Subgroups — C₂²×#1496 #6342967

Order 512.

4398 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1496	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×D₄⋊C₈	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂³×#41	—	2	1	no	—
7	C₂×#532	—	2	6	no	—
8	C₂×#532	—	2	6	no	—
9	C₂×#532	C₄	1	12	yes	—
10	C₂×#532	C₂²	1	12	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#127	C₄	1	1	yes	characteristic
13	C₂²×#124	—	2	1	no	—
14	C₂²×#121	—	2	1	no	—
15	C₂²×#121	C₄	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×D₄	—	2	1	no	—
17	C₂²×C₄×D₄	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#432	—	2	6	no	—
20	C₂×#432	C₂²	1	12	yes	complemented
21	C₂×#431	—	2	6	no	—
22	C₂×#431	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
24	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
26	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
27	C₂²×#97	—	2	1	no	—
28	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
29	#1496	C₂²	1	64	yes	direct product factor
30	C₂×D₄⋊C₈	C₂²	1	48	yes	complemented
31	C₂²×#41	—	2	12	no	—
32	C₂²×#41	—	2	12	no	—
33	C₂²×#41	—	4	16	no	—
34	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
35	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
37	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
38	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
39	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
40	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
42	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
45	#532	—	2	48	no	—
46	#532	—	2	24	no	—
47	#532	—	2	24	no	—
48	#532	C₂×C₄	1	48	yes	—
49	#532	C₂³	1	16	yes	—
50	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
52	C₂×#127	—	2	6	no	—
53	C₂×#127	C₂×C₄	1	12	yes	—
54	C₂×#124	—	2	12	no	—
55	C₂×#124	—	2	12	no	—
56	C₂×#121	—	2	12	no	—
57	C₂×#121	—	2	12	no	—
58	C₂×#121	—	2	12	no	—
59	C₂×#121	C₂×C₄	1	24	yes	—
60	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
61	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
62	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	6	no	—
64	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
65	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	12	yes	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
67	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
70	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
72	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	—
74	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	—
75	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
77	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#432	—	2	24	no	—
79	#432	C₂³	1	16	yes	complemented
80	#431	—	2	24	no	—
81	#431	C₂³	1	16	yes	complemented
82	C₂×C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
86	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
87	C₂×#97	—	2	12	no	—
88	C₂×C₄×C₈	—	2	6	no	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	—
90	D₄⋊C₈	C₂³	1	64	yes	complemented
91	C₂⁵	—	2	2	no	—
92	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×#41	—	2	48	no	—
94	C₂×#41	—	2	16	no	—
95	C₂×#41	—	4	96	no	—
96	C₂×#41	—	4	96	no	—
97	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
98	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
99	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
100	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
101	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	16	no	—
104	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
105	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
106	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
107	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
108	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
109	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
110	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
111	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
112	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
113	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
114	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
115	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
116	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
122	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
129	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
132	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
133	#127	—	2	24	no	—
134	#127	C₂²×C₄	1	16	yes	—
135	#124	—	2	48	no	—
136	#124	—	2	16	no	—
137	#121	—	2	48	no	—
138	#121	—	2	48	no	—
139	#121	—	2	16	no	—
140	#121	C₂²×C₄	1	32	yes	—
141	C₄×D₄	—	2	48	no	—
142	C₄×D₄	—	2	24	no	—
143	C₄×D₄	—	2	16	no	—
144	C₄×D₄	—	2	12	no	—
145	C₄×D₄	—	2	12	no	—
146	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	24	yes	—
147	C₄×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
148	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
149	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
151	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
153	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
154	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
165	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
169	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
170	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
171	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
172	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
173	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
174	#97	—	2	16	no	—
175	C₄×C₈	—	2	12	no	—
176	C₄×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
177	C₂⁴	—	2	4	no	—
178	C₂⁴	—	2	4	no	—
179	C₂⁴	—	2	4	no	—
180	C₂⁴	—	2	12	no	—
181	C₂⁴	—	4	8	no	—
182	C₂⁴	—	4	8	no	—
183	C₂⁴	—	4	8	no	—
184	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
185	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
186	#41	—	4	192	no	—
187	#41	—	4	64	no	—
188	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
189	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
190	C₂×D₄	—	2	32	no	—
191	C₂×D₄	—	2	12	no	—
192	C₂×D₄	—	2	16	no	—
193	C₂×D₄	—	2	16	no	—
194	C₂×D₄	—	2	48	no	—
195	C₂×D₄	—	4	48	no	—
196	C₂×D₄	—	4	48	no	—
197	C₂×D₄	—	4	96	no	—
198	C₂×D₄	—	4	24	no	—
199	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
200	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
201	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
202	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
203	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
206	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
207	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
208	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
209	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
210	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
211	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
212	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
213	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
214	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
215	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
216	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
225	C₂²×C₄	#131	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
228	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
229	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
230	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
231	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
233	C₂×C₈	—	2	8	no	—
234	C₂×C₈	—	2	8	no	—
235	C₂×C₈	—	4	24	no	—
236	C₂×C₈	—	4	24	no	—
237	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
238	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
239	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
240	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
241	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
242	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
243	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
244	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
245	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
246	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
247	C₄²	C₂³×C₄	1	3	yes	—
248	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
249	C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
250	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
251	C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
252	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
253	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
254	C₂³	—	2	12	no	—
255	C₂³	—	2	12	no	—
256	C₂³	—	2	12	no	—
257	C₂³	—	2	8	no	—
258	C₂³	—	4	16	no	—
259	C₂³	—	4	24	no	—
260	C₂³	—	4	24	no	—
261	C₂³	—	4	24	no	—
262	C₂³	—	8	32	no	—
263	C₂³	#408	1	4	yes	—
264	C₂³	#418	1	4	yes	—
265	C₂³	#421	1	4	yes	—
266	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
267	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
268	Q₈	—	4	32	no	—
269	D₄	—	2	16	no	—
270	D₄	—	4	32	no	—
271	D₄	—	4	32	no	—
272	D₄	—	4	64	no	—
273	D₄	—	4	24	no	—
274	C₂×C₄	—	2	12	no	—
275	C₂×C₄	—	2	12	no	—
276	C₂×C₄	—	2	6	no	—
277	C₂×C₄	—	2	6	no	—
278	C₂×C₄	—	2	12	no	—
279	C₂×C₄	—	2	24	no	—
280	C₂×C₄	—	2	24	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	8	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	4	12	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	—	4	24	no	—
287	C₂×C₄	—	4	48	no	—
288	C₂×C₄	—	4	16	no	—
289	C₂×C₄	#408	1	12	yes	—
290	C₂×C₄	#418	1	12	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
292	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
297	C₂×C₄	C₂×#131	1	12	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	12	yes	—
299	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
302	C₈	—	4	8	no	—
303	C₈	—	4	8	no	—
304	C₂²	—	2	4	no	—
305	C₂²	—	2	4	no	—
306	C₂²	—	2	4	no	—
307	C₂²	—	4	24	no	—
308	C₂²	—	4	8	no	—
309	C₂²	—	4	8	no	—
310	C₂²	—	4	8	no	—
311	C₂²	—	8	48	no	—
312	C₂²	#1496	1	16	yes	direct product factor
313	C₂²	C₂×#408	1	6	yes	—
314	C₂²	C₂×#418	1	6	yes	—
315	C₂²	C₂×#421	1	6	yes	—
316	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	2	4	no	—
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	2	3	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	4	8	no	—
323	C₄	C₂×#408	1	6	yes	—
324	C₄	C₂×#418	1	6	yes	—
325	C₄	C₂²×#131	1	2	yes	—
326	C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
327	C₂	—	4	4	no	—
328	C₂	—	8	8	no	—
329	C₂	C₂×#1496	1	12	yes	direct product factor
330	C₂	C₂²×#408	1	1	yes	characteristic
331	C₂	C₂²×#418	1	1	yes	characteristic
332	C₂	C₂²×#421	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
socle	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#432	C₂	semidirect
3. C₂²×#431	C₂	semidirect
4. C₂×#1496	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×D₄⋊C₈	C₂	semidirect
20. C₂×#432	C₂²	semidirect
22. C₂×#431	C₂²	semidirect
29. #1496	C₂²	direct (N × H)
30. C₂×D₄⋊C₈	C₂²	semidirect
79. #432	C₂³	semidirect
81. #431	C₂³	semidirect
90. D₄⋊C₈	C₂³	semidirect
312. C₂²	#1496	direct (N × H)
329. C₂	C₂×#1496	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#532	2
C₂²×#432	2
C₂²×#431	2
C₂×#1496	2
C₂²×D₄⋊C₈	2

Subgroups — C22×#1496 #6342967

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#1496 #6342967