Subgroups — #62496

Order 256.

796 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 344 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3555	C₂	1	2	yes	maximal
2	#3387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#3383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	Q₈×Q₁₆	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#3356	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3349	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3342	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#3338	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3336	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3242	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
12	#3237	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3177	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
14	#3170	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#3164	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#3160	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
18	#563	—	2	4	no	—
19	Q₈²	C₂²	1	2	yes	—
20	#557	—	2	2	no	—
21	#557	C₂²	1	2	yes	—
22	#556	—	2	2	no	—
23	#556	C₂²	1	4	yes	—
24	#556	C₂²	1	2	yes	—
25	#554	C₂²	1	2	yes	—
26	#552	C₂²	1	4	yes	—
27	#544	C₂²	1	4	yes	—
28	#542	—	2	2	no	—
29	#541	—	2	4	no	—
30	#541	—	2	2	no	—
31	#541	C₂²	1	4	yes	—
32	#533	C₂²	1	2	yes	—
33	#533	C₂²	1	2	yes	—
34	#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#501	C₂²	1	4	yes	—
36	#501	C₂²	1	4	yes	—
37	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#500	C₂²	1	2	yes	—
39	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	#500	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#499	C₂²	1	2	yes	—
42	#499	C₂²	1	2	yes	—
43	#499	C₂²	1	2	yes	—
44	#498	C₂²	1	2	yes	—
45	#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
46	#491	C₂²	1	4	yes	—
47	#487	C₂²	1	2	yes	—
48	#485	C₂²	1	4	yes	—
49	#485	C₂²	1	4	yes	—
50	#485	C₂²	1	4	yes	—
51	#485	C₂²	1	4	yes	—
52	#484	C₂²	1	4	yes	—
53	#483	C₂²	1	4	yes	—
54	#479	C₂²	1	4	yes	—
55	#479	C₂²	1	4	yes	—
56	#477	C₂²	1	2	yes	—
57	#477	C₂²	1	4	yes	—
58	#477	C₂²	1	2	yes	—
59	#475	C₂²	1	2	yes	—
60	#475	C₂²	1	4	yes	—
61	#475	C₂²	1	2	yes	—
62	#470	C₂²	1	4	yes	—
63	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic
64	#467	C₂²	1	2	yes	—
65	#467	C₂²	1	2	yes	—
66	#467	C₂²	1	1	yes	characteristic
67	#467	C₂²	1	2	yes	—
68	#446	C₂²	1	1	yes	characteristic
69	C₈×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	#441	C₂²	1	4	yes	—
71	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
72	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
73	C₄×Q₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
75	C₄×Q₁₆	C₂²	1	2	yes	—
76	#436	C₂²	1	1	yes	characteristic
77	#435	C₂²	1	2	yes	—
78	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	—
79	C₈×D₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
80	#433	C₂²	1	2	yes	—
81	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
82	#428	C₂²	1	4	yes	—
83	#427	C₂²	1	2	yes	—
84	#427	C₂²	1	2	yes	—
85	#427	C₂²	1	2	yes	—
86	C₂×#107	C₂²	1	2	yes	—
87	#405	C₂²	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
89	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
90	C₂×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×Q₁₆	C₂³	1	2	yes	—
92	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
93	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
96	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
97	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
98	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
99	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
100	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
101	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
103	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
104	C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
105	#126	—	2	4	no	—
106	#126	—	2	4	no	—
107	#126	—	2	4	no	—
108	#126	—	2	4	no	—
109	#126	—	2	4	no	—
110	#126	—	2	4	no	—
111	#126	D₄	1	2	yes	—
112	#125	—	2	4	no	—
113	#125	—	2	4	no	—
114	#125	—	2	4	no	—
115	#125	—	2	2	no	—
116	#125	—	2	4	no	—
117	#125	—	2	4	no	—
118	#125	—	2	2	no	—
119	#125	D₄	1	1	yes	characteristic
120	#125	C₂³	1	4	yes	—
121	#125	C₂³	1	4	yes	—
122	#124	—	2	2	no	—
123	#124	—	2	4	no	—
124	#124	D₄	1	1	yes	characteristic
125	#123	—	2	4	no	—
126	#123	D₄	1	2	yes	—
127	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
132	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
133	C₂²⋊Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
135	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
136	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
138	#121	D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
140	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
141	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
145	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
146	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
147	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
148	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
149	C₄×Q₈	C₂³	1	4	yes	—
150	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₄×D₄	—	2	2	no	—
152	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
153	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	—	2	4	no	—
156	#117	C₂³	1	4	yes	—
157	#117	C₂³	1	4	yes	—
158	#117	C₂³	1	2	yes	—
159	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	4	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
161	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
162	#107	C₂³	1	2	yes	—
163	#107	C₂³	1	4	yes	—
164	#107	C₂³	1	2	yes	—
165	#107	C₂³	1	1	yes	characteristic
166	#107	C₂³	1	2	yes	—
167	#107	C₂³	1	2	yes	—
168	#107	C₂³	1	2	yes	—
169	#107	C₂³	1	4	yes	—
170	#106	C₂³	1	4	yes	—
171	#106	C₂³	1	4	yes	—
172	#106	C₂³	1	4	yes	—
173	#106	C₂³	1	4	yes	—
174	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
175	C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
176	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
177	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
178	#103	C₂³	1	2	yes	—
179	#103	C₂³	1	2	yes	—
180	#103	C₂³	1	2	yes	—
181	#103	C₂³	1	2	yes	—
182	#103	C₂³	1	4	yes	—
183	#103	C₂³	1	4	yes	—
184	#103	C₂³	1	4	yes	—
185	#103	C₂³	1	4	yes	—
186	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
187	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
188	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
189	#97	C₂³	1	2	yes	—
190	#97	C₂³	1	2	yes	—
191	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
192	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
193	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
194	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
196	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
197	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
198	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
200	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
201	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
202	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
203	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
204	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
205	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
206	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
210	Q₁₆	—	2	2	no	—
211	Q₁₆	—	2	2	no	—
212	Q₁₆	—	2	4	no	—
213	M₁₆	—	2	4	no	—
214	C₂×C₈	—	2	2	no	—
215	C₂×C₈	—	2	4	no	—
216	C₂×C₈	—	2	2	no	—
217	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
220	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
221	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
223	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
242	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
243	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
245	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
246	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
248	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
249	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
250	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
251	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
258	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
259	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
261	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
262	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
263	C₄²	—	2	4	no	—
264	C₄²	—	2	2	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	2	4	no	—
267	C₄²	—	2	4	no	—
268	C₄²	—	2	4	no	—
269	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
270	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
272	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
273	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	Q₈	—	2	2	no	—
277	Q₈	—	2	2	no	—
278	Q₈	—	2	2	no	—
279	Q₈	—	2	2	no	—
280	Q₈	—	2	2	no	—
281	Q₈	—	4	4	no	—
282	Q₈	—	8	2	no	—
283	Q₈	—	8	2	no	—
284	Q₈	—	8	4	no	—
285	D₄	—	2	2	no	—
286	D₄	—	4	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	1	no	—
289	C₂×C₄	—	2	1	no	—
290	C₂×C₄	—	2	2	no	—
291	C₂×C₄	—	2	2	no	—
292	C₂×C₄	—	2	2	no	—
293	C₂×C₄	—	2	2	no	—
294	C₂×C₄	—	2	4	no	—
295	C₂×C₄	—	2	2	no	—
296	C₂×C₄	—	2	4	no	—
297	C₂×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂×C₄	—	4	1	no	—
299	C₂×C₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
309	C₈	—	2	1	no	—
310	C₈	—	2	1	no	—
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	2	2	no	—
313	C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
314	C₈	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
315	C₂²	—	2	1	no	—
316	C₂²	—	2	2	no	—
317	C₂²	—	2	1	no	—
318	C₂²	—	2	2	no	—
319	C₂²	—	2	1	no	—
320	C₂²	—	2	2	no	—
321	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
322	C₄	—	2	1	no	—
323	C₄	—	2	1	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	1	no	—
326	C₄	—	2	2	no	—
327	C₄	—	2	1	no	—
328	C₄	—	2	2	no	—
329	C₄	—	4	2	no	—
330	C₄	—	4	4	no	—
331	C₄	—	4	2	no	—
332	C₄	—	4	2	no	—
333	C₄	—	4	2	no	—
334	C₄	—	4	4	no	—
335	C₄	#578	1	2	yes	—
336	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
337	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
338	C₂	—	4	1	no	—
339	C₂	—	4	2	no	—
340	C₂	#3499	1	1	yes	characteristic
341	C₂	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
342	C₂	#3584	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
prime radical	#121	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ #529 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #3387	C₂	semidirect
3. #3383	C₂	semidirect
4. Q₈×Q₁₆	C₂	semidirect
5. #3356	C₂	semidirect
6. #3349	C₂	semidirect
7. #3342	C₂	semidirect
8. #3342	C₂	semidirect
9. #3338	C₂	semidirect
10. #3336	C₂	semidirect
11. #3242	C₂	semidirect
12. #3237	C₂	semidirect
13. #3177	C₂	semidirect
14. #3170	C₂	semidirect
15. #3164	C₂	semidirect
16. #3160	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3555	2
#3387	2
#3383	2
Q₈×Q₁₆	2
#3356	2
#3349	2
#3342	2
#3338	2
#3336	2
#3242	2
#3237	2
#3177	2
#3170	2
#3164	2
#3160	2
#2966	2