Subgroups — #62527

Order 256.

931 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 360 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#3511	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#3508	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#3361	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#3305	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#3297	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#3230	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#3228	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#3207	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#3205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#3169	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	#3167	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#3131	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
13	C₂×#486	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
14	C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
15	#559	—	2	1	no	—
16	#559	C₂²	1	2	yes	—
17	#556	—	2	1	no	—
18	#555	C₂²	1	2	yes	complemented
19	#554	C₂²	1	2	yes	complemented
20	#553	C₂²	1	4	yes	—
21	#550	—	2	1	no	—
22	#550	C₂²	1	2	yes	—
23	#548	—	2	2	no	—
24	#547	—	2	1	no	—
25	#546	—	2	2	no	—
26	#546	C₂²	1	4	yes	—
27	#542	—	2	2	no	—
28	#540	—	2	2	no	—
29	#537	—	2	1	no	—
30	#535	—	2	1	no	—
31	#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#533	C₂²	1	2	yes	complemented
33	#532	C₂²	1	2	yes	—
34	#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#532	C₂²	1	2	yes	—
36	#532	C₂²	1	2	yes	complemented
37	C₂×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	#520	—	2	1	no	—
40	#518	—	2	1	no	—
41	C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#500	C₂²	1	2	yes	complemented
43	#498	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
44	#493	C₂²	1	2	yes	—
45	#492	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
46	#488	C₂²	1	8	yes	complemented
47	#487	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
48	#487	C₂²	1	2	yes	complemented
49	#486	C₂²	1	4	yes	—
50	#486	C₂²	1	2	yes	—
51	#486	C₂²	1	2	yes	—
52	#486	C₂²	1	2	yes	—
53	#486	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
54	#484	C₂²	1	4	yes	—
55	#482	C₂²	1	8	yes	complemented
56	#478	C₂²	1	8	yes	complemented
57	#477	C₂²	1	4	yes	complemented
58	#466	C₂²	1	8	yes	complemented
59	#465	C₂²	1	4	yes	—
60	#463	C₂²	1	8	yes	complemented
61	#459	C₂²	1	4	yes	—
62	#449	C₂²	1	8	yes	complemented
63	#447	C₂²	1	4	yes	—
64	C₈×Q₈	C₂²	1	2	yes	complemented
65	C₄×SD₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
66	C₄×D₈	C₂²	1	8	yes	complemented
67	C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	—
68	C₈×D₄	C₂²	1	2	yes	complemented
69	#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
70	#431	C₂²	1	2	yes	complemented
71	#416	C₂²	1	8	yes	complemented
72	C₂×#102	C₂²	1	4	yes	—
73	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	complemented
75	C₂×#41	—	2	1	no	—
76	C₂×#41	—	2	2	no	—
77	C₂×#41	—	2	2	no	—
78	C₂×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂×#41	C₂³	1	4	yes	—
80	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
81	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
82	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
83	C₂²×D₄	C₂³	1	2	yes	—
84	C₂×SD₁₆	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×D₈	C₂³	1	8	yes	—
86	C₂²×C₈	C₂³	1	2	yes	—
87	C₂²×C₈	C₂³	1	4	yes	—
88	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
89	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
90	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
92	C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
93	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
94	C₄⋊Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#127	—	2	2	no	—
96	#127	—	2	1	no	—
97	#127	—	2	1	no	—
98	#127	C₂³	1	2	yes	—
99	#127	C₂³	1	2	yes	—
100	#127	C₂³	1	1	yes	characteristic
101	#126	—	2	4	no	—
102	#125	—	2	1	no	—
103	#125	C₂³	1	4	yes	—
104	#124	—	2	2	no	—
105	#124	—	2	4	no	—
106	#124	—	2	1	no	—
107	#124	—	2	2	no	—
108	#124	—	2	2	no	—
109	#124	C₂³	1	4	yes	—
110	#123	—	2	4	no	—
111	#123	—	2	4	no	—
112	#123	—	2	4	no	—
113	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
114	C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
115	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
116	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
117	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
118	C₂²⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
119	#121	—	2	2	no	—
120	#121	—	2	4	no	—
121	#121	—	2	2	no	—
122	#121	—	2	2	no	—
123	#121	—	2	2	no	—
124	#121	—	2	1	no	—
125	#121	—	2	2	no	—
126	#121	—	2	4	no	—
127	#121	—	2	4	no	—
128	#121	C₂³	1	4	yes	—
129	#121	C₂³	1	2	yes	—
130	#121	C₂³	1	4	yes	—
131	#120	—	2	4	no	—
132	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
133	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
134	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
135	C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₄×Q₈	C₂³	1	2	yes	—
137	C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
138	C₄×D₄	—	2	2	no	—
139	C₄×D₄	—	2	2	no	—
140	C₄×D₄	—	2	4	no	—
141	C₄×D₄	—	2	2	no	—
142	C₄×D₄	—	2	2	no	—
143	C₄×D₄	—	2	2	no	—
144	C₄×D₄	—	2	2	no	—
145	C₄×D₄	—	2	1	no	—
146	C₄×D₄	D₄	1	2	yes	—
147	C₄×D₄	D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
149	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
150	C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
151	C₄×D₄	C₂³	1	2	yes	—
152	C₄×D₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
153	#117	—	2	1	no	—
154	#117	—	2	2	no	—
155	#117	D₄	1	1	yes	characteristic
156	#117	D₄	1	2	yes	—
157	#117	C₂³	1	4	yes	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	C₂³	1	2	yes	—
161	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
162	C₂×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
163	C₂×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
164	#107	C₂³	1	8	yes	—
165	#106	C₂³	1	4	yes	—
166	C₄⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
167	C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
168	#103	C₂³	1	4	yes	—
169	#103	C₂³	1	8	yes	—
170	#102	C₂³	1	8	yes	—
171	#102	C₂³	1	8	yes	—
172	#102	C₂³	1	8	yes	—
173	#102	C₂³	1	4	yes	—
174	C₂²⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
175	C₂²⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
176	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
177	C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
178	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
179	C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
181	C₂⁴	—	2	2	no	—
182	#41	—	2	4	no	—
183	#41	—	4	8	no	—
184	#41	—	4	4	no	—
185	#41	—	8	4	no	—
186	#41	—	8	4	no	—
187	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
189	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
190	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
191	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
192	C₂×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
194	C₂×D₄	—	2	2	no	—
195	C₂×D₄	—	2	4	no	—
196	C₂×D₄	—	2	4	no	—
197	C₂×D₄	—	2	4	no	—
198	C₂×D₄	—	2	1	no	—
199	C₂×D₄	—	2	2	no	—
200	C₂×D₄	—	2	2	no	—
201	C₂×D₄	—	2	1	no	—
202	C₂×D₄	—	2	2	no	—
203	C₂×D₄	—	2	2	no	—
204	C₂×D₄	—	2	2	no	—
205	C₂×D₄	—	4	4	no	—
206	C₂×D₄	—	4	4	no	—
207	C₂×D₄	—	8	2	no	—
208	C₂×D₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
209	C₂×D₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
210	C₂×D₄	C₂⁴	1	4	yes	—
211	C₂×D₄	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
213	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
221	C₂²×C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
223	SD₁₆	—	4	4	no	—
224	D₈	—	4	8	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	—	4	2	no	—
227	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
228	C₂×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
229	C₂×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
230	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
235	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
236	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
239	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
240	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
243	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
245	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
246	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	4	yes	—
247	C₄⋊C₄	C₂⁴	1	2	yes	—
248	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
249	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
251	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
259	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
260	C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
265	C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
266	C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
267	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
268	C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
269	C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
270	C₂³	—	2	2	no	—
271	C₂³	—	2	4	no	—
272	C₂³	—	4	4	no	—
273	C₂³	—	8	2	no	—
274	C₂³	—	8	2	no	—
275	C₂³	C₂²×D₄	1	2	yes	—
276	C₂³	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	2	2	no	—
278	Q₈	—	2	4	no	—
279	Q₈	—	4	2	no	—
280	Q₈	—	4	4	no	—
281	Q₈	—	4	2	no	—
282	Q₈	—	8	2	no	—
283	D₄	—	2	4	no	—
284	D₄	—	2	2	no	—
285	D₄	—	2	4	no	—
286	D₄	—	2	8	no	—
287	D₄	—	4	4	no	—
288	D₄	—	4	4	no	—
289	D₄	—	4	4	no	—
290	D₄	—	4	2	no	—
291	D₄	—	4	4	no	—
292	D₄	—	4	2	no	—
293	D₄	—	8	2	no	—
294	D₄	—	8	2	no	—
295	D₄	—	8	4	no	—
296	D₄	—	8	4	no	—
297	D₄	—	8	4	no	—
298	C₂×C₄	—	2	4	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	4	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	4	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	4	no	—
308	C₂×C₄	—	8	4	no	—
309	C₂×C₄	—	8	4	no	—
310	C₂×C₄	—	8	4	no	—
311	C₂×C₄	—	8	2	no	—
312	C₂×C₄	#135	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
318	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
322	C₈	—	2	2	no	—
323	C₈	—	2	4	no	—
324	C₈	—	2	2	no	—
325	C₂²	—	2	1	no	—
326	C₂²	—	2	1	no	—
327	C₂²	—	2	2	no	—
328	C₂²	—	2	2	no	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	—	4	2	no	—
333	C₂²	—	4	4	no	—
334	C₂²	—	4	2	no	—
335	C₂²	—	4	4	no	—
336	C₂²	—	16	4	no	—
337	C₂²	C₂×#135	1	2	yes	—
338	C₂²	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	1	no	—
341	C₄	—	2	2	no	—
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	4	2	no	—
345	C₄	—	4	2	no	—
346	C₄	—	4	2	no	—
347	C₄	—	4	4	no	—
348	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
349	C₄	C₂×#135	1	2	yes	—
350	C₄	#576	1	2	yes	—
351	C₄	#585	1	2	yes	—
352	C₂	—	2	2	no	—
353	C₂	—	4	2	no	—
354	C₂	—	8	2	no	—
355	C₂	—	8	4	no	—
356	C₂	#3500	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂×#576	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×D₄
commutator, Frattini, cosocle	C₂×C₄	C₂⁵
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #3511	C₂	semidirect
2. #3508	C₂	semidirect
3. #3361	C₂	semidirect
4. #3305	C₂	semidirect
5. #3297	C₂	semidirect
6. #3230	C₂	semidirect
7. #3228	C₂	semidirect
8. #3207	C₂	semidirect
9. #3205	C₂	semidirect
10. #3169	C₂	semidirect
11. #3167	C₂	semidirect
12. #3131	C₂	semidirect
13. C₂×#486	C₂	semidirect
14. C₈×#41	C₂	semidirect
18. #555	C₂²	semidirect
19. #554	C₂²	semidirect
32. #533	C₂²	semidirect
36. #532	C₂²	semidirect
42. #500	C₂²	semidirect
43. #498	C₂²	semidirect
45. #492	C₂²	semidirect
46. #488	C₂²	semidirect
47. #487	C₂²	semidirect
48. #487	C₂²	semidirect
53. #486	C₂²	semidirect
55. #482	C₂²	semidirect
56. #478	C₂²	semidirect
57. #477	C₂²	semidirect
58. #466	C₂²	semidirect
60. #463	C₂²	semidirect
62. #449	C₂²	semidirect
64. C₈×Q₈	C₂²	semidirect
65. C₄×SD₁₆	C₂²	semidirect
66. C₄×D₈	C₂²	semidirect
68. C₈×D₄	C₂²	semidirect
70. #431	C₂²	semidirect
71. #416	C₂²	semidirect
74. C₂×C₄×C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#3511	2
#3508	2
#3361	2
#3305	2
#3297	2
#3230	2
#3228	2
#3207	2
#3205	2
#3169	2
#3167	2
#3131	2
C₂×#486	2
C₈×#41	2