
117	#123	—	2	4	no	—
118	#123	D₄	1	2	yes	—
119	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
123	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
124	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
125	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
126	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
127	#121	—	2	4	no	—
128	#121	—	2	2	no	—
129	#121	—	2	2	no	—
130	#121	—	2	4	no	—
131	#121	—	2	4	no	—
132	#121	D₄	1	2	yes	—
133	#121	C₂³	1	4	yes	—
134	#121	C₂³	1	4	yes	—
135	#121	C₂³	1	4	yes	—
136	#120	—	2	2	no	—
137	#120	—	2	2	no	—
138	#120	—	2	4	no	—
139	#120	—	2	4	no	—
140	#120	D₄	1	2	yes	—
141	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
142	C₄×D₄	—	2	4	no	—
143	C₄×D₄	—	2	4	no	—
144	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
145	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
146	#117	—	2	4	no	—
147	#117	C₂³	1	2	yes	—
148	#117	C₂³	1	2	yes	—
149	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
154	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
155	#107	C₂³	1	4	yes	—
156	#107	C₂³	1	4	yes	—
157	#106	C₂³	1	4	yes	—
158	#106	C₂³	1	4	yes	—
159	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
160	#103	C₂³	1	4	yes	—
161	#103	C₂³	1	4	yes	—
162	#103	C₂³	1	4	yes	—
163	#103	C₂³	1	4	yes	—
164	#102	C₂³	1	4	yes	—
165	#102	C₂³	1	4	yes	—
166	#102	C₂³	1	4	yes	—
167	#102	C₂³	1	4	yes	—
168	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
169	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
170	#97	C₂³	1	2	yes	—
171	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
172	C₂⁴	—	2	2	no	—
173	C₂⁴	—	2	2	no	—
174	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	#41	—	4	1	no	—
176	#41	—	4	1	no	—
177	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
178	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
183	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
184	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	—	2	2	no	—
191	C₂×D₄	—	4	2	no	—
192	C₂×D₄	—	4	2	no	—
193	C₂×D₄	—	4	2	no	—
194	C₂×D₄	—	4	2	no	—
195	C₂×D₄	—	8	8	no	—
196	C₂×D₄	—	8	4	no	—
197	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
198	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
200	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
207	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
208	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
213	SD₁₆	—	2	8	no	—
214	SD₁₆	—	4	4	no	—
215	SD₁₆	—	4	4	no	—
216	SD₁₆	—	4	4	no	—
217	M₁₆	—	4	1	no	—
218	M₁₆	—	4	2	no	—
219	M₁₆	—	4	1	no	—
220	C₂×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	4	no	—
223	C₂×C₈	—	4	2	no	—
224	C₂×C₈	—	4	1	no	—
225	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
226	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
240	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
241	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
242	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
247	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
253	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
254	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	2	4	no	—
257	C₄²	—	2	2	no	—
258	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
259	C₂³	—	2	4	no	—
260	C₂³	—	2	4	no	—
261	C₂³	—	4	1	no	—
262	C₂³	—	4	4	no	—
263	C₂³	—	8	2	no	—
264	C₂³	—	8	2	no	—
265	C₂³	—	8	2	no	—
266	C₂³	—	8	4	no	—
267	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	Q₈	—	2	4	no	—
271	Q₈	—	2	4	no	—
272	Q₈	—	4	1	no	—
273	Q₈	—	8	2	no	—
274	Q₈	—	8	2	no	—
275	D₄	—	2	8	no	—
276	D₄	—	2	4	no	—
277	D₄	—	2	4	no	—
278	D₄	—	4	1	no	—
279	D₄	—	4	2	no	—
280	D₄	—	4	8	no	—
281	D₄	—	8	2	no	—
282	D₄	—	8	2	no	—
283	D₄	—	8	4	no	—
284	D₄	—	8	4	no	—
285	D₄	—	8	4	no	—
286	C₂×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂×C₄	—	2	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	4	2	no	—
296	C₂×C₄	—	4	1	no	—
297	C₂×C₄	—	4	4	no	—
298	C₂×C₄	—	8	4	no	—
299	C₂×C₄	—	8	2	no	—
300	C₂×C₄	—	8	2	no	—
301	C₂×C₄	—	8	2	no	—
302	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
307	C₈	—	2	1	no	—
308	C₈	—	2	2	no	—
309	C₈	—	2	2	no	—
310	C₈	—	2	2	no	—
311	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
312	C₂²	—	2	2	no	—
313	C₂²	—	2	2	no	—
314	C₂²	—	2	1	no	—
315	C₂²	—	2	2	no	—
316	C₂²	—	2	4	no	—
317	C₂²	—	2	2	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	4	no	—
320	C₂²	—	4	4	no	—
321	C₂²	—	4	4	no	—
322	C₂²	—	16	4	no	—
323	C₂²	—	16	4	no	—
324	C₂²	#577	1	4	yes	—
325	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄	—	2	1	no	—
327	C₄	—	2	2	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	2	4	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	—	4	4	no	—
332	C₄	—	4	4	no	—
333	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
334	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
335	C₂	—	2	4	no	—
336	C₂	—	4	1	no	—
337	C₂	—	4	2	no	—
338	C₂	—	8	4	no	—
339	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
340	C₂	C₂×#577	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3537	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #525 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3538	C₂	semidirect
3. #3337	C₂	semidirect
4. #3320	C₂	semidirect
5. #3310	C₂	semidirect
6. D₄×SD₁₆	C₂	semidirect
7. #3260	C₂	semidirect
8. #3200	C₂	semidirect
9. #3193	C₂	semidirect
10. #3174	C₂	semidirect
11. #3057	C₂	semidirect
12. C₂×#465	C₂	semidirect
13. #2929	C₂	semidirect
14. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
15. C₂²×SD₁₆	C₂²	semidirect
16. C₂×#131	C₂²	semidirect
17. C₂³×C₈	C₂²	semidirect
21. #552	C₂²	semidirect
23. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
27. #541	C₂²	semidirect
31. #536	C₂²	semidirect
35. C₂×C₂²⋊Q₈	C₂²	semidirect
37. #499	C₂²	semidirect
38. #492	C₂²	semidirect
39. #491	C₂²	semidirect
40. #490	C₂²	semidirect
41. #485	C₂²	semidirect
42. #484	C₂²	semidirect
43. #482	C₂²	semidirect
44. #480	C₂²	semidirect
45. #479	C₂²	semidirect
46. #478	C₂²	semidirect
47. #468	C₂²	semidirect
48. #468	C₂²	semidirect
49. #468	C₂²	semidirect
50. #465	C₂²	semidirect
51. #465	C₂²	semidirect
52. #465	C₂²	semidirect
53. #465	C₂²	semidirect
54. #465	C₂²	semidirect
55. #461	C₂²	semidirect
56. #460	C₂²	semidirect
57. #450	C₂²	semidirect
58. #450	C₂²	semidirect
59. #448	C₂²	semidirect
60. #448	C₂²	semidirect
61. #440	C₂²	semidirect
62. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
63. #435	C₂²	semidirect
64. C₈×D₄	C₂²	semidirect
65. #427	C₂²	semidirect
66. C₂×#106	C₂²	semidirect
67. #424	C₂²	semidirect
68. #419	C₂²	semidirect
69. #418	C₂²	semidirect
70. C₂×#103	C₂²	semidirect
71. C₂×#102	C₂²	semidirect
72. #408	C₂²	semidirect
73. #407	C₂²	semidirect
74. #405	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3538	2
#3537	2
#3337	2
#3320	2
#3310	2
D₄×SD₁₆	2
#3260	2
#3200	2
#3193	2
#3174	2
#3057	2
C₂×#465	2
#2929	2