Subgroups — C₂²×#1517 #6343340

Order 512.

4722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂²×#382	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1517	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#327	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₂³×#41	—	2	1	no	—
7	C₂×#532	—	2	6	no	—
8	C₂×#532	—	2	6	no	—
9	C₂×#532	C₄	1	12	yes	complemented
10	C₂×#532	C₂²	1	12	yes	—
11	C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
12	C₂²×#127	C₄	1	1	yes	characteristic, complemented
13	C₂²×#124	—	2	1	no	—
14	C₂²×#121	—	2	1	no	—
15	C₂²×#121	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂²×C₄×D₄	—	2	1	no	—
17	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	complemented
18	C₂³×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
19	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#431	—	2	6	no	—
21	C₂×#431	C₂²	1	12	yes	complemented
22	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₂²⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
25	C₂×#382	—	2	6	no	—
26	C₂×#382	C₂²	1	12	yes	complemented
27	C₂²×#95	—	2	1	no	—
28	C₂²×#95	C₂²	1	2	yes	—
29	#1517	C₂²	1	64	yes	direct product factor
30	C₂×#327	C₂²	1	48	yes	complemented
31	C₂²×#41	—	2	12	no	—
32	C₂²×#41	—	2	12	no	—
33	C₂²×#41	—	4	8	no	—
34	C₂²×#41	—	4	8	no	—
35	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
36	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
37	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
39	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
40	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
41	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
42	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂⁴×C₄	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
46	#532	—	2	48	no	—
47	#532	—	2	24	no	—
48	#532	—	2	24	no	—
49	#532	C₂×C₄	1	48	yes	complemented
50	#532	C₂³	1	16	yes	—
51	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
52	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
53	C₂×#127	—	2	6	no	—
54	C₂×#127	C₂×C₄	1	12	yes	complemented
55	C₂×#124	—	2	12	no	—
56	C₂×#124	—	2	12	no	—
57	C₂×#121	—	2	12	no	—
58	C₂×#121	—	2	12	no	—
59	C₂×#121	—	2	6	no	—
60	C₂×#121	—	2	6	no	—
61	C₂×#121	C₂×C₄	1	12	yes	—
62	C₂×#121	C₂³	1	12	yes	—
63	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
64	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
65	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
66	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	complemented
67	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
68	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
69	C₂²×C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
70	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
76	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	—
77	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	—
80	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
81	#431	—	2	24	no	—
82	#431	C₂³	1	16	yes	complemented
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
84	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	6	no	—
85	C₂×C₂²⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	—	2	12	no	—
87	#382	—	2	24	no	—
88	#382	C₂³	1	16	yes	complemented
89	C₂×#95	—	2	12	no	—
90	C₂×#95	—	2	6	no	—
91	C₂×#95	C₂³	1	12	yes	—
92	#327	C₂³	1	64	yes	complemented
93	C₂⁵	—	2	2	no	—
94	C₂⁵	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₂×#41	—	2	48	no	—
96	C₂×#41	—	2	16	no	—
97	C₂×#41	—	4	96	no	—
98	C₂×#41	—	4	48	no	—
99	C₂×#41	—	4	48	no	—
100	C₂²×Q₈	—	2	12	no	—
101	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
102	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
103	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
104	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
105	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
106	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
107	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
108	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
109	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
110	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
111	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
112	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
113	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
114	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
115	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
116	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
117	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
118	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
119	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
120	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
121	C₂³×C₄	—	4	8	no	—
122	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	D₈	1	8	yes	—
129	C₂³×C₄	SD₁₆	1	8	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
132	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
135	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
138	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
139	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
141	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
142	#127	—	2	24	no	—
143	#127	C₂²×C₄	1	16	yes	complemented
144	#124	—	2	48	no	—
145	#124	—	2	16	no	—
146	#121	—	2	48	no	—
147	#121	—	2	24	no	—
148	#121	—	2	16	no	—
149	#121	—	2	12	no	—
150	#121	—	2	12	no	—
151	#121	C₂²×C₄	1	24	yes	—
152	#121	C₂⁴	1	8	yes	—
153	C₄×D₄	—	2	48	no	—
154	C₄×D₄	—	2	48	no	—
155	C₄×D₄	—	2	16	no	—
156	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	complemented
157	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
158	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
159	C₂×C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
160	C₂×C₄⋊C₄	—	4	48	no	—
161	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
162	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
163	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
164	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
165	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
166	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
167	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
168	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
169	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
170	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
171	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
172	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
178	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
179	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
180	C₂²⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
181	C₄×C₈	—	2	16	no	—
182	#95	—	2	16	no	—
183	#95	—	2	12	no	—
184	#95	C₂⁴	1	8	yes	—
185	C₂⁴	—	2	4	no	—
186	C₂⁴	—	2	4	no	—
187	C₂⁴	—	2	12	no	—
188	C₂⁴	—	4	8	no	—
189	C₂⁴	—	4	8	no	—
190	C₂⁴	—	4	8	no	—
191	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
192	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
193	C₂⁴	C₂×D₈	1	4	yes	—
194	C₂⁴	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
195	C₂⁴	C₂²×D₄	1	3	yes	—
196	#41	—	4	32	no	—
197	#41	—	4	32	no	—
198	#41	—	4	192	no	—
199	C₂×Q₈	—	2	16	no	—
200	C₂×Q₈	—	4	48	no	—
201	C₂×D₄	—	2	24	no	—
202	C₂×D₄	—	2	8	no	—
203	C₂×D₄	—	2	12	no	—
204	C₂×D₄	—	2	16	no	—
205	C₂×D₄	—	2	16	no	—
206	C₂×D₄	—	4	24	no	—
207	C₂×D₄	—	4	24	no	—
208	C₂×D₄	—	4	48	no	—
209	C₂×D₄	—	4	24	no	—
210	C₂×D₄	—	4	24	no	—
211	C₂×D₄	—	4	48	no	—
212	C₂×D₄	—	4	48	no	—
213	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
214	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
221	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
222	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
223	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
224	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
225	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
226	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
227	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
228	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
229	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
230	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
231	C₂²×C₄	—	4	24	no	—
232	C₂²×C₄	—	8	32	no	—
233	C₂²×C₄	#102	1	8	yes	—
234	C₂²×C₄	#102	1	8	yes	—
235	C₂²×C₄	#102	1	48	yes	—
236	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	24	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	24	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
252	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₈	—	2	8	no	—
256	C₂×C₈	—	4	24	no	—
257	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
258	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	32	no	—
260	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
261	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
264	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
265	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
266	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
267	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
268	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
269	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
270	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
271	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
272	C₂³	—	2	6	no	—
273	C₂³	—	2	6	no	—
274	C₂³	—	2	6	no	—
275	C₂³	—	2	6	no	—
276	C₂³	—	2	16	no	—
277	C₂³	—	2	16	no	—
278	C₂³	—	2	8	no	—
279	C₂³	—	4	24	no	—
280	C₂³	—	4	24	no	—
281	C₂³	—	4	24	no	—
282	C₂³	—	8	32	no	—
283	C₂³	#410	1	4	yes	—
284	C₂³	C₂×#102	1	12	yes	—
285	C₂³	C₂×#102	1	4	yes	—
286	C₂³	#421	1	4	yes	—
287	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
288	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
289	C₂³	C₂²×D₈	1	6	yes	—
290	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
291	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
292	Q₈	—	4	32	no	—
293	D₄	—	4	8	no	—
294	D₄	—	4	24	no	—
295	D₄	—	4	32	no	—
296	D₄	—	4	48	no	—
297	D₄	—	4	8	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	32	no	—
300	C₂×C₄	—	2	6	no	—
301	C₂×C₄	—	2	6	no	—
302	C₂×C₄	—	2	6	no	—
303	C₂×C₄	—	2	6	no	—
304	C₂×C₄	—	2	12	no	—
305	C₂×C₄	—	2	12	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	4	6	no	—
308	C₂×C₄	—	4	12	no	—
309	C₂×C₄	—	4	3	no	—
310	C₂×C₄	—	4	3	no	—
311	C₂×C₄	—	4	3	no	—
312	C₂×C₄	—	4	4	no	—
313	C₂×C₄	—	4	1	no	—
314	C₂×C₄	—	4	24	no	—
315	C₂×C₄	—	4	64	no	—
316	C₂×C₄	—	4	8	no	—
317	C₂×C₄	—	4	8	no	—
318	C₂×C₄	—	4	8	no	—
319	C₂×C₄	—	8	48	no	—
320	C₂×C₄	C₂×#102	1	24	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×#102	1	24	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×#102	1	48	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	—
331	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
332	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
333	C₈	—	4	8	no	—
334	C₂²	—	2	12	no	—
335	C₂²	—	2	12	no	—
336	C₂²	—	2	24	no	—
337	C₂²	—	2	1	no	—
338	C₂²	—	2	3	no	—
339	C₂²	—	2	1	no	—
340	C₂²	—	2	3	no	—
341	C₂²	—	4	8	no	—
342	C₂²	—	4	8	no	—
343	C₂²	—	4	8	no	—
344	C₂²	—	8	48	no	—
345	C₂²	#1517	1	16	yes	direct product factor
346	C₂²	C₂×#410	1	6	yes	—
347	C₂²	C₂²×#102	1	6	yes	—
348	C₂²	C₂²×#102	1	6	yes	—
349	C₂²	C₂×#421	1	6	yes	—
350	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂²	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
353	C₄	—	2	1	no	—
354	C₄	—	2	3	no	—
355	C₄	—	2	3	no	—
356	C₄	—	2	1	no	—
357	C₄	—	2	4	no	—
358	C₄	—	2	4	no	—
359	C₄	—	4	8	no	—
360	C₄	—	8	8	no	—
361	C₄	C₂²×#102	1	8	yes	—
362	C₄	C₂²×#102	1	8	yes	—
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	2	6	no	—
365	C₂	—	2	1	no	—
366	C₂	—	8	8	no	—
367	C₂	C₂×#1517	1	12	yes	direct product factor
368	C₂	C₂²×#410	1	1	yes	characteristic
369	C₂	C₂³×#102	1	1	yes	characteristic
370	C₂	C₂²×#421	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	C₂²×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#431	C₂	semidirect
3. C₂²×#382	C₂	semidirect
4. C₂×#1517	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#327	C₂	semidirect
9. C₂×#532	C₄	semidirect
11. C₂²×C₄⋊Q₈	C₄	semidirect
12. C₂²×#127	C₄	semidirect
17. C₂²×C₄×D₄	C₄	semidirect
21. C₂×#431	C₂²	semidirect
26. C₂×#382	C₂²	semidirect
29. #1517	C₂²	direct (N × H)
30. C₂×#327	C₂²	semidirect
49. #532	C₂×C₄	semidirect
52. C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	semidirect
54. C₂×#127	C₂×C₄	semidirect
66. C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	semidirect
82. #431	C₂³	semidirect
88. #382	C₂³	semidirect
92. #327	C₂³	semidirect
141. C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	semidirect
143. #127	C₂²×C₄	semidirect
156. C₄×D₄	C₂²×C₄	semidirect
345. C₂²	#1517	direct (N × H)
367. C₂	C₂×#1517	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#532	2
C₂²×#431	2
C₂²×#382	2
C₂×#1517	2
C₂²×#327	2

Subgroups — C22×#1517 #6343340

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#1517 #6343340