Subgroups — #62275

Order 256.

910 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 363 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3540	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3341	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3321	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3311	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3280	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3263	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3200	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3197	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3059	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3058	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3050	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
19	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	H(3,𝔽₄)	—	2	2	no	—
22	#560	—	2	2	no	—
23	#559	—	2	2	no	—
24	#556	C₂²	1	4	yes	—
25	#555	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#551	—	2	2	no	—
27	#548	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#546	C₂²	1	4	yes	—
29	#542	—	2	4	no	—
30	#542	C₂²	1	4	yes	complemented
31	#538	—	2	4	no	—
32	#536	C₂²	1	2	yes	—
33	#535	C₂²	1	2	yes	—
34	#525	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#525	C₂²	1	4	yes	complemented
36	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#495	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#476	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#475	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#470	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#470	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#469	C₂²	1	2	yes	—
48	#469	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#466	C₂²	1	2	yes	—
54	#466	C₂²	1	2	yes	—
55	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
62	#449	C₂²	1	4	yes	—
63	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
65	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#435	C₂²	1	2	yes	—
68	#435	C₂²	1	2	yes	complemented
69	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
70	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
71	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
72	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#427	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
74	#424	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
75	#419	C₂²	1	2	yes	complemented
76	#418	C₂²	1	2	yes	complemented
77	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
78	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	#407	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
80	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
81	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
86	#135	—	4	4	no	—
87	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
88	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
89	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×D₈	—	4	2	no	—
93	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
95	#131	—	4	2	no	—
96	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
101	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
108	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
109	#127	—	2	2	no	—
110	#126	—	2	4	no	—
111	#126	—	2	4	no	—
112	#126	—	2	4	no	—
113	#124	—	2	2	no	—
114	#124	—	2	2	no	—
115	#124	—	2	4	no	—
116	#124	—	2	4	no	—
117	#124	—	2	4	no	—
118	#124	—	2	4	no	—
119	#124	—	2	4	no	—
120	#124	C₂³	1	4	yes	—
121	#123	—	2	2	no	—
122	#123	—	2	2	no	—
123	#123	—	2	4	no	—
124	#123	—	2	4	no	—
125	#123	—	2	4	no	—
126	#123	D₄	1	1	yes	characteristic
127	#123	D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
130	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
131	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
133	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
134	#121	—	2	4	no	—
135	#121	—	2	4	no	—
136	#121	—	2	4	no	—
137	#121	D₄	1	2	yes	—
138	#121	C₂³	1	4	yes	—
139	#121	C₂³	1	4	yes	—
140	#121	C₂³	1	4	yes	—
141	#120	—	2	4	no	—
142	#120	—	2	2	no	—
143	#120	—	2	2	no	—
144	#120	—	2	4	no	—
145	#120	D₄	1	1	yes	characteristic
146	#120	D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
148	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
149	C₄×D₄	—	2	4	no	—
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
153	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
154	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
155	#117	—	2	4	no	—
156	#117	C₂³	1	4	yes	—
157	#117	C₂³	1	2	yes	—
158	#117	C₂³	1	2	yes	—
159	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	#107	C₂³	1	2	yes	—
162	#107	C₂³	1	2	yes	—
163	#107	C₂³	1	4	yes	—
164	#106	C₂³	1	4	yes	—
165	#106	C₂³	1	2	yes	—
166	#106	C₂³	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
168	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
169	#103	C₂³	1	4	yes	—
170	#103	C₂³	1	4	yes	—
171	#103	C₂³	1	4	yes	—
172	#103	C₂³	1	4	yes	—
173	#102	C₂³	1	4	yes	—
174	#102	C₂³	1	4	yes	—
175	#102	C₂³	1	4	yes	—
176	#102	C₂³	1	4	yes	—
177	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
178	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
179	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
180	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
181	#97	C₂³	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
183	C₂⁴	—	2	2	no	—
184	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
185	#41	—	4	1	no	—
186	#41	—	4	1	no	—
187	#41	—	4	4	no	—
188	#41	—	4	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
193	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
204	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
206	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
208	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
213	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	Q₁₆	—	2	4	no	—
220	Q₁₆	—	4	2	no	—
221	SD₁₆	—	4	4	no	—
222	SD₁₆	—	4	4	no	—
223	D₈	—	2	4	no	—
224	D₈	—	4	2	no	—
225	M₁₆	—	4	1	no	—
226	M₁₆	—	4	1	no	—
227	M₁₆	—	4	1	no	—
228	M₁₆	—	4	1	no	—
229	C₂×C₈	—	2	2	no	—
230	C₂×C₈	—	2	4	no	—
231	C₂×C₈	—	2	2	no	—
232	C₂×C₈	—	2	2	no	—
233	C₂×C₈	—	4	2	no	—
234	C₂×C₈	—	4	1	no	—
235	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
236	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
239	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
247	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
248	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
249	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
250	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
267	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
269	C₄²	—	2	2	no	—
270	C₄²	—	2	4	no	—
271	C₄²	—	2	2	no	—
272	C₄²	—	2	4	no	—
273	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	4	1	no	—
276	C₂³	—	4	2	no	—
277	C₂³	—	8	2	no	—
278	C₂³	—	8	4	no	—
279	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
281	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
282	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
283	Q₈	—	2	4	no	—
284	Q₈	—	2	4	no	—
285	Q₈	—	4	1	no	—
286	Q₈	—	8	4	no	—
287	Q₈	—	8	2	no	—
288	D₄	—	2	4	no	—
289	D₄	—	2	4	no	—
290	D₄	—	4	2	no	—
291	D₄	—	4	2	no	—
292	D₄	—	4	1	no	—
293	D₄	—	4	1	no	—
294	D₄	—	4	1	no	—
295	D₄	—	8	2	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	D₄	—	8	4	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	4	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	1	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	8	4	no	—
314	C₂×C₄	—	8	4	no	—
315	C₂×C₄	—	8	2	no	—
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
323	C₈	—	2	1	no	—
324	C₈	—	2	2	no	—
325	C₈	—	2	1	no	—
326	C₈	—	2	1	no	—
327	C₈	—	2	2	no	—
328	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	2	2	no	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	2	2	no	—
333	C₂²	—	2	2	no	—
334	C₂²	—	2	1	no	—
335	C₂²	—	2	2	no	—
336	C₂²	—	2	1	no	—
337	C₂²	—	2	1	no	—
338	C₂²	—	4	4	no	—
339	C₂²	—	4	4	no	—
340	C₂²	—	4	4	no	—
341	C₂²	—	4	4	no	—
342	C₂²	—	16	4	no	—
343	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	2	1	no	—
348	C₄	—	2	1	no	—
349	C₄	—	2	1	no	—
350	C₄	—	4	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	4	4	no	—
353	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
355	C₂	—	4	1	no	—
356	C₂	—	4	2	no	—
357	C₂	—	4	1	no	—
358	C₂	—	4	1	no	—
359	C₂	—	8	4	no	—
360	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
361	C₂	#3584	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #525 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3540	C₂	semidirect
2. #3342	C₂	semidirect
3. #3341	C₂	semidirect
4. #3321	C₂	semidirect
5. #3311	C₂	semidirect
6. #3285	C₂	semidirect
7. #3280	C₂	semidirect
8. #3263	C₂	semidirect
9. #3200	C₂	semidirect
10. #3197	C₂	semidirect
11. #3175	C₂	semidirect
12. #3059	C₂	semidirect
13. #3058	C₂	semidirect
14. #3050	C₂	semidirect
15. #2929	C₂	semidirect
17. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
18. C₂²×D₈	C₂²	semidirect
20. C₂³×C₈	C₂²	semidirect
25. #555	C₂²	semidirect
27. #548	C₂²	semidirect
30. #542	C₂²	semidirect
35. #525	C₂²	semidirect
36. #500	C₂²	semidirect
37. #495	C₂²	semidirect
38. #489	C₂²	semidirect
39. #485	C₂²	semidirect
40. #485	C₂²	semidirect
41. #482	C₂²	semidirect
42. #482	C₂²	semidirect
43. #476	C₂²	semidirect
44. #475	C₂²	semidirect
45. #470	C₂²	semidirect
46. #470	C₂²	semidirect
48. #469	C₂²	semidirect
49. #468	C₂²	semidirect
50. #467	C₂²	semidirect
51. #467	C₂²	semidirect
52. #467	C₂²	semidirect
55. #466	C₂²	semidirect
56. #465	C₂²	semidirect
57. #465	C₂²	semidirect
58. #464	C₂²	semidirect
59. #463	C₂²	semidirect
60. #452	C₂²	semidirect
61. #450	C₂²	semidirect
63. #448	C₂²	semidirect
64. #440	C₂²	semidirect
65. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
66. C₄×D₈	C₂²	semidirect
68. #435	C₂²	semidirect
70. C₈×D₄	C₂²	semidirect
71. #427	C₂²	semidirect
72. #427	C₂²	semidirect
73. #427	C₂²	semidirect
74. #424	C₂²	semidirect
75. #419	C₂²	semidirect
76. #418	C₂²	semidirect
77. #416	C₂²	semidirect
79. #407	C₂²	semidirect
80. #405	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3540	2
#3342	2
#3341	2
#3321	2
#3311	2
#3285	2
#3280	2
#3263	2
#3200	2
#3197	2
#3175	2
#3059	2
#3058	2
#3050	2
#2929	2