Subgroups — C₂²×#1515 #6343327

Order 512.

3346 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 326 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#432	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#383	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#1515	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#328	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₂×#533	—	2	6	no	—
7	C₂×#533	—	2	6	no	—
8	C₂×#533	C₄	1	12	yes	complemented
9	C₂×#533	C₂²	1	12	yes	—
10	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂²×#125	—	2	1	no	—
13	C₂²×C₂²⋊Q₈	—	2	1	no	—
14	C₂²×C₂²⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂²×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
16	C₂²×C₄×Q₈	C₄	1	2	yes	complemented
17	C₂²×#117	—	2	1	no	—
18	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	C₂×#432	—	2	6	no	—
20	C₂×#432	C₂²	1	12	yes	—
21	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
22	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×#97	—	2	1	no	—
24	C₂×#383	—	2	6	no	—
25	C₂×#383	C₂²	1	12	yes	—
26	C₂²×#95	—	2	1	no	—
27	C₂²×#95	—	2	1	no	—
28	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
29	#1515	C₂²	1	64	yes	direct product factor
30	C₂×#328	C₂²	1	48	yes	—
31	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
32	C₂³×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
33	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
34	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
35	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
37	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
38	#533	—	2	48	no	—
39	#533	—	2	24	no	—
40	#533	—	2	24	no	—
41	#533	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
42	#533	C₂³	1	16	yes	—
43	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
44	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
45	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
46	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
47	C₂×#125	—	2	12	no	—
48	C₂×#125	—	2	12	no	—
49	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
50	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
51	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
52	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
53	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
54	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂³	1	12	yes	—
55	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
56	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
57	C₂×C₄×Q₈	—	2	12	no	—
58	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
59	C₂×#117	—	2	12	no	—
60	C₂×#117	—	2	12	no	—
61	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
62	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
63	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄²	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
72	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	—
73	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	—
76	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
77	#432	—	2	24	no	—
78	#432	C₂³	1	16	yes	—
79	C₂×C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
80	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
81	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
82	C₂×#97	—	2	12	no	—
83	#383	—	2	24	no	—
84	#383	C₂³	1	16	yes	—
85	C₂×#95	—	2	12	no	—
86	C₂×#95	—	2	12	no	—
87	C₂×#95	—	2	6	no	—
88	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
89	#328	C₂³	1	64	yes	—
90	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
92	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
93	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
94	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
95	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
96	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
97	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
100	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
101	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
102	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
103	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
104	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
105	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
106	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
113	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
114	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
116	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
117	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
118	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
119	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
120	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
121	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
122	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
123	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
124	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
125	#125	—	2	48	no	—
126	#125	—	2	16	no	—
127	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
128	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
129	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
130	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
131	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
132	C₂²⋊Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
133	C₂²⋊Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
134	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
135	C₄×Q₈	—	2	48	no	—
136	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
137	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
138	#117	—	2	48	no	—
139	#117	—	2	16	no	—
140	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
141	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
142	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
143	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
144	C₂×C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
145	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
146	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
147	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
148	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
149	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
150	C₂×C₄²	—	2	24	no	—
151	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
164	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
165	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
166	C₂²⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
167	#97	—	2	16	no	—
168	#95	—	2	16	no	—
169	#95	—	2	16	no	—
170	#95	—	2	12	no	—
171	#95	C₂⁴	1	8	yes	—
172	C₂⁴	—	2	4	no	—
173	C₂⁴	—	2	4	no	—
174	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
175	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
176	C₂⁴	#137	1	8	yes	—
177	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
178	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
179	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
180	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
181	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
182	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
183	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
184	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
185	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
186	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
187	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
188	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
189	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
190	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
191	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
192	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
193	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
194	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
197	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
198	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
199	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
200	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
201	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
202	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
203	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
204	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
205	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
206	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
222	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
223	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
224	C₂×C₈	—	2	8	no	—
225	C₂×C₈	—	4	24	no	—
226	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
227	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
228	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
229	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
230	C₄⋊C₄	—	2	32	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
232	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
233	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
234	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
235	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
236	C₄²	—	2	32	no	—
237	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
238	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
239	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
240	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
241	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
242	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
243	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
244	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
245	C₂³	—	2	6	no	—
246	C₂³	—	2	6	no	—
247	C₂³	—	2	6	no	—
248	C₂³	—	2	6	no	—
249	C₂³	—	2	32	no	—
250	C₂³	#410	1	4	yes	—
251	C₂³	#419	1	12	yes	—
252	C₂³	#419	1	4	yes	—
253	C₂³	#421	1	4	yes	—
254	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
255	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
256	C₂³	C₂×#137	1	12	yes	—
257	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
258	Q₈	—	4	8	no	—
259	Q₈	—	4	24	no	—
260	Q₈	—	4	32	no	—
261	C₂×C₄	—	2	6	no	—
262	C₂×C₄	—	2	6	no	—
263	C₂×C₄	—	2	6	no	—
264	C₂×C₄	—	2	6	no	—
265	C₂×C₄	—	2	24	no	—
266	C₂×C₄	—	2	12	no	—
267	C₂×C₄	—	2	12	no	—
268	C₂×C₄	—	2	12	no	—
269	C₂×C₄	—	2	12	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	8	no	—
272	C₂×C₄	—	2	8	no	—
273	C₂×C₄	—	4	6	no	—
274	C₂×C₄	—	4	12	no	—
275	C₂×C₄	—	4	3	no	—
276	C₂×C₄	—	4	3	no	—
277	C₂×C₄	—	4	3	no	—
278	C₂×C₄	—	4	4	no	—
279	C₂×C₄	—	4	1	no	—
280	C₂×C₄	—	4	24	no	—
281	C₂×C₄	—	4	24	no	—
282	C₂×C₄	—	4	8	no	—
283	C₂×C₄	—	4	8	no	—
284	C₂×C₄	—	4	8	no	—
285	C₂×C₄	—	8	48	no	—
286	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
289	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
294	C₈	—	4	8	no	—
295	C₂²	—	2	24	no	—
296	C₂²	—	2	24	no	—
297	C₂²	—	2	1	no	—
298	C₂²	—	2	3	no	—
299	C₂²	—	2	1	no	—
300	C₂²	—	2	3	no	—
301	C₂²	#1515	1	16	yes	direct product factor
302	C₂²	C₂×#410	1	6	yes	—
303	C₂²	C₂×#419	1	6	yes	—
304	C₂²	C₂×#419	1	6	yes	—
305	C₂²	C₂×#421	1	6	yes	—
306	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
307	C₂²	C₂²×#137	1	2	yes	—
308	C₄	—	2	1	no	—
309	C₄	—	2	3	no	—
310	C₄	—	2	3	no	—
311	C₄	—	2	1	no	—
312	C₄	—	2	4	no	—
313	C₄	—	2	4	no	—
314	C₄	—	2	4	no	—
315	C₄	—	2	4	no	—
316	C₄	—	4	8	no	—
317	C₄	—	4	8	no	—
318	C₄	—	8	8	no	—
319	C₂	—	2	2	no	—
320	C₂	—	2	6	no	—
321	C₂	C₂×#1515	1	12	yes	direct product factor
322	C₂	C₂²×#410	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂²×#419	1	1	yes	characteristic
324	C₂	C₂²×#421	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂⁵	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#1515	C₂	direct (N × H)
8. C₂×#533	C₄	semidirect
10. C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
11. C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
16. C₂²×C₄×Q₈	C₄	semidirect
29. #1515	C₂²	direct (N × H)
41. #533	C₂×C₄	semidirect
45. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
46. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
58. C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	semidirect
123. C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	semidirect
124. C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	semidirect
137. C₄×Q₈	C₂²×C₄	semidirect
301. C₂²	#1515	direct (N × H)
321. C₂	C₂×#1515	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#533	2
C₂²×#432	2
C₂²×#383	2
C₂×#1515	2
C₂²×#328	2

Subgroups — C22×#1515 #6343327

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#1515 #6343327