Subgroups — C₂²×#1540 #6343961

Order 512.

4618 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#532	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#431	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂³×C₄⋊C₈	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1540	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#332	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₂²×#331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂³×#41	—	2	1	no	—
8	C₂⁴×C₈	—	2	1	no	—
9	C₂×#532	—	2	6	no	—
10	C₂×#532	—	2	6	no	—
11	C₂×#532	C₄	1	12	yes	—
12	C₂×#532	C₂²	1	12	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#124	—	2	1	no	—
16	C₂²×#121	—	2	1	no	—
17	C₂²×#121	C₄	1	2	yes	—
18	C₂²×C₄×D₄	—	2	1	no	—
19	C₂²×C₄×D₄	C₄	1	2	yes	—
20	C₂³×C₄²	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#431	—	2	6	no	—
22	C₂×#431	C₂²	1	12	yes	complemented
23	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
24	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
25	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	12	yes	complemented
28	C₂²×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
29	C₂²×C₄×C₈	—	2	1	no	—
30	#1540	C₂²	1	64	yes	direct product factor
31	C₂×#332	C₂²	1	24	yes	complemented
32	C₂×#331	C₂²	1	24	yes	complemented
33	C₂²×#41	—	2	12	no	—
34	C₂²×#41	—	2	12	no	—
35	C₂²×#41	—	4	8	no	—
36	C₂²×#41	—	4	8	no	—
37	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
38	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
39	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
40	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
41	C₂³×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
42	C₂⁴×C₄	—	2	2	no	—
43	C₂⁴×C₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
45	C₂⁴×C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
47	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
48	C₂³×C₈	—	2	12	no	—
49	C₂³×C₈	—	4	8	no	—
50	#532	—	2	48	no	—
51	#532	—	2	24	no	—
52	#532	—	2	24	no	—
53	#532	C₂×C₄	1	48	yes	—
54	#532	C₂³	1	16	yes	—
55	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
56	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
57	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
58	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
59	C₂×#127	—	2	3	no	—
60	C₂×#127	—	2	3	no	—
61	C₂×#127	C₂×C₄	1	6	yes	—
62	C₂×#127	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂×#124	—	2	12	no	—
64	C₂×#124	—	2	12	no	—
65	C₂×#121	—	2	12	no	—
66	C₂×#121	—	2	12	no	—
67	C₂×#121	—	2	12	no	—
68	C₂×#121	C₂×C₄	1	24	yes	—
69	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
70	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
71	C₂×C₄×D₄	—	2	12	no	—
72	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	24	yes	—
73	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
74	C₂²×C₄⋊C₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	6	yes	—
78	C₂²×C₄²	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	—
81	C₂²×C₄²	D₄	1	6	yes	—
82	C₂²×C₄²	D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄²	C₂³	1	6	yes	—
85	#431	—	2	24	no	—
86	#431	C₂³	1	16	yes	complemented
87	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
88	C₂×C₄⋊C₈	—	2	24	no	—
89	C₂×C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
90	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
91	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
92	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
93	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	16	yes	complemented
94	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
95	C₂×C₄×C₈	—	2	12	no	—
96	#332	C₂³	1	32	yes	complemented
97	#331	C₂³	1	32	yes	complemented
98	C₂⁵	—	2	2	no	—
99	C₂⁵	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂×#41	—	2	48	no	—
101	C₂×#41	—	2	16	no	—
102	C₂×#41	—	4	96	no	—
103	C₂×#41	—	4	48	no	—
104	C₂×#41	—	4	48	no	—
105	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
106	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
107	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
108	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
109	C₂²×D₄	—	2	24	no	—
110	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
111	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
112	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
113	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
114	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
115	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
116	C₂²×D₄	—	4	16	no	—
117	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
118	C₂²×D₄	—	4	4	no	—
119	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
120	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
121	C₂³×C₄	—	2	8	no	—
122	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
123	C₂³×C₄	—	2	24	no	—
124	C₂³×C₄	—	4	4	no	—
125	C₂³×C₄	—	4	16	no	—
126	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
129	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
130	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
131	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂³×C₄	D₈	1	8	yes	—
133	C₂³×C₄	SD₁₆	1	8	yes	—
134	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
136	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
137	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
139	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
141	C₂²×C₈	—	2	16	no	—
142	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
143	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
144	C₂²×C₈	—	4	48	no	—
145	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
146	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
147	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
148	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
149	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
150	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
151	#127	—	2	12	no	—
152	#127	—	2	6	no	—
153	#127	—	2	6	no	—
154	#127	C₂²×C₄	1	12	yes	—
155	#127	C₂⁴	1	4	yes	—
156	#124	—	2	48	no	—
157	#124	—	2	16	no	—
158	#121	—	2	48	no	—
159	#121	—	2	48	no	—
160	#121	—	2	16	no	—
161	#121	C₂²×C₄	1	32	yes	—
162	C₄×D₄	—	2	48	no	—
163	C₄×D₄	—	2	48	no	—
164	C₄×D₄	—	2	16	no	—
165	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	32	yes	—
166	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
167	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
168	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
169	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
170	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
171	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
172	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
173	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
174	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
175	C₂×C₄²	C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
176	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
177	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
178	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	12	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
181	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
182	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
183	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
184	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	12	yes	—
185	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
186	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
187	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
188	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
189	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
190	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
191	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
192	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
193	C₄×C₈	—	2	16	no	—
194	C₂⁴	—	2	4	no	—
195	C₂⁴	—	2	4	no	—
196	C₂⁴	—	2	12	no	—
197	C₂⁴	—	4	8	no	—
198	C₂⁴	—	4	8	no	—
199	C₂⁴	—	4	8	no	—
200	C₂⁴	#102	1	8	yes	—
201	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
202	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	#41	—	4	32	no	—
204	#41	—	4	32	no	—
205	#41	—	4	192	no	—
206	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
207	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
209	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
210	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
211	C₂×D₄	—	2	32	no	—
212	C₂×D₄	—	2	12	no	—
213	C₂×D₄	—	2	12	no	—
214	C₂×D₄	—	2	12	no	—
215	C₂×D₄	—	2	4	no	—
216	C₂×D₄	—	2	4	no	—
217	C₂×D₄	—	4	24	no	—
218	C₂×D₄	—	4	24	no	—
219	C₂×D₄	—	4	96	no	—
220	C₂×D₄	—	4	12	no	—
221	C₂×D₄	—	4	12	no	—
222	C₂×D₄	—	4	24	no	—
223	C₂×D₄	—	4	24	no	—
224	C₂×D₄	—	4	24	no	—
225	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
230	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
231	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
232	C₂²×C₄	—	2	32	no	—
233	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
234	C₂²×C₄	—	4	12	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	96	no	—
237	C₂²×C₄	#102	1	8	yes	—
238	C₂²×C₄	#102	1	48	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	4	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×D₈	1	24	yes	—
250	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
251	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	24	yes	—
252	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
253	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
254	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
255	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
257	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
259	C₂×C₈	—	2	8	no	—
260	C₂×C₈	—	2	8	no	—
261	C₂×C₈	—	4	24	no	—
262	C₂×C₈	—	4	32	no	—
263	C₂×C₈	—	4	24	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
267	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
268	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
269	C₂²⋊C₄	—	2	32	no	—
270	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
271	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
272	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
273	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
274	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
275	C₄²	C₂³×C₄	1	3	yes	—
276	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
277	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
278	C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
279	C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
280	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
281	C₂³	—	2	32	no	—
282	C₂³	—	2	12	no	—
283	C₂³	—	2	12	no	—
284	C₂³	—	2	8	no	—
285	C₂³	—	4	24	no	—
286	C₂³	—	4	24	no	—
287	C₂³	—	4	24	no	—
288	C₂³	—	8	32	no	—
289	C₂³	#413	1	4	yes	—
290	C₂³	C₂×#102	1	24	yes	—
291	C₂³	C₂×#102	1	4	yes	—
292	C₂³	#416	1	4	yes	—
293	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
294	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
295	Q₈	—	4	24	no	—
296	Q₈	—	4	4	no	—
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	D₄	—	4	8	no	—
299	D₄	—	4	24	no	—
300	D₄	—	4	64	no	—
301	D₄	—	4	24	no	—
302	D₄	—	4	24	no	—
303	D₄	—	4	4	no	—
304	D₄	—	4	4	no	—
305	D₄	—	4	8	no	—
306	C₂×C₄	—	2	12	no	—
307	C₂×C₄	—	2	6	no	—
308	C₂×C₄	—	2	6	no	—
309	C₂×C₄	—	2	12	no	—
310	C₂×C₄	—	2	24	no	—
311	C₂×C₄	—	2	8	no	—
312	C₂×C₄	—	2	8	no	—
313	C₂×C₄	—	4	12	no	—
314	C₂×C₄	—	4	4	no	—
315	C₂×C₄	—	4	24	no	—
316	C₂×C₄	—	4	64	no	—
317	C₂×C₄	C₂×#102	1	24	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#102	1	12	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×#102	1	48	yes	—
320	C₂×C₄	#416	1	12	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	6	yes	—
328	C₂×C₄	C₂²×D₈	1	8	yes	—
329	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
330	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#135	1	12	yes	—
332	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
335	C₈	—	4	8	no	—
336	C₈	—	4	8	no	—
337	C₂²	—	2	48	no	—
338	C₂²	—	2	4	no	—
339	C₂²	—	2	4	no	—
340	C₂²	—	4	8	no	—
341	C₂²	—	4	8	no	—
342	C₂²	—	4	8	no	—
343	C₂²	—	8	48	no	—
344	C₂²	#1540	1	16	yes	direct product factor
345	C₂²	C₂×#413	1	6	yes	—
346	C₂²	C₂²×#102	1	8	yes	—
347	C₂²	C₂²×#102	1	6	yes	—
348	C₂²	C₂×#416	1	6	yes	—
349	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	2	3	no	—
352	C₄	—	2	1	no	—
353	C₄	—	2	4	no	—
354	C₄	—	4	8	no	—
355	C₄	C₂²×#102	1	8	yes	—
356	C₄	C₂²×#102	1	6	yes	—
357	C₄	C₂×#416	1	6	yes	—
358	C₄	C₂³×D₈	1	1	yes	characteristic
359	C₄	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
360	C₄	C₂²×#135	1	2	yes	—
361	C₂	—	2	8	no	—
362	C₂	—	8	8	no	—
363	C₂	C₂×#1540	1	12	yes	direct product factor
364	C₂	C₂²×#413	1	1	yes	characteristic
365	C₂	C₂³×#102	1	1	yes	characteristic
366	C₂	C₂²×#416	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³×C₄	C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
socle	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄
prime radical	C₂²×#532	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂³×C₄ ◁ C₂³×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#431	C₂	semidirect
3. C₂³×C₄⋊C₈	C₂	semidirect
4. C₂×#1540	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#332	C₂	semidirect
6. C₂²×#331	C₂	semidirect
22. C₂×#431	C₂²	semidirect
27. C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	semidirect
30. #1540	C₂²	direct (N × H)
31. C₂×#332	C₂²	semidirect
32. C₂×#331	C₂²	semidirect
86. #431	C₂³	semidirect
93. C₂×C₄⋊C₈	C₂³	semidirect
96. #332	C₂³	semidirect
97. #331	C₂³	semidirect
344. C₂²	#1540	direct (N × H)
363. C₂	C₂×#1540	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#532	2
C₂²×#431	2
C₂³×C₄⋊C₈	2
C₂×#1540	2
C₂²×#332	2
C₂²×#331	2

Subgroups — C22×#1540 #6343961

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#1540 #6343961