Subgroups — #62439

Order 256.

936 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3554	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#3400	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3396	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#3395	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3287	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	D₄×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#3285	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3283	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3278	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3269	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
11	#3225	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#3216	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3175	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3156	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	C₂×#137	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#135	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
23	#562	—	2	4	no	—
24	#559	—	2	2	no	—
25	#559	C₂²	1	2	yes	—
26	#557	C₂²	1	2	yes	—
27	#554	—	2	2	no	—
28	#550	C₂²	1	2	yes	—
29	D₄×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
30	#548	C₂²	1	4	yes	—
31	#547	C₂²	1	4	yes	—
32	#542	—	2	2	no	—
33	#542	C₂²	1	4	yes	—
34	#540	—	2	2	no	—
35	#539	—	2	4	no	—
36	#536	C₂²	1	4	yes	—
37	#533	C₂²	1	2	yes	—
38	#532	C₂²	1	2	yes	—
39	#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#497	C₂²	1	4	yes	—
42	#497	C₂²	1	4	yes	—
43	#495	C₂²	1	2	yes	—
44	#495	C₂²	1	2	yes	—
45	#495	C₂²	1	2	yes	—
46	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
47	#494	C₂²	1	2	yes	—
48	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
49	#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
50	#492	C₂²	1	2	yes	—
51	#489	C₂²	1	4	yes	—
52	#487	C₂²	1	2	yes	—
53	#468	C₂²	1	4	yes	—
54	#467	C₂²	1	2	yes	—
55	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic
56	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic
57	#467	C₂²	1	2	yes	—
58	#466	C₂²	1	2	yes	—
59	#464	C₂²	1	4	yes	—
60	#463	C₂²	1	4	yes	—
61	#462	C₂²	1	2	yes	—
62	#462	C₂²	1	4	yes	—
63	#462	C₂²	1	2	yes	—
64	#461	C₂²	1	4	yes	—
65	#460	C₂²	1	2	yes	—
66	#460	C₂²	1	2	yes	—
67	#452	C₂²	1	4	yes	—
68	#452	C₂²	1	4	yes	—
69	#452	C₂²	1	4	yes	—
70	#451	C₂²	1	4	yes	—
71	#449	C₂²	1	4	yes	—
72	#448	C₂²	1	4	yes	—
73	#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
75	#440	C₂²	1	4	yes	—
76	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
78	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
79	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
80	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
81	#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#435	C₂²	1	2	yes	—
83	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
84	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
85	#433	C₂²	1	2	yes	—
86	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
87	#405	C₂²	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
90	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
91	C₂²×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
92	#137	—	4	8	no	—
93	#135	—	4	4	no	—
94	#135	—	4	4	no	—
95	#135	—	4	4	no	—
96	C₂×Q₁₆	—	4	4	no	—
97	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
99	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
102	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×Q₁₆	C₂³	1	4	yes	—
104	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
105	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
107	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
108	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
110	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
111	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
112	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
114	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
115	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
116	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
117	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
118	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
119	#127	—	2	2	no	—
120	#127	C₂³	1	2	yes	—
121	#126	—	2	4	no	—
122	#126	D₄	1	2	yes	—
123	#125	—	2	4	no	—
124	#125	—	2	2	no	—
125	#125	—	2	2	no	—
126	#125	D₄	1	1	yes	characteristic
127	#124	—	2	2	no	—
128	#124	—	2	4	no	—
129	#124	—	2	4	no	—
130	#124	D₄	1	1	yes	characteristic
131	#124	C₂³	1	4	yes	—
132	#124	C₂³	1	4	yes	—
133	#123	—	2	4	no	—
134	#123	—	2	4	no	—
135	#123	—	2	4	no	—
136	#123	—	2	4	no	—
137	#123	—	2	4	no	—
138	#123	—	2	4	no	—
139	#123	D₄	1	2	yes	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
146	C₂²⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
148	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
149	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
150	#121	—	2	4	no	—
151	#121	—	2	4	no	—
152	#121	—	2	2	no	—
153	#121	—	2	2	no	—
154	#121	—	2	4	no	—
155	#121	D₄	1	1	yes	characteristic
156	#121	C₂³	1	4	yes	—
157	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
159	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
160	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
161	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
162	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	C₄×D₄	—	2	2	no	—
164	C₄×D₄	—	2	2	no	—
165	C₄×D₄	—	2	2	no	—
166	C₄×D₄	—	2	4	no	—
167	C₄×D₄	—	2	2	no	—
168	C₄×D₄	—	2	2	no	—
169	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
170	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
171	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
172	#117	—	2	2	no	—
173	#117	C₂³	1	2	yes	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
175	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
176	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
177	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	#107	C₂³	1	2	yes	—
179	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
180	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
181	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
182	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
183	#103	C₂³	1	2	yes	—
184	#103	C₂³	1	4	yes	—
185	#103	C₂³	1	2	yes	—
186	#103	C₂³	1	2	yes	—
187	#103	C₂³	1	2	yes	—
188	#103	C₂³	1	4	yes	—
189	#102	C₂³	1	4	yes	—
190	#102	C₂³	1	4	yes	—
191	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
192	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
193	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
194	#97	C₂³	1	2	yes	—
195	#97	C₂³	1	2	yes	—
196	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
197	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
200	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
201	#41	—	4	4	no	—
202	#41	—	4	4	no	—
203	#41	—	4	4	no	—
204	#41	—	4	4	no	—
205	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
207	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
209	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
211	C₂×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
212	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
213	C₂×D₄	—	2	4	no	—
214	C₂×D₄	—	2	4	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	2	no	—
217	C₂×D₄	—	2	2	no	—
218	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
221	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
222	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
223	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
224	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
225	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
228	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
229	Q₁₆	—	2	2	no	—
230	Q₁₆	—	2	4	no	—
231	Q₁₆	—	2	2	no	—
232	Q₁₆	—	2	4	no	—
233	Q₁₆	—	4	4	no	—
234	Q₁₆	—	4	2	no	—
235	Q₁₆	—	4	4	no	—
236	SD₁₆	—	2	8	no	—
237	SD₁₆	—	4	4	no	—
238	SD₁₆	—	4	4	no	—
239	SD₁₆	—	4	4	no	—
240	D₈	—	2	4	no	—
241	D₈	—	4	2	no	—
242	M₁₆	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
266	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
267	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
268	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
271	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
272	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
273	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
280	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
282	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
283	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
284	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
285	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
286	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
287	C₄²	—	2	2	no	—
288	C₄²	—	2	2	no	—
289	C₄²	—	2	4	no	—
290	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
291	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
292	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
294	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
295	C₂³	—	2	4	no	—
296	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
298	Q₈	—	2	2	no	—
299	Q₈	—	2	4	no	—
300	Q₈	—	2	2	no	—
301	Q₈	—	2	2	no	—
302	Q₈	—	2	4	no	—
303	Q₈	—	2	2	no	—
304	Q₈	—	2	2	no	—
305	Q₈	—	8	2	no	—
306	Q₈	—	8	4	no	—
307	D₄	—	2	2	no	—
308	D₄	—	2	4	no	—
309	D₄	—	2	4	no	—
310	D₄	—	4	2	no	—
311	D₄	—	4	4	no	—
312	D₄	—	8	2	no	—
313	D₄	—	8	4	no	—
314	D₄	—	8	4	no	—
315	D₄	—	8	4	no	—
316	C₂×C₄	—	2	2	no	—
317	C₂×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	2	no	—
321	C₂×C₄	—	2	2	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	1	no	—
327	C₂×C₄	—	8	4	no	—
328	C₂×C₄	—	8	4	no	—
329	C₂×C₄	—	8	4	no	—
330	C₂×C₄	—	8	4	no	—
331	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
340	C₈	—	2	1	no	—
341	C₈	—	2	1	no	—
342	C₈	—	2	2	no	—
343	C₈	—	2	2	no	—
344	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
345	C₈	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
346	C₂²	—	2	1	no	—
347	C₂²	—	2	2	no	—
348	C₂²	—	2	2	no	—
349	C₂²	—	2	1	no	—
350	C₂²	—	2	1	no	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	4	no	—
354	C₂²	—	4	4	no	—
355	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	1	no	—
358	C₄	—	2	2	no	—
359	C₄	—	2	1	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	2	1	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	4	2	no	—
364	C₄	—	4	2	no	—
365	C₄	—	4	2	no	—
366	C₄	—	4	4	no	—
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	#578	1	2	yes	—
369	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
370	C₄	C₂×H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
371	C₂	—	4	1	no	—
372	C₂	—	4	2	no	—
373	C₂	—	8	4	no	—
374	C₂	#3498	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #529 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3554	C₂	semidirect
2. #3400	C₂	semidirect
3. #3396	C₂	semidirect
4. #3395	C₂	semidirect
5. #3287	C₂	semidirect
6. D₄×Q₁₆	C₂	semidirect
7. #3285	C₂	semidirect
8. #3283	C₂	semidirect
9. #3278	C₂	semidirect
10. #3269	C₂	semidirect
11. #3225	C₂	semidirect
12. #3216	C₂	semidirect
13. #3175	C₂	semidirect
14. #3170	C₂	semidirect
15. #3156	C₂	semidirect
16. #3147	C₂	semidirect
17. #2966	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3554	2
#3400	2
#3396	2
#3395	2
#3287	2
D₄×Q₁₆	2
#3285	2
#3283	2
#3278	2
#3269	2
#3225	2
#3216	2
#3175	2
#3170	2
#3156	2
#3147	2
#2966	2