Subgroups — #62512

Order 256.

857 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 421 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3515	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3511	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3381	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#3380	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#3357	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#3355	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#3354	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3351	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#3240	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#3238	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	#3235	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3234	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	#3171	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	#3171	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
15	#3166	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
16	#3165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
17	#2971	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
18	#557	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#556	—	2	1	no	—
20	#555	C₂²	1	2	yes	—
21	#554	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#554	C₂²	1	2	yes	—
23	#554	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#553	C₂²	1	4	yes	—
25	#553	C₂²	1	2	yes	—
26	#552	—	2	2	no	—
27	#552	—	2	1	no	—
28	#552	C₂²	1	2	yes	—
29	#548	—	2	2	no	—
30	#547	—	2	1	no	—
31	#547	—	2	1	no	—
32	#547	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#542	—	2	2	no	—
34	#541	—	2	1	no	—
35	#539	—	2	2	no	—
36	#537	—	2	1	no	—
37	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#533	C₂²	1	2	yes	—
39	#532	C₂²	1	2	yes	—
40	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#529	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	#529	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂×#125	C₂²	1	2	yes	—
45	#520	—	2	1	no	—
46	#520	—	2	1	no	—
47	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
48	#501	C₂²	1	2	yes	—
49	#501	C₂²	1	2	yes	—
50	#501	C₂²	1	1	yes	characteristic
51	#501	C₂²	1	2	yes	—
52	#501	C₂²	1	2	yes	—
53	#500	C₂²	1	2	yes	—
54	#499	C₂²	1	4	yes	—
55	#499	C₂²	1	4	yes	—
56	#498	C₂²	1	2	yes	—
57	#496	C₂²	1	1	yes	characteristic
58	#490	C₂²	1	1	yes	characteristic
59	#490	C₂²	1	2	yes	—
60	#489	C₂²	1	2	yes	—
61	#489	C₂²	1	1	yes	characteristic
62	#485	C₂²	1	4	yes	—
63	#483	C₂²	1	2	yes	—
64	#482	C₂²	1	4	yes	—
65	#482	C₂²	1	4	yes	—
66	#481	C₂²	1	4	yes	—
67	#480	C₂²	1	2	yes	—
68	#480	C₂²	1	4	yes	—
69	#479	C₂²	1	4	yes	—
70	#478	C₂²	1	4	yes	—
71	#478	C₂²	1	4	yes	—
72	#478	C₂²	1	4	yes	—
73	#477	C₂²	1	2	yes	—
74	#476	C₂²	1	2	yes	—
75	#476	C₂²	1	2	yes	—
76	#474	C₂²	1	2	yes	—
77	#469	C₂²	1	4	yes	—
78	#469	C₂²	1	2	yes	—
79	#468	C₂²	1	2	yes	—
80	#468	C₂²	1	4	yes	—
81	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	—
82	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	—
83	C₄×SD₁₆	C₂²	1	2	yes	—
84	C₄×D₈	C₂²	1	2	yes	—
85	C₄×D₈	C₂²	1	4	yes	—
86	#436	C₂²	1	4	yes	—
87	#436	C₂²	1	2	yes	—
88	#432	C₂²	1	2	yes	—
89	#432	C₂²	1	1	yes	characteristic
90	#428	C₂²	1	4	yes	—
91	#428	C₂²	1	4	yes	—
92	#428	C₂²	1	4	yes	—
93	C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
94	C₄×M₁₆	C₂²	1	2	yes	—
95	C₂×#41	—	2	1	no	—
96	C₂×#41	—	2	1	no	—
97	C₂×#41	—	2	2	no	—
98	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
100	C₂×SD₁₆	C₂³	1	2	yes	—
101	C₂×D₈	C₂³	1	2	yes	—
102	C₂×M₁₆	C₂³	1	2	yes	—
103	C₂×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
104	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
105	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
106	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
107	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
108	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
109	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
113	#126	—	2	2	no	—
114	#126	—	2	4	no	—
115	#126	—	2	2	no	—
116	#126	—	2	2	no	—
117	#126	—	2	1	no	—
118	#125	—	2	2	no	—
119	#125	—	2	2	no	—
120	#125	—	2	1	no	—
121	#125	—	2	2	no	—
122	#125	—	2	2	no	—
123	#125	C₂³	1	1	yes	characteristic
124	#125	C₂³	1	2	yes	—
125	#125	C₂³	1	2	yes	—
126	#125	C₂³	1	2	yes	—
127	#125	C₂³	1	4	yes	—
128	#124	—	2	4	no	—
129	#124	—	2	1	no	—
130	#124	—	2	2	no	—
131	#124	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	#123	—	2	2	no	—
133	#123	—	2	1	no	—
134	#123	—	2	2	no	—
135	#123	—	2	2	no	—
136	#123	—	2	2	no	—
137	#123	—	2	4	no	—
138	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
140	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
142	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
144	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
145	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
146	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
148	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
149	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
150	#121	—	2	2	no	—
151	#121	—	2	4	no	—
152	#121	—	2	2	no	—
153	#121	—	2	2	no	—
154	#121	—	2	1	no	—
155	#121	C₂³	1	2	yes	—
156	#121	C₂³	1	1	yes	characteristic
157	#121	C₂³	1	2	yes	—
158	#121	C₂³	1	4	yes	—
159	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
164	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
166	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
167	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
168	C₄×D₄	—	2	1	no	—
169	C₄×D₄	—	2	2	no	—
170	C₄×D₄	—	2	1	no	—
171	C₄×D₄	—	2	4	no	—
172	C₄×D₄	—	2	2	no	—
173	C₄×D₄	—	2	2	no	—
174	C₄×D₄	—	2	1	no	—
175	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
176	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
177	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
179	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
180	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
181	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
182	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
183	#117	—	2	2	no	—
184	#117	—	2	2	no	—
185	#117	—	2	1	no	—
186	#117	—	2	2	no	—
187	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
188	#117	D₄	1	2	yes	—
189	#117	C₂³	1	2	yes	—
190	#117	C₂³	1	4	yes	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
197	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
198	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
201	#107	C₂³	1	2	yes	—
202	#107	C₂³	1	4	yes	—
203	#107	C₂³	1	4	yes	—
204	#107	C₂³	1	4	yes	—
205	#107	C₂³	1	4	yes	—
206	#106	C₂³	1	4	yes	—
207	#106	C₂³	1	2	yes	—
208	#106	C₂³	1	4	yes	—
209	#106	C₂³	1	4	yes	—
210	#106	C₂³	1	4	yes	—
211	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
212	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
213	#103	C₂³	1	4	yes	—
214	#103	C₂³	1	2	yes	—
215	#102	C₂³	1	4	yes	—
216	#102	C₂³	1	2	yes	—
217	#102	C₂³	1	4	yes	—
218	#102	C₂³	1	2	yes	—
219	#102	C₂³	1	4	yes	—
220	#102	C₂³	1	2	yes	—
221	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
222	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
223	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
224	#97	C₂³	1	1	yes	characteristic
225	#97	C₂³	1	2	yes	—
226	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
227	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
228	#41	—	4	2	no	—
229	#41	—	4	4	no	—
230	#41	—	4	4	no	—
231	#41	—	8	4	no	—
232	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
234	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
236	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
237	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
238	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
240	C₂×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂×D₄	—	2	2	no	—
242	C₂×D₄	—	2	1	no	—
243	C₂×D₄	—	2	4	no	—
244	C₂×D₄	—	2	1	no	—
245	C₂×D₄	—	2	1	no	—
246	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
248	C₂×D₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
249	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
250	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
251	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
252	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
254	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
259	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
263	SD₁₆	—	2	4	no	—
264	D₈	—	2	4	no	—
265	M₁₆	—	2	4	no	—
266	M₁₆	—	2	8	no	—
267	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
268	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
269	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
286	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
291	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
292	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
293	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
295	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
296	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
297	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
298	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
299	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
300	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
301	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
302	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
316	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
317	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
318	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
319	C₄²	—	2	2	no	—
320	C₄²	—	2	4	no	—
321	C₄²	—	2	2	no	—
322	C₄²	—	2	1	no	—
323	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
324	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
325	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
326	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
327	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
328	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
329	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
330	C₂³	—	2	1	no	—
331	C₂³	—	2	2	no	—
332	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
334	Q₈	—	2	2	no	—
335	Q₈	—	2	2	no	—
336	Q₈	—	4	4	no	—
337	Q₈	—	4	2	no	—
338	Q₈	—	4	2	no	—
339	Q₈	—	8	1	no	—
340	Q₈	—	8	2	no	—
341	D₄	—	2	2	no	—
342	D₄	—	2	2	no	—
343	D₄	—	2	2	no	—
344	D₄	—	2	2	no	—
345	D₄	—	4	2	no	—
346	D₄	—	4	2	no	—
347	D₄	—	4	2	no	—
348	D₄	—	4	4	no	—
349	D₄	—	4	4	no	—
350	D₄	—	8	1	no	—
351	D₄	—	8	4	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	4	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	1	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	2	no	—
358	C₂×C₄	—	2	2	no	—
359	C₂×C₄	—	2	4	no	—
360	C₂×C₄	—	2	1	no	—
361	C₂×C₄	—	2	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	2	no	—
364	C₂×C₄	—	4	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	4	no	—
366	C₂×C₄	—	4	2	no	—
367	C₂×C₄	—	4	4	no	—
368	C₂×C₄	—	8	2	no	—
369	C₂×C₄	—	8	4	no	—
370	C₂×C₄	—	8	2	no	—
371	C₂×C₄	—	8	2	no	—
372	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
374	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
375	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
377	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
379	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
381	C₈	—	2	2	no	—
382	C₈	—	2	4	no	—
383	C₈	2₋¹⁺⁴	1	4	yes	—
384	C₂²	—	2	1	no	—
385	C₂²	—	2	2	no	—
386	C₂²	—	2	1	no	—
387	C₂²	—	2	2	no	—
388	C₂²	—	2	1	no	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	4	2	no	—
391	C₂²	—	4	1	no	—
392	C₂²	—	4	1	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	4	2	no	—
395	C₂²	—	4	1	no	—
396	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
397	C₄	—	2	1	no	—
398	C₄	—	2	2	no	—
399	C₄	—	2	1	no	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	2	1	no	—
402	C₄	—	2	1	no	—
403	C₄	—	2	2	no	—
404	C₄	—	4	1	no	—
405	C₄	—	4	4	no	—
406	C₄	—	4	2	no	—
407	C₄	—	4	1	no	—
408	C₄	—	4	1	no	—
409	C₄	—	4	2	no	—
410	C₄	—	4	2	no	—
411	C₄	#575	1	2	yes	—
412	C₄	C₂×2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
413	C₂	—	4	1	no	—
414	C₂	—	4	2	no	—
415	C₂	—	8	2	no	—
416	C₂	—	8	1	no	—
417	C₂	#3499	1	1	yes	characteristic
418	C₂	C₂×#575	1	1	yes	characteristic
419	C₂	#3585	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3515	C₂	semidirect
2. #3511	C₂	semidirect
3. #3381	C₂	semidirect
4. #3380	C₂	semidirect
5. #3357	C₂	semidirect
6. #3355	C₂	semidirect
7. #3354	C₂	semidirect
8. #3351	C₂	semidirect
9. #3240	C₂	semidirect
10. #3238	C₂	semidirect
11. #3235	C₂	semidirect
12. #3234	C₂	semidirect
13. #3171	C₂	semidirect
14. #3171	C₂	semidirect
15. #3166	C₂	semidirect
16. #3165	C₂	semidirect
17. #2971	C₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3515	2
#3511	2
#3381	2
#3380	2
#3357	2
#3355	2
#3354	2
#3351	2
#3240	2
#3238	2
#3235	2
#3234	2
#3171	2
#3166	2
#3165	2
#2971	2