Subgroups — #6344007

Order 512.

3003 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 361 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2988	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#60099	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#17723	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
5	#17722	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#17708	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1550	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	C₂×#568	—	2	1	no	—
9	#3504	—	2	4	no	—
10	#3503	C₂²	1	4	yes	—
11	#3503	C₂²	1	4	yes	—
12	#3502	—	2	1	no	—
13	#3502	C₄	1	2	yes	—
14	#3501	—	2	3	no	—
15	#3501	C₄	1	6	yes	—
16	Q₈×#41	—	2	4	no	—
17	Q₈×#41	C₄	1	8	yes	—
18	#3458	—	2	3	no	—
19	C₂×#533	C₂²	1	6	yes	—
20	#3428	—	2	1	no	—
21	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#2988	—	2	4	no	—
23	#2988	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×C₈×Q₈	—	2	1	no	—
25	C₂×C₈×D₄	—	2	3	no	—
26	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
27	#2906	—	2	4	no	—
28	#2906	C₂²	1	8	yes	—
29	#2905	—	2	3	no	—
30	C₂×#423	C₂²	1	6	yes	—
31	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	3	yes	—
32	#1550	C₂²	1	12	yes	—
33	#1550	C₂²	1	4	yes	—
34	#1550	C₂²	1	24	yes	complemented
35	#1549	C₂²	1	12	yes	complemented
36	#1548	C₂²	1	12	yes	complemented
37	#1542	C₂²	1	24	yes	complemented
38	C₂×#333	C₂²	1	12	yes	complemented
39	C₂×#332	C₂²	1	12	yes	complemented
40	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
41	#568	—	4	8	no	—
42	C₂×#131	—	2	8	no	—
43	C₂²×M₁₆	—	2	6	no	—
44	C₂³×C₈	—	2	3	no	—
45	Q₈²	—	2	4	no	—
46	Q₈²	C₂×C₄	1	8	yes	—
47	#557	—	2	8	no	—
48	#557	—	2	8	no	—
49	#557	—	2	4	no	—
50	#557	C₂×C₄	1	8	yes	—
51	#554	—	2	24	no	—
52	#554	—	2	24	no	—
53	#554	—	2	12	no	—
54	#554	C₂×C₄	1	24	yes	—
55	D₄×Q₈	—	2	12	no	—
56	D₄×Q₈	C₂×C₄	1	24	yes	—
57	#544	—	2	12	no	—
58	#544	—	2	12	no	—
59	#544	—	2	6	no	—
60	#544	—	2	6	no	—
61	#543	—	2	12	no	—
62	#533	—	2	24	no	—
63	#533	—	2	6	no	—
64	#533	—	2	6	no	—
65	#533	—	2	6	no	—
66	#533	—	2	6	no	—
67	#533	C₂×C₄	1	12	yes	—
68	#533	C₂×C₄	1	12	yes	—
69	#533	C₂³	1	12	yes	—
70	#533	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	6	yes	—
73	C₂×#125	—	2	6	no	—
74	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
75	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
76	#520	—	2	4	no	—
77	#520	—	2	4	no	—
78	#519	—	2	2	no	—
79	#518	—	2	6	no	—
80	C₄×#41	—	2	8	no	—
81	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
82	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
83	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
84	C₄×#41	C₂³	1	4	yes	—
85	C₂×C₄×Q₈	—	2	6	no	—
86	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	12	yes	—
87	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
90	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
91	C₂×#117	—	2	6	no	—
92	C₂×#117	D₄	1	3	yes	—
93	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
94	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
95	C₈×D₄	—	2	24	no	—
96	#431	—	2	6	no	—
97	#431	C₂³	1	12	yes	—
98	#424	—	2	24	no	—
99	#423	—	2	6	no	—
100	#423	—	2	6	no	—
101	#423	C₂³	1	12	yes	—
102	#423	C₂³	1	4	yes	—
103	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
104	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
105	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
106	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
107	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
108	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	3	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
111	C₂×C₄×C₈	—	2	3	no	—
112	#333	C₂³	1	24	yes	—
113	#333	C₂³	1	8	yes	—
114	#332	C₂³	1	24	yes	—
115	#332	C₂³	1	8	yes	—
116	C₂×#41	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
117	C₂×#41	SD₁₆	1	8	yes	—
118	C₂×#41	Q₁₆	1	8	yes	—
119	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
121	C₂²×Q₈	C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
123	C₂²×D₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
124	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
125	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
126	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
127	#131	—	4	32	no	—
128	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
129	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
130	C₂×M₁₆	—	4	24	no	—
131	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
132	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
133	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
134	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
135	C₂²×C₈	—	8	6	no	—
136	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
137	C₄⋊Q₈	—	2	24	no	—
138	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
139	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
140	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
141	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
142	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
143	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
144	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
145	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
146	#125	—	2	24	no	—
147	#125	—	2	24	no	—
148	#125	—	2	12	no	—
149	#125	—	2	12	no	—
150	#125	—	2	4	no	—
151	#125	—	2	12	no	—
152	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
153	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
154	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
155	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
156	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
157	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
158	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
159	C₂²⋊Q₈	—	2	48	no	—
160	C₂²⋊Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
161	C₂²⋊Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
162	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
163	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
164	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
165	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
166	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
167	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
168	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
170	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
171	C₄×Q₈	C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
172	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
173	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	24	yes	—
174	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
176	C₄×D₄	—	2	24	no	—
177	C₄×D₄	—	2	24	no	—
178	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
179	C₄×D₄	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
180	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
181	C₄×D₄	C₂×D₄	1	12	yes	—
182	#117	—	2	12	no	—
183	#117	—	2	12	no	—
184	#117	—	2	4	no	—
185	#117	—	2	12	no	—
186	#117	C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
187	#117	C₂×D₄	1	12	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
195	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	12	yes	—
196	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
198	C₂×C₄²	—	2	12	no	—
199	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
200	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	6	yes	—
201	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
203	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
205	C₂×C₄²	C₂⁴	1	6	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
207	C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
208	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
209	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
210	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
212	C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
213	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
214	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
215	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
216	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
217	C₄×C₈	—	2	12	no	—
218	C₂⁴	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
219	#41	#103	1	32	yes	—
220	#41	C₂×SD₁₆	1	16	yes	—
221	#41	C₂×Q₁₆	1	16	yes	—
222	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
224	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
225	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
226	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
227	C₂×Q₈	—	8	12	no	—
228	C₂×Q₈	#103	1	8	yes	—
229	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊C₄	1	4	yes	—
230	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
231	C₂×D₄	#103	1	24	yes	—
232	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
233	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
234	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
235	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
236	C₂²×C₄	—	4	3	no	—
237	C₂²×C₄	—	8	3	no	—
238	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
239	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	3	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	12	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×Q₁₆	1	12	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	6	yes	—
252	M₁₆	—	4	8	no	—
253	M₁₆	—	4	24	no	—
254	C₂×C₈	—	2	2	no	—
255	C₂×C₈	—	2	6	no	—
256	C₂×C₈	—	2	8	no	—
257	C₂×C₈	—	4	2	no	—
258	C₂×C₈	—	4	6	no	—
259	C₂×C₈	—	4	24	no	—
260	C₂×C₈	—	8	12	no	—
261	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
262	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
263	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
264	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
265	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
266	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
267	C₄⋊C₄	—	2	24	no	—
268	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
273	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	12	yes	—
274	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
275	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
277	C₂²⋊C₄	C₂×C₂²⋊C₄	1	24	yes	—
278	C₄²	—	2	8	no	—
279	C₄²	—	2	24	no	—
280	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
281	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
282	C₄²	C₂×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
283	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
284	C₄²	C₂³×C₄	1	6	yes	—
285	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
286	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
288	C₄²	C₂²×D₄	1	6	yes	—
289	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
290	C₂³	—	4	3	no	—
291	C₂³	—	4	3	no	—
292	C₂³	C₂×#103	1	12	yes	—
293	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
294	C₂³	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
295	Q₈	—	4	8	no	—
296	Q₈	—	4	4	no	—
297	Q₈	—	4	4	no	—
298	Q₈	—	8	12	no	—
299	Q₈	—	8	12	no	—
300	Q₈	C₂×#103	1	16	yes	—
301	D₄	C₂×#103	1	48	yes	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	6	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	6	no	—
306	C₂×C₄	—	2	8	no	—
307	C₂×C₄	—	2	8	no	—
308	C₂×C₄	—	4	6	no	—
309	C₂×C₄	—	4	3	no	—
310	C₂×C₄	—	4	1	no	—
311	C₂×C₄	—	4	6	no	—
312	C₂×C₄	—	4	3	no	—
313	C₂×C₄	—	4	6	no	—
314	C₂×C₄	—	8	12	no	—
315	C₂×C₄	—	8	12	no	—
316	C₂×C₄	C₂×#103	1	12	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#103	1	24	yes	—
318	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
321	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
322	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊C₄	1	6	yes	—
324	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	12	yes	—
325	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	12	yes	—
328	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
329	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
330	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
331	C₈	—	4	6	no	—
332	C₈	—	4	2	no	—
333	C₈	—	4	8	no	—
334	C₂²	—	2	1	no	—
335	C₂²	—	2	6	no	—
336	C₂²	—	2	1	no	—
337	C₂²	—	2	6	no	—
338	C₂²	—	4	12	no	—
339	C₂²	C₂²×#103	1	2	yes	—
340	C₂²	C₂²×#103	1	12	yes	—
341	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄	1	1	yes	characteristic
342	C₄	—	2	1	no	—
343	C₄	—	2	1	no	—
344	C₄	—	2	6	no	—
345	C₄	—	2	1	no	—
346	C₄	—	2	6	no	—
347	C₄	—	4	8	no	—
348	C₄	—	4	8	no	—
349	C₄	C₂²×#103	1	2	yes	—
350	C₄	C₂²×#103	1	12	yes	—
351	C₄	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
352	C₄	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
353	C₄	#3585	1	1	yes	characteristic
354	C₄	#3586	1	1	yes	characteristic
355	C₂	—	2	2	no	—
356	C₂	—	2	12	no	—
357	C₂	#60076	1	1	yes	characteristic
358	C₂	C₂³×#103	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#60089	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂³×C₂²⋊C₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. #17723	C₂	semidirect
5. #17722	C₂	semidirect
6. #17708	C₂	semidirect
7. C₂×#1550	C₂	semidirect
34. #1550	C₂²	semidirect
35. #1549	C₂²	semidirect
36. #1548	C₂²	semidirect
37. #1542	C₂²	semidirect
38. C₂×#333	C₂²	semidirect
39. C₂×#332	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62813	2
C₂×#2988	2
#60099	2
#17723	2
#17722	2
#17708	2
C₂×#1550	2