Subgroups — #62340

Order 256.

956 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 356 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3546	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3355	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3353	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3304	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3297	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#3294	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3274	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3273	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3251	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3203	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3199	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3169	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3168	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3062	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
15	#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#131	C₂²	1	2	yes	complemented
18	#560	—	2	4	no	—
19	#556	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#553	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#550	—	2	2	no	—
22	#550	C₂²	1	2	yes	—
23	#547	C₂²	1	2	yes	—
24	#546	—	2	2	no	—
25	#546	C₂²	1	4	yes	complemented
26	D₄²	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#542	—	2	2	no	—
28	#538	—	2	4	no	—
29	#537	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#535	—	2	2	no	—
31	#535	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
34	#529	C₂²	1	2	yes	complemented
35	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
36	#499	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
37	#495	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#488	C₂²	1	2	yes	complemented
40	#486	C₂²	1	2	yes	complemented
41	#484	C₂²	1	4	yes	complemented
42	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
43	#482	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#480	C₂²	1	4	yes	complemented
45	#478	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#475	C₂²	1	2	yes	complemented
47	#474	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#469	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#469	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
51	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
52	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
53	#466	C₂²	1	1	yes	characteristic
54	#466	C₂²	1	4	yes	—
55	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
56	#466	C₂²	1	2	yes	complemented
57	#465	C₂²	1	2	yes	complemented
58	#465	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#463	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#460	C₂²	1	2	yes	complemented
61	#459	C₂²	1	2	yes	—
62	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#449	C₂²	1	4	yes	complemented
64	#447	C₂²	1	4	yes	—
65	#447	C₂²	1	4	yes	complemented
66	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
67	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
68	C₄×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
70	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	complemented
71	#436	C₂²	1	2	yes	complemented
72	#436	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
74	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
75	#428	C₂²	1	4	yes	complemented
76	#423	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
77	#416	C₂²	1	4	yes	complemented
78	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	complemented
79	#408	C₂²	1	2	yes	complemented
80	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
81	C₂×#41	—	2	2	no	—
82	C₂×#41	—	2	2	no	—
83	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂×#41	C₂³	1	2	yes	—
85	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂²×D₄	C₂³	1	4	yes	—
87	AGL(1,ℤ/8)	—	4	8	no	—
88	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×D₈	C₂³	1	4	yes	—
93	C₂×D₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
95	#131	—	4	4	no	—
96	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
98	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₄⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
103	#127	—	2	2	no	—
104	#127	—	2	4	no	—
105	#127	D₄	1	1	yes	characteristic
106	#127	C₂³	1	2	yes	—
107	#126	—	2	4	no	—
108	#126	—	2	4	no	—
109	#126	—	2	2	no	—
110	#125	C₂³	1	2	yes	—
111	#124	—	2	4	no	—
112	#124	—	2	2	no	—
113	#124	—	2	2	no	—
114	#124	D₄	1	2	yes	—
115	#124	C₂³	1	2	yes	—
116	#123	—	2	2	no	—
117	#123	—	2	4	no	—
118	#123	—	2	4	no	—
119	#123	—	2	4	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
122	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
124	#121	—	2	4	no	—
125	#121	—	2	4	no	—
126	#121	—	2	4	no	—
127	#121	—	2	4	no	—
128	#121	—	2	2	no	—
129	#121	—	2	2	no	—
130	#121	—	2	4	no	—
131	#121	—	2	4	no	—
132	#121	D₄	1	2	yes	—
133	#121	D₄	1	2	yes	—
134	#121	C₂³	1	2	yes	—
135	#121	C₂³	1	4	yes	—
136	#121	C₂³	1	4	yes	—
137	#121	C₂³	1	4	yes	—
138	#121	C₂³	1	4	yes	—
139	#120	—	2	4	no	—
140	#120	—	2	4	no	—
141	#120	—	2	4	no	—
142	#120	—	2	4	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
145	C₄×D₄	—	2	2	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	4	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
152	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
153	#117	—	2	2	no	—
154	#117	C₂³	1	4	yes	—
155	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
156	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
157	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
158	#107	C₂³	1	2	yes	—
159	#107	C₂³	1	4	yes	—
160	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	#107	C₂³	1	2	yes	—
162	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	#106	C₂³	1	2	yes	—
164	#106	C₂³	1	4	yes	—
165	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
166	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
167	#103	C₂³	1	2	yes	—
168	#103	C₂³	1	4	yes	—
169	#103	C₂³	1	2	yes	—
170	#102	C₂³	1	2	yes	—
171	#102	C₂³	1	4	yes	—
172	#102	C₂³	1	4	yes	—
173	#102	C₂³	1	4	yes	—
174	#102	C₂³	1	4	yes	—
175	#102	C₂³	1	4	yes	—
176	#102	C₂³	1	2	yes	—
177	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
178	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
179	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
183	C₂⁴	—	2	4	no	—
184	#41	—	4	2	no	—
185	#41	—	4	2	no	—
186	#41	—	4	4	no	—
187	#41	—	4	4	no	—
188	#41	—	8	4	no	—
189	#41	—	8	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
192	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₂×D₄	—	2	2	no	—
194	C₂×D₄	—	2	4	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	4	no	—
202	C₂×D₄	—	4	4	no	—
203	C₂×D₄	—	4	4	no	—
204	C₂×D₄	—	8	4	no	—
205	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
207	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×D₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
209	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	Q₁₆	—	4	1	no	—
220	SD₁₆	—	2	4	no	—
221	SD₁₆	—	4	4	no	—
222	D₈	—	2	4	no	—
223	D₈	—	4	2	no	—
224	D₈	—	4	1	no	—
225	D₈	—	4	4	no	—
226	M₁₆	—	2	8	no	—
227	M₁₆	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	2	no	—
229	C₂×C₈	—	4	1	no	—
230	C₂×C₈	—	4	4	no	—
231	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
235	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
245	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
246	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
247	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
261	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	4	yes	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
266	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
268	C₂³	—	2	2	no	—
269	C₂³	—	2	4	no	—
270	C₂³	—	8	4	no	—
271	C₂³	—	8	4	no	—
272	C₂³	—	8	4	no	—
273	C₂³	C₂²×D₄	1	4	yes	—
274	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	Q₈	—	2	2	no	—
276	Q₈	—	2	2	no	—
277	Q₈	—	4	2	no	—
278	Q₈	—	4	4	no	—
279	D₄	—	2	4	no	—
280	D₄	—	2	4	no	—
281	D₄	—	2	2	no	—
282	D₄	—	2	2	no	—
283	D₄	—	2	4	no	—
284	D₄	—	4	2	no	—
285	D₄	—	4	4	no	—
286	D₄	—	4	2	no	—
287	D₄	—	4	4	no	—
288	D₄	—	8	2	no	—
289	D₄	—	8	4	no	—
290	D₄	—	8	2	no	—
291	D₄	—	8	4	no	—
292	D₄	—	8	4	no	—
293	D₄	—	8	4	no	—
294	D₄	—	8	4	no	—
295	D₄	—	8	4	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	1	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	1	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	8	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
317	C₈	—	2	1	no	—
318	C₈	—	2	4	no	—
319	C₈	—	2	1	no	—
320	C₈	—	2	1	no	—
321	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
322	C₂²	—	2	1	no	—
323	C₂²	—	2	4	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	4	no	—
326	C₂²	—	2	1	no	—
327	C₂²	—	2	4	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	4	2	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	16	8	no	—
335	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	1	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	2	1	no	—
340	C₄	—	2	1	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	4	4	no	—
345	C₄	#576	1	2	yes	—
346	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#585	1	1	yes	characteristic
348	C₂	—	4	1	no	—
349	C₂	—	4	4	no	—
350	C₂	—	8	4	no	—
351	C₂	—	8	2	no	—
352	C₂	#3496	1	1	yes	characteristic
353	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
354	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #532 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3546	C₂	semidirect
2. #3355	C₂	semidirect
3. #3353	C₂	semidirect
4. #3304	C₂	semidirect
5. #3297	C₂	semidirect
6. #3294	C₂	semidirect
7. #3274	C₂	semidirect
8. #3273	C₂	semidirect
9. #3251	C₂	semidirect
10. #3203	C₂	semidirect
11. #3199	C₂	semidirect
12. #3169	C₂	semidirect
13. #3168	C₂	semidirect
14. #3062	C₂	semidirect
15. #2931	C₂	semidirect
16. C₂×AGL(1,ℤ/8)	C₂²	semidirect
17. C₂×#131	C₂²	semidirect
19. #556	C₂²	semidirect
20. #553	C₂²	semidirect
25. #546	C₂²	semidirect
26. D₄²	C₂²	semidirect
29. #537	C₂²	semidirect
31. #535	C₂²	semidirect
33. #532	C₂²	semidirect
34. #529	C₂²	semidirect
35. #500	C₂²	semidirect
36. #499	C₂²	semidirect
39. #488	C₂²	semidirect
40. #486	C₂²	semidirect
41. #484	C₂²	semidirect
42. #482	C₂²	semidirect
43. #482	C₂²	semidirect
44. #480	C₂²	semidirect
45. #478	C₂²	semidirect
46. #475	C₂²	semidirect
47. #474	C₂²	semidirect
48. #469	C₂²	semidirect
49. #469	C₂²	semidirect
50. #468	C₂²	semidirect
51. #468	C₂²	semidirect
52. #467	C₂²	semidirect
55. #466	C₂²	semidirect
56. #466	C₂²	semidirect
57. #465	C₂²	semidirect
58. #465	C₂²	semidirect
59. #463	C₂²	semidirect
60. #460	C₂²	semidirect
62. #452	C₂²	semidirect
63. #449	C₂²	semidirect
65. #447	C₂²	semidirect
66. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
67. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
69. C₄×D₈	C₂²	semidirect
70. C₄×D₈	C₂²	semidirect
71. #436	C₂²	semidirect
72. #436	C₂²	semidirect
73. C₈×D₄	C₂²	semidirect
74. C₈×D₄	C₂²	semidirect
75. #428	C₂²	semidirect
76. #423	C₂²	semidirect
77. #416	C₂²	semidirect
78. C₂×#102	C₂²	semidirect
79. #408	C₂²	semidirect
80. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3546	2
#3355	2
#3353	2
#3304	2
#3297	2
#3294	2
#3274	2
#3273	2
#3251	2
#3203	2
#3199	2
#3169	2
#3168	2
#3062	2
#2931	2