Subgroups — #62276

Order 256.

906 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 333 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3539	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3317	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3307	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3287	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3283	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3260	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3204	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3197	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3177	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3176	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3061	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3050	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#2929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	complemented
18	C₂×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂³×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#560	—	2	4	no	—
21	#553	—	2	4	no	—
22	#553	C₂²	1	4	yes	—
23	#552	C₂²	1	4	yes	—
24	#550	C₂²	1	4	yes	—
25	#547	C₂²	1	4	yes	—
26	#541	C₂²	1	2	yes	—
27	#540	—	2	4	no	—
28	#540	C₂²	1	2	yes	—
29	#539	—	2	4	no	—
30	#537	C₂²	1	4	yes	—
31	#525	C₂²	1	4	yes	—
32	#525	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#499	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	#499	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#491	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#490	C₂²	1	2	yes	complemented
39	#485	C₂²	1	4	yes	—
40	#483	C₂²	1	4	yes	complemented
41	#482	C₂²	1	4	yes	—
42	#481	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#479	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#470	C₂²	1	2	yes	—
46	#469	C₂²	1	2	yes	—
47	#468	C₂²	1	4	yes	—
48	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#467	C₂²	1	2	yes	—
50	#467	C₂²	1	2	yes	—
51	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
52	#466	C₂²	1	2	yes	—
53	#466	C₂²	1	2	yes	—
54	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#465	C₂²	1	4	yes	—
56	#465	C₂²	1	4	yes	—
57	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#460	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#452	C₂²	1	4	yes	—
60	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#449	C₂²	1	4	yes	—
62	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#442	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#441	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
66	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#435	C₂²	1	2	yes	—
68	#435	C₂²	1	2	yes	—
69	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
70	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
71	#427	C₂²	1	2	yes	—
72	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
73	#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
75	#416	C₂²	1	4	yes	—
76	#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
81	C₂×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂³×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#135	—	4	4	no	—
84	#135	—	4	4	no	—
85	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
88	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
91	#131	—	4	2	no	—
92	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
93	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
94	C₂×M₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	—	4	2	no	—
96	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
102	#127	—	2	4	no	—
103	#127	C₂³	1	2	yes	—
104	#126	—	2	4	no	—
105	#126	—	2	4	no	—
106	#126	—	2	4	no	—
107	#125	—	2	4	no	—
108	#125	—	2	4	no	—
109	#125	C₂³	1	2	yes	—
110	#125	C₂³	1	2	yes	—
111	#123	—	2	4	no	—
112	#123	—	2	4	no	—
113	#123	—	2	4	no	—
114	#123	—	2	4	no	—
115	#123	—	2	4	no	—
116	#123	—	2	4	no	—
117	#123	D₄	1	2	yes	—
118	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
119	C₂²⋊Q₈	D₄	1	2	yes	—
120	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
121	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
122	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
123	#121	—	2	4	no	—
124	#121	—	2	4	no	—
125	#121	—	2	4	no	—
126	#121	—	2	4	no	—
127	#121	—	2	4	no	—
128	#121	—	2	4	no	—
129	#121	—	2	4	no	—
130	#121	—	2	4	no	—
131	#121	D₄	1	2	yes	—
132	#121	C₂³	1	4	yes	—
133	#121	C₂³	1	4	yes	—
134	#121	C₂³	1	4	yes	—
135	#120	—	2	4	no	—
136	#120	D₄	1	2	yes	—
137	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
138	C₄×D₄	—	2	4	no	—
139	C₄×D₄	—	2	4	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	2	4	no	—
142	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
143	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
144	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
145	#117	—	2	4	no	—
146	#117	C₂³	1	4	yes	—
147	#117	C₂³	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
150	#107	C₂³	1	2	yes	—
151	#107	C₂³	1	2	yes	—
152	#107	C₂³	1	4	yes	—
153	#106	C₂³	1	4	yes	—
154	#106	C₂³	1	2	yes	—
155	#106	C₂³	1	2	yes	—
156	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
157	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
158	#103	C₂³	1	4	yes	—
159	#103	C₂³	1	4	yes	—
160	#103	C₂³	1	4	yes	—
161	#103	C₂³	1	4	yes	—
162	#102	C₂³	1	4	yes	—
163	#102	C₂³	1	4	yes	—
164	#102	C₂³	1	4	yes	—
165	#102	C₂³	1	4	yes	—
166	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
167	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
168	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
169	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
170	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
171	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
174	C₂⁴	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
175	#41	—	4	1	no	—
176	#41	—	4	1	no	—
177	#41	—	4	4	no	—
178	#41	—	4	4	no	—
179	#41	—	4	4	no	—
180	#41	—	4	4	no	—
181	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
182	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₂×D₄	—	2	4	no	—
184	C₂×D₄	—	2	4	no	—
185	C₂×D₄	—	2	4	no	—
186	C₂×D₄	—	2	4	no	—
187	C₂×D₄	—	2	4	no	—
188	C₂×D₄	—	2	4	no	—
189	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
190	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
191	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
194	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	1	no	—
200	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
205	Q₁₆	—	2	4	no	—
206	Q₁₆	—	4	2	no	—
207	SD₁₆	—	4	4	no	—
208	SD₁₆	—	4	4	no	—
209	D₈	—	2	4	no	—
210	D₈	—	4	2	no	—
211	M₁₆	—	4	1	no	—
212	M₁₆	—	4	2	no	—
213	M₁₆	—	4	1	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	4	no	—
217	C₂×C₈	—	4	2	no	—
218	C₂×C₈	—	4	1	no	—
219	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
223	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
224	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
225	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
236	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
237	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
238	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
247	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
248	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
249	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
250	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	4	no	—
253	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
255	C₂³	—	2	4	no	—
256	C₂³	—	4	1	no	—
257	C₂³	—	4	2	no	—
258	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
259	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
260	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
261	Q₈	—	2	4	no	—
262	Q₈	—	2	4	no	—
263	Q₈	—	4	1	no	—
264	D₄	—	2	4	no	—
265	D₄	—	2	4	no	—
266	D₄	—	4	2	no	—
267	D₄	—	4	2	no	—
268	D₄	—	4	1	no	—
269	D₄	—	4	2	no	—
270	D₄	—	8	4	no	—
271	D₄	—	8	4	no	—
272	D₄	—	8	4	no	—
273	D₄	—	8	4	no	—
274	D₄	—	8	4	no	—
275	D₄	—	8	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	1	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂×C₄	—	2	4	no	—
284	C₂×C₄	—	2	4	no	—
285	C₂×C₄	—	4	1	no	—
286	C₂×C₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	8	4	no	—
288	C₂×C₄	—	8	4	no	—
289	C₂×C₄	—	8	4	no	—
290	C₂×C₄	—	8	4	no	—
291	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
292	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
297	C₈	—	2	1	no	—
298	C₈	—	2	2	no	—
299	C₈	—	2	2	no	—
300	C₈	—	2	1	no	—
301	C₈	—	2	1	no	—
302	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
303	C₂²	—	2	2	no	—
304	C₂²	—	2	2	no	—
305	C₂²	—	2	2	no	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	1	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	4	4	no	—
312	C₂²	—	4	4	no	—
313	C₂²	—	4	4	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₄	—	2	2	no	—
317	C₄	—	2	2	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	4	4	no	—
322	C₄	—	4	4	no	—
323	C₄	—	4	4	no	—
324	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
325	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
326	C₂	—	4	2	no	—
327	C₂	—	4	2	no	—
328	C₂	—	4	1	no	—
329	C₂	—	8	4	no	—
330	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#3584	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #525 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3539	C₂	semidirect
2. #3339	C₂	semidirect
3. #3336	C₂	semidirect
4. #3317	C₂	semidirect
5. #3307	C₂	semidirect
6. #3287	C₂	semidirect
7. #3283	C₂	semidirect
8. #3260	C₂	semidirect
9. #3204	C₂	semidirect
10. #3197	C₂	semidirect
11. #3177	C₂	semidirect
12. #3176	C₂	semidirect
13. #3061	C₂	semidirect
14. #3050	C₂	semidirect
15. #2929	C₂	semidirect
17. C₂×#135	C₂²	semidirect
33. #499	C₂²	semidirect
34. #499	C₂²	semidirect
35. #494	C₂²	semidirect
36. #493	C₂²	semidirect
37. #491	C₂²	semidirect
38. #490	C₂²	semidirect
40. #483	C₂²	semidirect
42. #481	C₂²	semidirect
43. #479	C₂²	semidirect
44. #478	C₂²	semidirect
48. #468	C₂²	semidirect
51. #467	C₂²	semidirect
54. #466	C₂²	semidirect
57. #461	C₂²	semidirect
58. #460	C₂²	semidirect
60. #452	C₂²	semidirect
62. #449	C₂²	semidirect
63. #442	C₂²	semidirect
64. #441	C₂²	semidirect
65. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
66. C₄×D₈	C₂²	semidirect
72. C₂×#107	C₂²	semidirect
74. #417	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3539	2
#3339	2
#3336	2
#3317	2
#3307	2
#3287	2
#3283	2
#3260	2
#3204	2
#3197	2
#3177	2
#3176	2
#3061	2
#3050	2
#2929	2