Subgroups — #62422

Order 256.

987 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 357 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#3503	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3400	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3278	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3266	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#3210	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3209	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#3208	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3206	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3182	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3152	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂×#492	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#2965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	C₂×#137	C₂²	1	8	yes	complemented
16	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
17	#559	—	2	1	no	—
18	#559	C₂²	1	2	yes	—
19	Q₈²	—	2	1	no	—
20	#557	C₂²	1	2	yes	complemented
21	#554	—	2	2	no	—
22	#554	—	2	1	no	—
23	#550	—	2	1	no	—
24	#550	C₂²	1	2	yes	—
25	D₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
26	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#546	—	2	2	no	—
28	#546	C₂²	1	4	yes	—
29	#544	—	2	1	no	—
30	#544	—	2	2	no	—
31	#540	—	2	2	no	—
32	#535	—	2	1	no	—
33	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#533	C₂²	1	2	yes	complemented
36	#532	C₂²	1	2	yes	—
37	#532	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
40	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#520	—	2	1	no	—
42	#518	—	2	1	no	—
43	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
45	#497	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#494	C₂²	1	2	yes	complemented
48	#492	C₂²	1	4	yes	—
49	#492	C₂²	1	2	yes	—
50	#492	C₂²	1	2	yes	—
51	#492	C₂²	1	2	yes	—
52	#487	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
53	#487	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
55	#486	C₂²	1	2	yes	—
56	#468	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#467	C₂²	1	4	yes	—
58	#464	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#461	C₂²	1	8	yes	complemented
61	#460	C₂²	1	4	yes	—
62	#452	C₂²	1	8	yes	complemented
63	#451	C₂²	1	4	yes	—
64	#450	C₂²	1	4	yes	—
65	#448	C₂²	1	8	yes	complemented
66	#446	C₂²	1	2	yes	complemented
67	#440	C₂²	1	8	yes	complemented
68	C₄×Q₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
69	#436	C₂²	1	2	yes	complemented
70	#435	C₂²	1	4	yes	—
71	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
72	#431	C₂²	1	2	yes	complemented
73	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
74	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	C₂×#41	—	2	2	no	—
76	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
82	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
83	#137	—	4	16	no	—
84	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×Q₁₆	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂×SD₁₆	—	4	8	no	—
87	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
88	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
89	C₂×SD₁₆	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
93	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
94	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
95	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
96	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
97	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
98	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
99	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
100	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
102	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
104	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	#127	—	2	2	no	—
106	#127	—	2	1	no	—
107	#127	—	2	1	no	—
108	#127	C₂³	1	2	yes	—
109	#127	C₂³	1	2	yes	—
110	#125	—	2	2	no	—
111	#125	—	2	4	no	—
112	#125	—	2	1	no	—
113	#125	—	2	1	no	—
114	#125	—	2	2	no	—
115	#124	—	2	2	no	—
116	#124	—	2	2	no	—
117	#124	C₂³	1	4	yes	—
118	#123	—	2	4	no	—
119	#123	—	2	4	no	—
120	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
121	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
122	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
123	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
124	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
125	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
126	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
127	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
128	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
129	#121	—	2	2	no	—
130	#121	—	2	2	no	—
131	#121	—	2	2	no	—
132	#121	—	2	4	no	—
133	#121	—	2	4	no	—
134	#121	C₂³	1	4	yes	—
135	#120	—	2	4	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
137	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
138	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
139	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
142	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
143	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
144	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
145	C₄×D₄	—	2	4	no	—
146	C₄×D₄	—	2	2	no	—
147	C₄×D₄	—	2	2	no	—
148	C₄×D₄	—	2	2	no	—
149	C₄×D₄	—	2	2	no	—
150	C₄×D₄	—	2	2	no	—
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
153	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
155	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
156	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	#117	—	2	1	no	—
158	#117	—	2	1	no	—
159	#117	—	2	2	no	—
160	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
161	#117	D₄	1	2	yes	—
162	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
163	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
164	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
165	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
166	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
167	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
169	#107	C₂³	1	4	yes	—
170	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
171	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
172	#103	C₂³	1	4	yes	—
173	#103	C₂³	1	4	yes	—
174	#103	C₂³	1	8	yes	—
175	#102	C₂³	1	8	yes	—
176	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
177	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
178	#97	C₂³	1	4	yes	—
179	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
182	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
183	C₂⁴	—	2	2	no	—
184	#41	—	2	4	no	—
185	#41	—	4	8	no	—
186	#41	—	8	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
193	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
194	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
195	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	4	4	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	8	2	no	—
207	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
208	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
209	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
210	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
211	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
212	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
218	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
220	Q₁₆	—	2	8	no	—
221	Q₁₆	—	4	8	no	—
222	SD₁₆	—	2	16	no	—
223	SD₁₆	—	4	8	no	—
224	SD₁₆	—	4	8	no	—
225	M₁₆	—	2	8	no	—
226	C₂×C₈	—	2	4	no	—
227	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
229	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
246	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
248	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
249	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
251	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
252	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
253	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	4	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
268	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
270	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
273	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
274	C₂³	—	2	4	no	—
275	C₂³	—	4	4	no	—
276	C₂³	—	8	2	no	—
277	C₂³	—	8	2	no	—
278	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	Q₈	—	2	2	no	—
281	Q₈	—	2	8	no	—
282	Q₈	—	2	4	no	—
283	Q₈	—	2	4	no	—
284	Q₈	—	4	2	no	—
285	Q₈	—	4	2	no	—
286	Q₈	—	8	4	no	—
287	Q₈	—	8	2	no	—
288	D₄	—	2	4	no	—
289	D₄	—	2	2	no	—
290	D₄	—	2	8	no	—
291	D₄	—	4	4	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	D₄	—	4	4	no	—
294	D₄	—	8	2	no	—
295	D₄	—	8	2	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	2	no	—
311	C₂×C₄	—	8	4	no	—
312	C₂×C₄	#137	1	4	yes	complemented
313	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
322	C₈	—	2	2	no	—
323	C₈	—	2	4	no	—
324	C₈	H(5,𝔽₂)	1	4	yes	—
325	C₂²	—	2	1	no	—
326	C₂²	—	2	1	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	4	no	—
332	C₂²	—	4	4	no	—
333	C₂²	—	16	4	no	—
334	C₂²	C₂×#137	1	2	yes	—
335	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	2	no	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	1	no	—
341	C₄	—	4	2	no	—
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	4	2	no	—
344	C₄	—	4	2	no	—
345	C₄	—	4	2	no	—
346	C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
347	C₄	C₂×#137	1	2	yes	—
348	C₄	#577	1	2	yes	—
349	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
350	C₂	—	2	2	no	—
351	C₂	—	4	2	no	—
352	C₂	—	8	4	no	—
353	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
354	C₂	C₂²×#137	1	1	yes	characteristic
355	C₂	C₂×#577	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#3508	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #3503	C₂	semidirect
3. #3400	C₂	semidirect
4. #3278	C₂	semidirect
5. #3266	C₂	semidirect
6. #3210	C₂	semidirect
7. #3209	C₂	semidirect
8. #3208	C₂	semidirect
9. #3206	C₂	semidirect
10. #3182	C₂	semidirect
11. #3170	C₂	semidirect
12. #3152	C₂	semidirect
13. C₂×#492	C₂	semidirect
14. #2965	C₂	semidirect
15. C₂×#137	C₂²	semidirect
20. #557	C₂²	semidirect
26. D₄×Q₈	C₂²	semidirect
35. #533	C₂²	semidirect
39. C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	semidirect
44. #500	C₂²	semidirect
45. #497	C₂²	semidirect
46. #494	C₂²	semidirect
47. #494	C₂²	semidirect
52. #487	C₂²	semidirect
53. #487	C₂²	semidirect
54. #487	C₂²	semidirect
56. #468	C₂²	semidirect
58. #464	C₂²	semidirect
59. #462	C₂²	semidirect
60. #461	C₂²	semidirect
62. #452	C₂²	semidirect
65. #448	C₂²	semidirect
66. #446	C₂²	semidirect
67. #440	C₂²	semidirect
68. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
69. #436	C₂²	semidirect
72. #431	C₂²	semidirect
73. C₄×M₁₆	C₂²	semidirect
312. C₂×C₄	#137	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3508	2
#3503	2
#3400	2
#3278	2
#3266	2
#3210	2
#3209	2
#3208	2
#3206	2
#3182	2
#3170	2
#3152	2
C₂×#492	2
#2965	2