Subgroups — #62324

Order 256.

956 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 393 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3546	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3342	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3339	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3332	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3324	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3322	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#3287	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3280	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	D₄×D₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3251	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3198	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3061	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#3058	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	complemented
19	C₂²×D₈	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#560	—	2	4	no	—
22	#556	C₂²	1	2	yes	—
23	#553	C₂²	1	4	yes	complemented
24	#550	—	2	2	no	—
25	#550	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#547	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#546	—	2	2	no	—
28	#546	C₂²	1	4	yes	complemented
29	D₄²	C₂²	1	2	yes	—
30	#542	—	2	2	no	—
31	#538	—	2	4	no	—
32	#537	C₂²	1	4	yes	complemented
33	#535	—	2	2	no	—
34	#535	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
37	#529	C₂²	1	2	yes	complemented
38	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#499	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
40	#495	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#488	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
44	#485	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#481	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#475	C₂²	1	2	yes	complemented
50	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
51	#469	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#469	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
54	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
57	#466	C₂²	1	2	yes	—
58	#466	C₂²	1	2	yes	—
59	#466	C₂²	1	1	yes	characteristic
60	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
62	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
63	#465	C₂²	1	2	yes	complemented
64	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
65	#460	C₂²	1	2	yes	complemented
66	#459	C₂²	1	2	yes	—
67	#450	C₂²	1	4	yes	complemented
68	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
70	#447	C₂²	1	4	yes	—
71	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
72	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
75	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
76	#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#436	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
78	#436	C₂²	1	2	yes	complemented
79	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
81	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
82	#427	C₂²	1	2	yes	complemented
83	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	complemented
84	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
85	#418	C₂²	1	4	yes	complemented
86	#417	C₂²	1	4	yes	complemented
87	#408	C₂²	1	2	yes	complemented
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
89	C₂×#41	—	2	2	no	—
90	C₂×#41	—	2	2	no	—
91	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
92	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
94	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
95	#135	—	4	4	no	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
97	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×D₈	—	4	4	no	—
100	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
104	#131	—	4	4	no	—
105	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
106	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
114	#127	—	2	2	no	—
115	#127	—	2	4	no	—
116	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
117	#127	C₂³	1	2	yes	—
118	#126	—	2	4	no	—
119	#126	—	2	4	no	—
120	#126	—	2	2	no	—
121	#125	C₂³	1	2	yes	—
122	#124	—	2	4	no	—
123	#124	—	2	2	no	—
124	#124	—	2	2	no	—
125	#124	D₄	1	2	yes	—
126	#124	C₂³	1	2	yes	—
127	#123	—	2	2	no	—
128	#123	—	2	4	no	—
129	#123	—	2	4	no	—
130	#123	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
134	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
135	#121	—	2	4	no	—
136	#121	—	2	4	no	—
137	#121	—	2	4	no	—
138	#121	—	2	4	no	—
139	#121	—	2	2	no	—
140	#121	—	2	2	no	—
141	#121	—	2	4	no	—
142	#121	—	2	4	no	—
143	#121	D₄	1	1	yes	characteristic
144	#121	D₄	1	1	yes	characteristic
145	#121	D₄	1	2	yes	—
146	#121	C₂³	1	2	yes	—
147	#121	C₂³	1	4	yes	—
148	#121	C₂³	1	4	yes	—
149	#121	C₂³	1	4	yes	—
150	#121	C₂³	1	4	yes	—
151	#120	—	2	4	no	—
152	#120	—	2	4	no	—
153	#120	—	2	4	no	—
154	#120	—	2	4	no	—
155	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
156	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	2	no	—
159	C₄×D₄	—	2	4	no	—
160	C₄×D₄	—	2	2	no	—
161	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
162	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
163	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
164	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
165	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	C₂³	1	4	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
169	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
170	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
171	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
172	#107	C₂³	1	2	yes	—
173	#107	C₂³	1	4	yes	—
174	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
175	#107	C₂³	1	2	yes	—
176	#106	C₂³	1	4	yes	—
177	#106	C₂³	1	2	yes	—
178	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
181	#103	C₂³	1	2	yes	—
182	#103	C₂³	1	4	yes	—
183	#103	C₂³	1	2	yes	—
184	#102	C₂³	1	4	yes	—
185	#102	C₂³	1	4	yes	—
186	#102	C₂³	1	2	yes	—
187	#102	C₂³	1	4	yes	—
188	#102	C₂³	1	4	yes	—
189	#102	C₂³	1	2	yes	—
190	#102	C₂³	1	4	yes	—
191	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
192	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
193	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
194	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
199	C₂⁴	—	2	4	no	—
200	#41	—	4	2	no	—
201	#41	—	4	2	no	—
202	#41	—	4	4	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	8	4	no	—
205	#41	—	8	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
207	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂×D₄	—	2	2	no	—
210	C₂×D₄	—	2	4	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	2	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	4	no	—
218	C₂×D₄	—	4	4	no	—
219	C₂×D₄	—	4	4	no	—
220	C₂×D₄	—	8	4	no	—
221	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
223	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
224	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
225	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
226	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
227	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
229	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
233	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
235	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
238	Q₁₆	—	2	2	no	—
239	SD₁₆	—	4	2	no	—
240	SD₁₆	—	4	4	no	—
241	D₈	—	2	2	no	—
242	D₈	—	2	4	no	—
243	D₈	—	4	4	no	—
244	D₈	—	4	2	no	—
245	M₁₆	—	4	2	no	—
246	M₁₆	—	4	2	no	—
247	M₁₆	—	4	2	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	4	no	—
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	4	1	no	—
252	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
256	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
257	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
268	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
269	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
270	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	4	no	—
289	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
290	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
293	C₂³	—	2	2	no	—
294	C₂³	—	2	4	no	—
295	C₂³	—	8	4	no	—
296	C₂³	—	8	4	no	—
297	C₂³	—	8	4	no	—
298	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
299	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
301	Q₈	—	2	2	no	—
302	Q₈	—	2	2	no	—
303	Q₈	—	4	2	no	—
304	Q₈	—	4	4	no	—
305	D₄	—	2	2	no	—
306	D₄	—	2	2	no	—
307	D₄	—	2	2	no	—
308	D₄	—	2	4	no	—
309	D₄	—	2	4	no	—
310	D₄	—	2	2	no	—
311	D₄	—	4	2	no	—
312	D₄	—	4	2	no	—
313	D₄	—	4	2	no	—
314	D₄	—	4	2	no	—
315	D₄	—	4	4	no	—
316	D₄	—	8	2	no	—
317	D₄	—	8	4	no	—
318	D₄	—	8	2	no	—
319	D₄	—	8	4	no	—
320	D₄	—	8	4	no	—
321	D₄	—	8	4	no	—
322	D₄	—	8	4	no	—
323	D₄	—	8	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	—	4	4	no	—
337	C₂×C₄	—	8	4	no	—
338	C₂×C₄	—	8	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
342	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
348	C₈	—	2	1	no	—
349	C₈	—	2	2	no	—
350	C₈	—	2	2	no	—
351	C₈	—	2	1	no	—
352	C₈	—	2	1	no	—
353	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
354	C₂²	—	2	1	no	—
355	C₂²	—	2	2	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	2	1	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	2	1	no	—
361	C₂²	—	2	2	no	—
362	C₂²	—	2	2	no	—
363	C₂²	—	4	4	no	—
364	C₂²	—	4	2	no	—
365	C₂²	—	4	4	no	—
366	C₂²	—	4	2	no	—
367	C₂²	—	4	2	no	—
368	C₂²	—	4	4	no	—
369	C₂²	—	16	8	no	—
370	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
371	C₄	—	2	1	no	—
372	C₄	—	2	1	no	—
373	C₄	—	2	2	no	—
374	C₄	—	2	1	no	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	2	1	no	—
377	C₄	—	4	2	no	—
378	C₄	—	4	2	no	—
379	C₄	—	4	2	no	—
380	C₄	—	4	4	no	—
381	C₄	#576	1	2	yes	—
382	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
383	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
384	C₂	—	4	1	no	—
385	C₂	—	4	2	no	—
386	C₂	—	4	2	no	—
387	C₂	—	8	4	no	—
388	C₂	—	8	2	no	—
389	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
390	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3546	C₂	semidirect
2. #3342	C₂	semidirect
3. #3339	C₂	semidirect
4. #3334	C₂	semidirect
5. #3332	C₂	semidirect
6. #3324	C₂	semidirect
7. #3322	C₂	semidirect
8. #3287	C₂	semidirect
9. #3280	C₂	semidirect
10. D₄×D₈	C₂	semidirect
11. #3251	C₂	semidirect
12. #3198	C₂	semidirect
13. #3169	C₂	semidirect
14. #3168	C₂	semidirect
15. #3061	C₂	semidirect
16. #3058	C₂	semidirect
17. #2931	C₂	semidirect
18. C₂×#135	C₂²	semidirect
20. C₂×#131	C₂²	semidirect
23. #553	C₂²	semidirect
25. #550	C₂²	semidirect
26. #547	C₂²	semidirect
28. #546	C₂²	semidirect
32. #537	C₂²	semidirect
34. #535	C₂²	semidirect
36. #532	C₂²	semidirect
37. #529	C₂²	semidirect
38. #500	C₂²	semidirect
39. #499	C₂²	semidirect
42. #488	C₂²	semidirect
43. #486	C₂²	semidirect
44. #485	C₂²	semidirect
45. #482	C₂²	semidirect
46. #481	C₂²	semidirect
47. #480	C₂²	semidirect
48. #478	C₂²	semidirect
49. #475	C₂²	semidirect
50. #474	C₂²	semidirect
51. #469	C₂²	semidirect
52. #469	C₂²	semidirect
53. #468	C₂²	semidirect
54. #468	C₂²	semidirect
55. #467	C₂²	semidirect
56. #467	C₂²	semidirect
60. #466	C₂²	semidirect
61. #466	C₂²	semidirect
62. #466	C₂²	semidirect
63. #465	C₂²	semidirect
64. #463	C₂²	semidirect
65. #460	C₂²	semidirect
67. #450	C₂²	semidirect
68. #449	C₂²	semidirect
69. #449	C₂²	semidirect
71. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
72. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
74. C₄×D₈	C₂²	semidirect
75. C₄×D₈	C₂²	semidirect
77. #436	C₂²	semidirect
78. #436	C₂²	semidirect
80. C₈×D₄	C₂²	semidirect
81. C₈×D₄	C₂²	semidirect
82. #427	C₂²	semidirect
83. C₂×#107	C₂²	semidirect
84. #423	C₂²	semidirect
85. #418	C₂²	semidirect
86. #417	C₂²	semidirect
87. #408	C₂²	semidirect
88. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3546	2
#3342	2
#3339	2
#3334	2
#3332	2
#3324	2
#3322	2
#3287	2
#3280	2
D₄×D₈	2
#3251	2
#3198	2
#3169	2
#3168	2
#3061	2
#3058	2
#2931	2