Subgroups — #62437

Order 256.

941 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 353 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3561	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3402	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3393	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	D₄×Q₁₆	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3280	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#3277	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3266	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3225	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#3215	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
12	#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
13	#3156	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	C₂×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#2966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
16	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	complemented
17	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₂²×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×D₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#563	—	2	2	no	—
23	#562	—	2	2	no	—
24	#556	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#551	—	2	4	no	—
26	D₄×Q₈	C₂²	1	4	yes	—
27	#548	C₂²	1	4	yes	complemented
28	#546	C₂²	1	4	yes	—
29	#543	—	2	2	no	—
30	#542	—	2	4	no	—
31	#542	C₂²	1	4	yes	complemented
32	#538	—	2	2	no	—
33	#536	C₂²	1	4	yes	complemented
34	#533	C₂²	1	2	yes	—
35	#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#124	C₂²	1	2	yes	—
37	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	#497	C₂²	1	4	yes	complemented
39	#497	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#495	C₂²	1	2	yes	—
41	#495	C₂²	1	2	yes	—
42	#495	C₂²	1	2	yes	—
43	#495	C₂²	1	2	yes	—
44	#495	C₂²	1	2	yes	—
45	#494	C₂²	1	2	yes	complemented
46	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
47	#489	C₂²	1	4	yes	complemented
48	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#468	C₂²	1	4	yes	complemented
50	#467	C₂²	1	2	yes	—
51	#467	C₂²	1	2	yes	—
52	#467	C₂²	1	2	yes	complemented
53	#466	C₂²	1	2	yes	—
54	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
56	#464	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#463	C₂²	1	4	yes	—
58	#462	C₂²	1	4	yes	complemented
59	#461	C₂²	1	4	yes	complemented
60	#452	C₂²	1	4	yes	complemented
61	#451	C₂²	1	4	yes	—
62	#451	C₂²	1	4	yes	complemented
63	#450	C₂²	1	4	yes	—
64	#449	C₂²	1	4	yes	—
65	#448	C₂²	1	4	yes	complemented
66	#446	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
67	C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
68	#440	C₂²	1	4	yes	complemented
69	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
70	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
71	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	complemented
72	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
73	#436	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
74	#435	C₂²	1	2	yes	—
75	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
76	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
77	#433	C₂²	1	2	yes	complemented
78	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	#405	C₂²	1	2	yes	complemented
80	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
81	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂²×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
83	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
84	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
85	#137	—	4	8	no	—
86	#135	—	4	4	no	—
87	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
88	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
89	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
91	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
94	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
95	C₂×SD₁₆	—	4	4	no	—
96	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
97	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
98	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
99	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
100	C₂×D₈	—	4	2	no	—
101	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
104	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
107	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
108	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
110	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
111	#126	—	2	4	no	—
112	#126	—	2	4	no	—
113	#126	—	2	4	no	—
114	#126	D₄	1	2	yes	—
115	#125	—	2	2	no	—
116	#125	D₄	1	1	yes	characteristic
117	#124	—	2	4	no	—
118	#124	—	2	4	no	—
119	#124	—	2	2	no	—
120	#124	—	2	2	no	—
121	#124	D₄	1	1	yes	characteristic
122	#124	C₂³	1	4	yes	—
123	#124	C₂³	1	4	yes	—
124	#124	C₂³	1	4	yes	—
125	#123	—	2	4	no	—
126	#123	—	2	4	no	—
127	#123	—	2	4	no	—
128	#123	—	2	4	no	—
129	#123	D₄	1	2	yes	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
134	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
135	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
136	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
137	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
140	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
141	#121	—	2	4	no	—
142	#121	—	2	4	no	—
143	#121	D₄	1	1	yes	characteristic
144	#121	C₂³	1	4	yes	—
145	#120	—	2	4	no	—
146	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
147	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
148	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
149	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	C₄×D₄	—	2	4	no	—
151	C₄×D₄	—	2	4	no	—
152	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
153	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
154	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
155	#117	—	2	2	no	—
156	#117	—	2	4	no	—
157	#117	C₂³	1	2	yes	—
158	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
159	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
161	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
162	#107	C₂³	1	2	yes	—
163	#107	C₂³	1	2	yes	—
164	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
168	#103	C₂³	1	4	yes	—
169	#103	C₂³	1	4	yes	—
170	#103	C₂³	1	4	yes	—
171	#103	C₂³	1	4	yes	—
172	#102	C₂³	1	4	yes	—
173	#102	C₂³	1	4	yes	—
174	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
175	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
176	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
177	#97	C₂³	1	2	yes	—
178	#97	C₂³	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
184	C₂⁴	—	2	2	no	—
185	#41	—	4	4	no	—
186	#41	—	4	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
192	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
193	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
194	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
195	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
196	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	4	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	4	2	no	—
201	C₂×D₄	—	4	2	no	—
202	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
203	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
205	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
209	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
211	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
212	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
213	Q₁₆	—	2	4	no	—
214	Q₁₆	—	2	4	no	—
215	Q₁₆	—	2	4	no	—
216	Q₁₆	—	4	2	no	—
217	Q₁₆	—	4	4	no	—
218	Q₁₆	—	4	4	no	—
219	SD₁₆	—	2	8	no	—
220	SD₁₆	—	4	4	no	—
221	SD₁₆	—	4	4	no	—
222	SD₁₆	—	4	4	no	—
223	D₈	—	2	4	no	—
224	D₈	—	4	2	no	—
225	M₁₆	—	2	4	no	—
226	C₂×C₈	—	2	2	no	—
227	C₂×C₈	—	2	2	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
232	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
233	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
234	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
242	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
245	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
246	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
247	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
248	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
249	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
260	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
263	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
265	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
273	C₂³	—	2	4	no	—
274	C₂³	—	4	4	no	—
275	C₂³	—	8	2	no	—
276	C₂³	—	8	2	no	—
277	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
278	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	2	4	no	—
280	Q₈	—	2	4	no	—
281	Q₈	—	2	4	no	—
282	Q₈	—	2	4	no	—
283	Q₈	—	4	1	no	—
284	Q₈	—	8	2	no	—
285	Q₈	—	8	4	no	—
286	Q₈	—	8	2	no	—
287	D₄	—	2	4	no	—
288	D₄	—	2	4	no	—
289	D₄	—	2	4	no	—
290	D₄	—	4	1	no	—
291	D₄	—	8	2	no	—
292	D₄	—	8	4	no	—
293	D₄	—	8	4	no	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	1	no	—
296	C₂×C₄	—	2	1	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂×C₄	—	2	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	4	no	—
302	C₂×C₄	—	4	1	no	—
303	C₂×C₄	—	8	4	no	—
304	C₂×C₄	—	8	4	no	—
305	C₂×C₄	—	8	4	no	—
306	C₂×C₄	—	8	2	no	—
307	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
312	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
316	C₈	—	2	1	no	—
317	C₈	—	2	1	no	—
318	C₈	—	2	2	no	—
319	C₈	—	2	2	no	—
320	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
321	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
322	C₂²	—	2	1	no	—
323	C₂²	—	2	1	no	—
324	C₂²	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	2	no	—
326	C₂²	—	2	2	no	—
327	C₂²	—	4	4	no	—
328	C₂²	—	4	4	no	—
329	C₂²	—	4	4	no	—
330	C₂²	—	16	4	no	—
331	C₂²	#578	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₄	—	2	1	no	—
334	C₄	—	2	1	no	—
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	1	no	—
339	C₄	—	2	1	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	4	4	no	—
342	C₄	—	4	4	no	—
343	C₄	—	4	4	no	—
344	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
345	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
346	C₂	—	2	2	no	—
347	C₂	—	4	2	no	—
348	C₂	—	8	4	no	—
349	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
350	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #529 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3561	C₂	semidirect
2. #3402	C₂	semidirect
3. #3393	C₂	semidirect
4. D₄×Q₁₆	C₂	semidirect
5. #3285	C₂	semidirect
6. #3280	C₂	semidirect
7. #3277	C₂	semidirect
8. #3266	C₂	semidirect
9. #3225	C₂	semidirect
10. #3215	C₂	semidirect
11. #3175	C₂	semidirect
12. #3170	C₂	semidirect
13. #3156	C₂	semidirect
14. C₂×#495	C₂	semidirect
15. #2966	C₂	semidirect
16. C₂×#137	C₂²	semidirect
19. C₂²×Q₁₆	C₂²	semidirect
24. #556	C₂²	semidirect
27. #548	C₂²	semidirect
31. #542	C₂²	semidirect
33. #536	C₂²	semidirect
37. #500	C₂²	semidirect
38. #497	C₂²	semidirect
39. #497	C₂²	semidirect
45. #494	C₂²	semidirect
46. #494	C₂²	semidirect
47. #489	C₂²	semidirect
48. #487	C₂²	semidirect
49. #468	C₂²	semidirect
52. #467	C₂²	semidirect
54. #464	C₂²	semidirect
55. #464	C₂²	semidirect
56. #464	C₂²	semidirect
58. #462	C₂²	semidirect
59. #461	C₂²	semidirect
60. #452	C₂²	semidirect
62. #451	C₂²	semidirect
65. #448	C₂²	semidirect
66. #446	C₂²	semidirect
67. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
68. #440	C₂²	semidirect
69. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
70. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
71. C₄×Q₁₆	C₂²	semidirect
73. #436	C₂²	semidirect
76. C₈×D₄	C₂²	semidirect
77. #433	C₂²	semidirect
79. #405	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3561	2
#3402	2
#3393	2
D₄×Q₁₆	2
#3285	2
#3280	2
#3277	2
#3266	2
#3225	2
#3215	2
#3175	2
#3170	2
#3156	2
C₂×#495	2
#2966	2