Subgroups — #62325

Order 256.

892 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3547	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3341	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3329	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3327	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	D₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3283	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3252	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3201	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
13	#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3061	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#3059	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
17	#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	—
21	#562	—	2	4	no	—
22	#555	—	2	2	no	—
23	#555	C₂²	1	2	yes	—
24	#554	C₂²	1	2	yes	—
25	#553	—	2	2	no	—
26	#552	C₂²	1	4	yes	—
27	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
28	#548	C₂²	1	4	yes	—
29	#547	C₂²	1	2	yes	—
30	#544	—	2	2	no	—
31	#542	—	2	4	no	—
32	#540	—	2	2	no	—
33	#537	C₂²	1	4	yes	—
34	#536	C₂²	1	4	yes	—
35	#533	C₂²	1	2	yes	—
36	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#529	C₂²	1	2	yes	—
38	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#499	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#495	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#488	C₂²	1	2	yes	—
43	#487	C₂²	1	2	yes	—
44	#485	C₂²	1	4	yes	—
45	#484	C₂²	1	4	yes	—
46	#483	C₂²	1	4	yes	—
47	#482	C₂²	1	4	yes	—
48	#479	C₂²	1	4	yes	—
49	#477	C₂²	1	2	yes	—
50	#476	C₂²	1	2	yes	—
51	#470	C₂²	1	4	yes	—
52	#470	C₂²	1	4	yes	—
53	#468	C₂²	1	4	yes	—
54	#468	C₂²	1	4	yes	—
55	#467	C₂²	1	2	yes	—
56	#467	C₂²	1	2	yes	—
57	#467	C₂²	1	2	yes	—
58	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#467	C₂²	1	2	yes	—
60	#467	C₂²	1	2	yes	—
61	#466	C₂²	1	2	yes	—
62	#466	C₂²	1	1	yes	characteristic
63	#465	C₂²	1	2	yes	—
64	#464	C₂²	1	4	yes	—
65	#462	C₂²	1	2	yes	—
66	#461	C₂²	1	2	yes	—
67	#452	C₂²	1	4	yes	—
68	#452	C₂²	1	4	yes	—
69	#451	C₂²	1	4	yes	—
70	#448	C₂²	1	4	yes	—
71	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
72	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
74	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
76	#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
78	#436	C₂²	1	2	yes	—
79	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
80	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#427	C₂²	1	2	yes	—
83	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
84	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#419	C₂²	1	4	yes	—
86	#417	C₂²	1	4	yes	—
87	#408	C₂²	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
92	#135	—	4	4	no	—
93	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
94	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
96	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
100	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#131	—	4	4	no	—
102	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
105	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
109	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
110	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
113	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
114	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
115	#126	—	2	4	no	—
116	#126	—	2	2	no	—
117	#125	—	2	4	no	—
118	#125	—	2	2	no	—
119	#125	—	2	2	no	—
120	#125	C₂³	1	2	yes	—
121	#124	—	2	4	no	—
122	#124	—	2	4	no	—
123	#124	—	2	4	no	—
124	#124	D₄	1	2	yes	—
125	#124	C₂³	1	2	yes	—
126	#123	—	2	4	no	—
127	#123	—	2	4	no	—
128	#123	—	2	4	no	—
129	#123	—	2	2	no	—
130	#123	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
137	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
138	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
139	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
141	#121	—	2	4	no	—
142	#121	—	2	4	no	—
143	#121	—	2	4	no	—
144	#121	—	2	2	no	—
145	#121	—	2	4	no	—
146	#121	—	2	2	no	—
147	#121	D₄	1	1	yes	characteristic
148	#121	D₄	1	1	yes	characteristic
149	#121	D₄	1	2	yes	—
150	#121	C₂³	1	2	yes	—
151	#121	C₂³	1	4	yes	—
152	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
153	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
154	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
155	C₄×D₄	—	2	2	no	—
156	C₄×D₄	—	2	2	no	—
157	C₄×D₄	—	2	2	no	—
158	C₄×D₄	—	2	4	no	—
159	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
160	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
162	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	#117	—	2	2	no	—
164	#117	—	2	2	no	—
165	#117	—	2	4	no	—
166	#117	—	2	2	no	—
167	#117	C₂³	1	4	yes	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
171	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
172	#107	C₂³	1	2	yes	—
173	#107	C₂³	1	4	yes	—
174	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
175	#107	C₂³	1	2	yes	—
176	#106	C₂³	1	4	yes	—
177	#106	C₂³	1	2	yes	—
178	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
179	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
181	#103	C₂³	1	4	yes	—
182	#103	C₂³	1	4	yes	—
183	#103	C₂³	1	2	yes	—
184	#103	C₂³	1	4	yes	—
185	#103	C₂³	1	4	yes	—
186	#103	C₂³	1	4	yes	—
187	#103	C₂³	1	2	yes	—
188	#102	C₂³	1	2	yes	—
189	#102	C₂³	1	4	yes	—
190	#102	C₂³	1	2	yes	—
191	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
192	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
193	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
194	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
195	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
196	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
199	#41	—	4	2	no	—
200	#41	—	4	2	no	—
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	4	no	—
203	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
204	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
206	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
207	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
209	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
210	C₂×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×D₄	—	2	4	no	—
212	C₂×D₄	—	2	4	no	—
213	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
214	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
217	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
219	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	Q₁₆	—	2	2	no	—
230	Q₁₆	—	2	4	no	—
231	Q₁₆	—	4	4	no	—
232	Q₁₆	—	4	2	no	—
233	SD₁₆	—	4	2	no	—
234	SD₁₆	—	4	4	no	—
235	D₈	—	2	2	no	—
236	M₁₆	—	4	2	no	—
237	M₁₆	—	4	2	no	—
238	M₁₆	—	4	2	no	—
239	C₂×C₈	—	2	2	no	—
240	C₂×C₈	—	2	4	no	—
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	4	1	no	—
243	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
247	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
248	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
249	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
262	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
264	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
265	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
266	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
267	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
280	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
281	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
282	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
283	C₄²	—	2	4	no	—
284	C₄²	—	2	4	no	—
285	C₄²	—	2	2	no	—
286	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
289	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	—	2	2	no	—
291	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
293	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
294	Q₈	—	2	4	no	—
295	Q₈	—	2	2	no	—
296	Q₈	—	2	2	no	—
297	Q₈	—	2	4	no	—
298	Q₈	—	4	2	no	—
299	Q₈	—	8	2	no	—
300	Q₈	—	8	4	no	—
301	D₄	—	2	2	no	—
302	D₄	—	2	2	no	—
303	D₄	—	2	2	no	—
304	D₄	—	2	2	no	—
305	D₄	—	4	2	no	—
306	D₄	—	4	2	no	—
307	D₄	—	4	2	no	—
308	D₄	—	4	2	no	—
309	D₄	—	8	2	no	—
310	D₄	—	8	4	no	—
311	D₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	2	no	—
313	C₂×C₄	—	2	1	no	—
314	C₂×C₄	—	2	2	no	—
315	C₂×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂×C₄	—	2	1	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	1	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	8	4	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
337	C₈	—	2	1	no	—
338	C₈	—	2	2	no	—
339	C₈	—	2	2	no	—
340	C₈	—	2	1	no	—
341	C₈	—	2	1	no	—
342	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
343	C₂²	—	2	1	no	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	2	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	2	1	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	1	no	—
350	C₂²	—	2	2	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	4	2	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	4	2	no	—
355	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	1	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	1	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	4	2	no	—
363	C₄	—	4	4	no	—
364	C₄	—	4	4	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	#578	1	2	yes	—
368	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
369	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
370	C₂	—	4	1	no	—
371	C₂	—	4	2	no	—
372	C₂	—	4	2	no	—
373	C₂	—	8	2	no	—
374	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3547	C₂	semidirect
2. #3341	C₂	semidirect
3. #3338	C₂	semidirect
4. #3336	C₂	semidirect
5. #3331	C₂	semidirect
6. #3329	C₂	semidirect
7. #3327	C₂	semidirect
8. D₄×Q₁₆	C₂	semidirect
9. #3285	C₂	semidirect
10. #3283	C₂	semidirect
11. #3252	C₂	semidirect
12. #3201	C₂	semidirect
13. #3170	C₂	semidirect
14. #3168	C₂	semidirect
15. #3061	C₂	semidirect
16. #3059	C₂	semidirect
17. #2931	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3547	2
#3341	2
#3338	2
#3336	2
#3331	2
#3329	2
#3327	2
D₄×Q₁₆	2
#3285	2
#3283	2
#3252	2
#3201	2
#3170	2
#3168	2
#3061	2
#3059	2
#2931	2