Subgroups — #6344402

Order 512.

1700 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 338 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60125	C₂	1	2	yes	maximal
3	#17827	C₂	1	16	yes	maximal, complemented
4	#17815	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#17814	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#17793	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1566	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₈×#41	C₄	1	4	yes	—
10	C₈×#41	C₄	1	4	yes	—
11	C₈×#41	C₂²	1	8	yes	—
12	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	2	yes	—
13	C₂×C₈×D₄	C₄	1	4	yes	—
14	C₂×C₈×D₄	C₄	1	2	yes	—
15	#2925	—	2	8	no	—
16	#2925	C₂²	1	16	yes	—
17	#2921	—	2	4	no	—
18	#2920	C₂²	1	8	yes	—
19	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#423	C₂²	1	4	yes	—
22	#2879	—	2	2	no	—
23	#2873	—	2	2	no	—
24	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	2	yes	—
26	#1572	C₂²	1	32	yes	complemented
27	#1571	C₂²	1	16	yes	complemented
28	#1568	C₂²	1	16	yes	complemented
29	#1567	C₂²	1	8	yes	—
30	#1566	C₂²	1	4	yes	—
31	#1566	C₂²	1	4	yes	—
32	#1566	C₂²	1	8	yes	complemented
33	#1564	C₂²	1	16	yes	complemented
34	C₂×#334	C₂²	1	8	yes	complemented
35	C₂²×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
37	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
38	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
39	C₄×#41	C₂×C₄	1	4	yes	—
40	C₄×#41	D₄	1	4	yes	—
41	C₄×#41	Q₈	1	4	yes	—
42	C₄×#41	C₂³	1	4	yes	—
43	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄×Q₈	Q₈	1	1	yes	characteristic
45	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	2	yes	—
46	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
47	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	2	yes	—
48	C₂×C₄×D₄	Q₈	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#117	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×#117	D₄	1	2	yes	—
51	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	2	yes	—
53	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
54	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	8	yes	—
55	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
56	C₈×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
57	C₈×D₄	C₂×C₄	1	8	yes	—
58	C₈×D₄	C₂×C₄	1	16	yes	—
59	#433	—	2	32	no	—
60	#432	—	2	8	no	—
61	#432	C₂³	1	16	yes	—
62	#431	—	2	8	no	—
63	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
64	#431	C₂×C₄	1	8	yes	—
65	#431	C₂³	1	16	yes	—
66	#431	C₂³	1	4	yes	—
67	#431	C₂³	1	8	yes	—
68	#423	—	2	4	no	—
69	#423	—	2	4	no	—
70	#423	C₂³	1	8	yes	—
71	#423	C₂³	1	8	yes	—
72	C₂×C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
73	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	8	yes	—
76	#408	—	2	16	no	—
77	#407	—	2	8	no	—
78	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
79	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
80	#405	—	2	16	no	—
81	C₄×M₁₆	—	2	8	no	—
82	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
83	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
84	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
85	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
86	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	4	yes	—
88	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	8	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
93	#335	C₂³	1	32	yes	—
94	#334	C₂³	1	16	yes	—
95	#334	C₂³	1	16	yes	—
96	C₂×#41	—	2	8	no	—
97	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
98	C₂×#41	C₂×D₄	1	4	yes	—
99	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
100	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
101	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	2	yes	—
103	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
108	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
109	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
110	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
111	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
112	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
113	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
114	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
115	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
116	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
117	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
121	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
122	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
123	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
124	C₄×Q₈	C₂×Q₈	1	4	yes	—
125	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
126	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
127	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
128	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
129	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
130	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
131	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	8	yes	—
132	C₄×D₄	C₂×Q₈	1	4	yes	—
133	#117	C₄⋊C₄	1	8	yes	—
134	#117	C₄⋊C₄	1	4	yes	—
135	#117	C₂×D₄	1	4	yes	—
136	#117	C₂×D₄	1	8	yes	—
137	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
138	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
142	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
143	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
145	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	4	yes	—
147	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
151	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	4	yes	—
152	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	4	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	2	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂⁴	1	4	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
159	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
160	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
161	C₄⋊C₈	—	2	8	no	—
162	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
163	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
164	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	16	yes	—
165	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
166	C₂²⋊C₈	—	2	16	no	—
167	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
168	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
169	#97	—	2	16	no	—
170	C₄×C₈	—	2	16	no	—
171	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
174	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
176	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
177	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
179	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
180	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
183	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
184	#41	—	2	16	no	—
185	#41	—	2	16	no	—
186	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
188	C₂×D₄	—	2	8	no	—
189	C₂×D₄	—	2	4	no	—
190	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
191	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
192	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
193	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
194	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
195	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
196	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
197	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
198	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
201	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
202	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
203	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
204	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
206	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
208	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
209	C₂²×C₄	#135	1	8	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	4	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
213	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
215	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
217	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
219	M₁₆	—	4	16	no	—
220	M₁₆	—	4	16	no	—
221	C₂×C₈	—	2	4	no	—
222	C₂×C₈	—	2	8	no	—
223	C₂×C₈	—	2	16	no	—
224	C₂×C₈	—	2	16	no	—
225	C₂×C₈	—	4	4	no	—
226	C₂×C₈	—	4	8	no	—
227	C₂×C₈	—	4	2	no	—
228	C₂×C₈	—	4	4	no	—
229	C₂×C₈	—	4	16	no	—
230	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
231	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	4	yes	—
232	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
233	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
234	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
235	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
236	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
237	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
238	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
239	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
240	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	8	yes	—
241	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
242	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
243	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
244	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
245	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
246	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
247	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
248	C₄²	C₂³×C₄	1	4	yes	—
249	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
250	C₄²	C₂²×D₄	1	4	yes	—
251	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
252	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
253	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
254	C₄²	C₂²×Q₈	1	4	yes	—
255	C₄²	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
256	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	—	2	4	no	—
258	C₂³	—	4	1	no	—
259	C₂³	—	4	2	no	—
260	C₂³	—	4	1	no	—
261	C₂³	—	4	2	no	—
262	C₂³	#427	1	4	yes	—
263	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
264	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
265	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
266	Q₈	—	2	8	no	—
267	D₄	—	2	16	no	—
268	D₄	—	2	8	no	—
269	C₂×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂×C₄	—	2	4	no	—
273	C₂×C₄	—	2	8	no	—
274	C₂×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂×C₄	—	2	4	no	—
276	C₂×C₄	—	2	8	no	—
277	C₂×C₄	—	2	8	no	—
278	C₂×C₄	—	4	2	no	—
279	C₂×C₄	—	4	4	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	1	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	—	4	1	no	—
284	C₂×C₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	4	4	no	—
286	C₂×C₄	#427	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	#427	1	8	yes	—
288	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
289	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	4	yes	—
293	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
294	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂×#135	1	8	yes	—
298	C₂×C₄	C₂×#135	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
300	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
302	C₈	—	2	2	no	—
303	C₈	—	2	4	no	—
304	C₈	—	2	8	no	—
305	C₈	—	4	16	no	—
306	C₈	#568	1	4	yes	—
307	C₂²	—	2	1	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	1	no	—
310	C₂²	—	2	2	no	—
311	C₂²	—	2	4	no	—
312	C₂²	—	2	4	no	—
313	C₂²	—	2	4	no	—
314	C₂²	—	4	4	no	—
315	C₂²	—	4	8	no	—
316	C₂²	C₂×#427	1	2	yes	—
317	C₂²	C₂×#427	1	4	yes	—
318	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₄	—	2	1	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	4	no	—
322	C₄	—	2	4	no	—
323	C₄	—	2	1	no	—
324	C₄	—	2	2	no	—
325	C₄	—	2	4	no	—
326	C₄	C₂×#427	1	2	yes	—
327	C₄	C₂×#427	1	4	yes	—
328	C₄	#2916	1	2	yes	—
329	C₄	C₂×#568	1	2	yes	—
330	C₄	C₂²×#135	1	2	yes	—
331	C₂	—	2	2	no	—
332	C₂	—	2	4	no	—
333	C₂	—	4	4	no	—
334	C₂	#60099	1	1	yes	characteristic
335	C₂	C₂²×#427	1	1	yes	characteristic
336	C₂	C₂×#2916	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #17827	C₂	semidirect
4. #17815	C₂	semidirect
5. #17814	C₂	semidirect
6. #17793	C₂	semidirect
7. C₂×#1566	C₂	semidirect
26. #1572	C₂²	semidirect
27. #1571	C₂²	semidirect
28. #1568	C₂²	semidirect
32. #1566	C₂²	semidirect
33. #1564	C₂²	semidirect
34. C₂×#334	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×C₈×#41	2
#60125	2
#17827	2
#17815	2
#17814	2
#17793	2
C₂×#1566	2