Subgroups — #6343229

Order 512.

3056 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17509	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
5	#17486	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	C₂×#1493	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	C₂×#568	—	2	1	no	—
8	#3504	—	2	4	no	—
9	#3503	C₄	1	4	yes	—
10	#3503	C₄	1	4	yes	—
11	#3502	—	2	1	no	—
12	#3502	C₄	1	2	yes	—
13	#3501	—	2	3	no	—
14	#3501	C₄	1	6	yes	—
15	Q₈×#41	—	2	4	no	—
16	Q₈×#41	C₂²	1	8	yes	—
17	#3458	—	2	3	no	—
18	C₂×#533	C₂²	1	6	yes	—
19	#3428	—	2	1	no	—
20	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₈×#41	—	2	4	no	—
22	C₈×#41	C₂²	1	8	yes	—
23	C₂×C₈×Q₈	—	2	1	no	—
24	C₂×C₈×D₄	—	2	3	no	—
25	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
26	#2906	—	2	4	no	—
27	#2906	C₂²	1	8	yes	—
28	#2905	—	2	3	no	—
29	C₂×#423	C₂²	1	6	yes	—
30	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	3	yes	—
31	#1493	C₂²	1	4	yes	—
32	#1493	C₂²	1	12	yes	—
33	#1493	C₂²	1	24	yes	complemented
34	#1487	C₂²	1	24	yes	complemented
35	#1481	C₂²	1	24	yes	complemented
36	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	24	yes	complemented
37	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
38	#568	—	4	8	no	—
39	C₂×#131	—	2	8	no	—
40	C₂²×M₁₆	—	2	6	no	—
41	C₂³×C₈	—	2	3	no	—
42	Q₈²	—	2	4	no	—
43	Q₈²	C₂×C₄	1	8	yes	—
44	#557	—	2	4	no	—
45	#557	—	2	8	no	—
46	#557	—	2	8	no	—
47	#557	C₂×C₄	1	8	yes	—
48	#554	—	2	12	no	—
49	#554	—	2	24	no	—
50	#554	—	2	24	no	—
51	#554	C₂×C₄	1	24	yes	—
52	D₄×Q₈	—	2	12	no	—
53	D₄×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
54	#544	—	2	12	no	—
55	#544	—	2	12	no	—
56	#544	—	2	6	no	—
57	#544	—	2	6	no	—
58	#543	—	2	12	no	—
59	#533	—	2	24	no	—
60	#533	—	2	6	no	—
61	#533	—	2	6	no	—
62	#533	—	2	6	no	—
63	#533	—	2	6	no	—
64	#533	C₂×C₄	1	12	yes	—
65	#533	C₂×C₄	1	12	yes	—
66	#533	C₂³	1	4	yes	—
67	#533	C₂³	1	12	yes	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
70	C₂×#125	—	2	6	no	—
71	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
72	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
73	#520	—	2	4	no	—
74	#520	—	2	4	no	—
75	#519	—	2	2	no	—
76	#518	—	2	6	no	—
77	C₄×#41	—	2	8	no	—
78	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
79	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
80	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
81	C₄×#41	C₂³	1	4	yes	—
82	C₂×C₄×Q₈	—	2	6	no	—
83	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
86	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
87	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
88	C₂×#117	—	2	6	no	—
89	C₂×#117	D₄	1	3	yes	—
90	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
91	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
92	C₈×D₄	—	2	24	no	—
93	#431	—	2	6	no	—
94	#431	C₂³	1	12	yes	—
95	#424	—	2	24	no	—
96	#423	—	2	6	no	—
97	#423	—	2	6	no	—
98	#423	C₂³	1	4	yes	—
99	#423	C₂³	1	12	yes	—
100	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
101	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
102	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
103	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
104	C₂×C₄×C₈	—	2	3	no	—
105	C₂×C₄×C₈	—	2	6	no	—
106	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
108	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	12	yes	—
109	Q₈⋊C₈	C₂³	1	16	yes	—
110	Q₈⋊C₈	C₂³	1	48	yes	—
111	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
112	C₂×#41	SD₁₆	1	8	yes	—
113	C₂×#41	Q₁₆	1	8	yes	—
114	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
116	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
117	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
118	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
119	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
120	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
121	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
122	#131	—	4	32	no	—
123	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
124	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
125	C₂×M₁₆	—	4	24	no	—
126	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
127	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
128	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
129	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
130	C₂²×C₈	—	4	12	no	—
131	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
132	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
133	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
134	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
135	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
137	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
138	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
139	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
140	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
141	#125	—	2	24	no	—
142	#125	—	2	24	no	—
143	#125	—	2	12	no	—
144	#125	—	2	12	no	—
145	#125	—	2	4	no	—
146	#125	—	2	12	no	—
147	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
148	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
149	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
150	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
151	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
155	C₂²⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
156	C₂²⋊Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
157	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
158	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
159	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
160	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
161	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
162	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
165	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
166	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
167	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
168	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
169	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
170	C₄×Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
171	C₄×D₄	—	2	24	no	—
172	C₄×D₄	—	2	24	no	—
173	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
174	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
175	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
176	C₄×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
177	#117	—	2	12	no	—
178	#117	—	2	12	no	—
179	#117	—	2	4	no	—
180	#117	—	2	12	no	—
181	#117	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
182	#117	C₂×D₄	1	12	yes	—
183	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
184	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
185	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
186	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
187	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
188	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
190	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
191	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
192	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
193	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
194	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
195	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
196	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
197	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
198	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
199	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
202	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
204	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
205	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
206	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
207	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
208	C₄×C₈	—	2	1	no	—
209	C₄×C₈	—	2	3	no	—
210	C₄×C₈	—	2	12	no	—
211	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
212	C₄×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
213	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
214	#41	#103	1	32	yes	—
215	#41	C₂×SD₁₆	1	16	yes	—
216	#41	C₂×Q₁₆	1	16	yes	—
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
219	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
220	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
221	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
222	C₂×Q₈	#103	1	8	yes	—
223	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
224	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
225	C₂×D₄	#103	1	24	yes	—
226	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
227	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
235	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	12	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	12	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
240	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
245	M₁₆	—	4	8	no	—
246	M₁₆	—	4	24	no	—
247	C₂×C₈	—	2	4	no	—
248	C₂×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂×C₈	—	2	6	no	—
250	C₂×C₈	—	2	8	no	—
251	C₂×C₈	—	4	24	no	—
252	C₂×C₈	—	4	6	no	—
253	C₂×C₈	—	4	24	no	—
254	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
259	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
260	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
265	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
266	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
267	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
270	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
271	C₄²	—	2	24	no	—
272	C₄²	—	2	8	no	—
273	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
274	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
275	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
276	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
277	C₄²	C₂³×C₄	1	6	yes	—
278	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
279	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
280	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
281	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
282	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
283	C₂³	—	4	3	no	—
284	C₂³	—	4	3	no	—
285	C₂³	C₂×#103	1	12	yes	—
286	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
288	Q₈	—	2	16	no	—
289	Q₈	—	4	8	no	—
290	Q₈	—	8	12	no	—
291	Q₈	—	8	12	no	—
292	Q₈	C₂×#103	1	16	yes	—
293	D₄	C₂×#103	1	48	yes	—
294	C₂×C₄	—	2	2	no	—
295	C₂×C₄	—	2	12	no	—
296	C₂×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂×C₄	—	2	12	no	—
298	C₂×C₄	—	2	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	8	no	—
300	C₂×C₄	—	4	6	no	—
301	C₂×C₄	—	4	6	no	—
302	C₂×C₄	—	4	3	no	—
303	C₂×C₄	—	4	3	no	—
304	C₂×C₄	—	8	12	no	—
305	C₂×C₄	—	8	12	no	—
306	C₂×C₄	C₂×#103	1	12	yes	—
307	C₂×C₄	C₂×#103	1	24	yes	—
308	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
310	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
311	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
312	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
313	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	12	yes	—
315	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
317	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	12	yes	—
318	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₈	—	2	4	no	—
322	C₈	—	4	6	no	—
323	C₈	—	4	8	no	—
324	C₂²	—	2	1	no	—
325	C₂²	—	2	6	no	—
326	C₂²	—	2	1	no	—
327	C₂²	—	2	6	no	—
328	C₂²	—	4	12	no	—
329	C₂²	C₂²×#103	1	2	yes	—
330	C₂²	C₂²×#103	1	12	yes	—
331	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₄	—	2	1	no	—
333	C₄	—	2	6	no	—
334	C₄	—	2	1	no	—
335	C₄	—	2	6	no	—
336	C₄	—	4	8	no	—
337	C₄	—	4	8	no	—
338	C₄	C₂²×#103	1	2	yes	—
339	C₄	C₂²×#103	1	12	yes	—
340	C₄	#2901	1	2	yes	—
341	C₄	#3573	1	2	yes	—
342	C₄	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
343	C₄	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
344	C₂	—	2	2	no	—
345	C₂	—	2	12	no	—
346	C₂	#60065	1	1	yes	characteristic
347	C₂	C₂³×#103	1	1	yes	characteristic
348	C₂	C₂×#2901	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #17509	C₂	semidirect
5. #17486	C₂	semidirect
6. C₂×#1493	C₂	semidirect
33. #1493	C₂²	semidirect
34. #1487	C₂²	semidirect
35. #1481	C₂²	semidirect
36. C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62813	2
C₂×C₈×#41	2
#60099	2
#17509	2
#17486	2
C₂×#1493	2