Subgroups — #6344409

Order 512.

1711 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60263	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×C₈×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#17837	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#17836	C₂	1	12	yes	maximal, complemented
5	#17817	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#17793	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	C₂×#1567	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	#2991	C₂²	1	4	yes	—
10	#2990	C₂²	1	12	yes	—
11	#2989	—	2	6	no	—
12	#2988	—	2	2	no	—
13	C₈×#41	C₄	1	3	yes	—
14	C₈×#41	C₄	1	3	yes	—
15	C₈×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
16	C₈×#41	C₄	1	1	yes	characteristic
17	C₈×#41	C₂²	1	6	yes	—
18	C₈×#41	C₂²	1	2	yes	—
19	Q₈×M₁₆	—	2	2	no	—
20	C₂×C₈×Q₈	C₄	1	2	yes	—
21	D₄×M₁₆	—	2	6	no	—
22	C₂×C₈×D₄	C₄	1	6	yes	—
23	#2920	C₂²	1	6	yes	—
24	C₂×#431	C₂²	1	3	yes	—
25	C₂×#423	C₂²	1	6	yes	—
26	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	3	yes	—
27	#1574	C₂²	1	24	yes	complemented
28	#1573	C₂²	1	24	yes	complemented
29	#1568	C₂²	1	12	yes	complemented
30	#1567	C₂²	1	3	yes	—
31	#1567	C₂²	1	6	yes	—
32	#1567	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#1567	C₂²	1	12	yes	complemented
34	#1566	C₂²	1	6	yes	—
35	#1564	C₂²	1	12	yes	complemented
36	C₂×#335	C₂²	1	12	yes	complemented
37	C₂²×#41	Q₈	1	1	yes	characteristic
38	C₂²×M₁₆	—	2	6	no	—
39	C₂³×C₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
40	C₄×#41	C₂×C₄	1	3	yes	—
41	C₄×#41	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
42	C₄×#41	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₄×#41	D₄	1	3	yes	—
44	C₄×#41	Q₈	1	1	yes	characteristic
45	C₄×#41	Q₈	1	3	yes	—
46	C₄×#41	C₂³	1	3	yes	—
47	C₄×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×C₄×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
50	C₂×C₄×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
51	C₂×C₄×D₄	D₄	1	3	yes	—
52	C₂×#117	Q₈	1	3	yes	—
53	C₂²×C₄²	C₂³	1	3	yes	—
54	#446	—	2	12	no	—
55	C₈×Q₈	—	2	4	no	—
56	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
57	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
58	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
59	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
60	#436	—	2	12	no	—
61	#435	—	2	24	no	—
62	C₈×D₄	—	2	12	no	—
63	C₈×D₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
64	C₈×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
65	C₈×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
66	C₈×D₄	C₂×C₄	1	12	yes	—
67	C₈×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
68	C₈×D₄	C₂×C₄	1	6	yes	—
69	#432	—	2	6	no	—
70	#432	C₂³	1	12	yes	—
71	#431	—	2	6	no	—
72	#431	C₂×C₄	1	3	yes	—
73	#431	C₂×C₄	1	3	yes	—
74	#431	C₂×C₄	1	6	yes	—
75	#431	C₂³	1	12	yes	—
76	#431	C₂³	1	6	yes	—
77	#431	C₂³	1	6	yes	—
78	#423	—	2	6	no	—
79	#423	—	2	6	no	—
80	#423	C₂³	1	2	yes	—
81	#423	C₂³	1	6	yes	—
82	#423	C₂³	1	12	yes	—
83	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
84	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
85	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
86	#407	—	2	6	no	—
87	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
88	C₄×M₁₆	—	2	6	no	—
89	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
90	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
91	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
92	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
93	C₂×C₄×C₈	C₂×C₄	1	3	yes	—
94	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
95	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
96	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
97	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
98	#335	C₂³	1	12	yes	—
99	#335	C₂³	1	24	yes	—
100	#335	C₂³	1	4	yes	—
101	#334	C₂³	1	24	yes	—
102	C₂×#41	—	2	8	no	—
103	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
104	C₂×#41	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×#41	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
106	C₂×#41	C₂×Q₈	1	3	yes	—
107	C₂²×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂²×D₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
109	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
110	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
111	C₂³×C₄	C₂×Q₈	1	3	yes	—
112	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
113	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
114	C₂×M₁₆	—	2	12	no	—
115	C₂×M₁₆	—	8	12	no	—
116	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
117	C₂²×C₈	—	4	12	no	—
118	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	2	yes	—
119	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
120	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
121	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
122	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
123	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
124	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
125	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
126	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
127	C₄×Q₈	C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
128	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
129	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
130	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
132	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
133	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
134	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
135	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
136	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
137	C₄×D₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
138	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
139	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
140	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
141	C₄×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
142	C₄×D₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
143	C₄×D₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
144	#117	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
145	#117	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
146	#117	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
147	#117	C₂×Q₈	1	3	yes	—
148	#117	C₂×Q₈	1	6	yes	—
149	#117	C₂×Q₈	1	3	yes	—
150	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
151	C₂×C₄⋊C₄	C₄⋊C₄	1	3	yes	—
152	C₂×C₂²⋊C₄	C₄⋊C₄	1	6	yes	—
153	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
154	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
155	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	3	yes	—
156	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
157	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
158	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
159	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	3	yes	—
160	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	3	yes	—
161	C₂×C₄²	C₂×Q₈	1	3	yes	—
162	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
163	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
164	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
165	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
166	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
167	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
168	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
169	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
170	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
171	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
172	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
173	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	12	yes	—
174	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
175	C₂²⋊C₈	—	2	12	no	—
176	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
177	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
178	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
179	#97	—	2	12	no	—
180	C₄×C₈	—	2	12	no	—
181	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
184	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
185	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
186	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
187	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
188	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
189	C₄×C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
190	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
191	C₂⁴	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
192	#41	—	2	4	no	—
193	#41	—	2	12	no	—
194	#41	—	2	12	no	—
195	#41	#108	1	8	yes	—
196	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
197	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
198	C₂×Q₈	C₂×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
199	C₂×D₄	—	2	12	no	—
200	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
201	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
202	C₂×D₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
203	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
204	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
205	C₂²×C₄	—	2	12	no	—
206	C₂²×C₄	—	4	6	no	—
207	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
208	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
209	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
210	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
211	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
212	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
213	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
214	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
215	C₂²×C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
216	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
217	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
218	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
219	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
220	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
221	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
223	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
225	M₁₆	—	4	12	no	—
226	M₁₆	—	4	4	no	—
227	M₁₆	—	8	12	no	—
228	C₂×C₈	—	2	4	no	—
229	C₂×C₈	—	2	12	no	—
230	C₂×C₈	—	2	12	no	—
231	C₂×C₈	—	2	4	no	—
232	C₂×C₈	—	2	12	no	—
233	C₂×C₈	—	4	6	no	—
234	C₂×C₈	—	4	6	no	—
235	C₂×C₈	—	4	6	no	—
236	C₂×C₈	—	8	12	no	—
237	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	6	yes	—
239	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	6	yes	—
240	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
241	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
242	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
243	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
244	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
245	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
246	C₄⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
247	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
248	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
249	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
250	C₂²⋊C₄	C₂×C₄⋊C₄	1	6	yes	—
251	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
252	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
253	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
254	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
255	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
256	C₄²	C₂×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
257	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
258	C₄²	C₂³×C₄	1	3	yes	—
259	C₄²	C₂³×C₄	1	3	yes	—
260	C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
261	C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
262	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
263	C₄²	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
264	C₄²	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
265	C₄²	C₂²×Q₈	1	3	yes	—
266	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
267	C₂³	—	2	6	no	—
268	C₂³	—	2	6	no	—
269	C₂³	—	4	3	no	—
270	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
271	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
272	C₂³	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
273	Q₈	—	2	6	no	—
274	Q₈	C₂×#108	1	4	yes	—
275	D₄	—	2	12	no	—
276	D₄	—	2	6	no	—
277	D₄	C₂×#108	1	12	yes	—
278	C₂×C₄	—	2	6	no	—
279	C₂×C₄	—	2	6	no	—
280	C₂×C₄	—	2	6	no	—
281	C₂×C₄	—	2	6	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	6	no	—
284	C₂×C₄	—	2	6	no	—
285	C₂×C₄	—	2	6	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	6	no	—
288	C₂×C₄	—	2	6	no	—
289	C₂×C₄	—	2	3	no	—
290	C₂×C₄	—	2	3	no	—
291	C₂×C₄	—	2	3	no	—
292	C₂×C₄	—	2	3	no	—
293	C₂×C₄	—	4	3	no	—
294	C₂×C₄	—	4	3	no	—
295	C₂×C₄	—	4	3	no	—
296	C₂×C₄	C₂×#108	1	12	yes	—
297	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
299	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
300	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
301	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
302	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
303	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂²×C₄⋊C₄	1	3	yes	—
306	C₂×C₄	#576	1	2	yes	—
307	C₂×C₄	#578	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₄	C₂³×Q₈	1	1	yes	characteristic
311	C₈	—	2	2	no	—
312	C₈	—	2	6	no	—
313	C₈	—	2	6	no	—
314	C₈	—	4	12	no	—
315	C₈	—	4	4	no	—
316	C₈	#568	1	4	yes	—
317	C₂²	—	2	1	no	—
318	C₂²	—	2	3	no	—
319	C₂²	—	2	3	no	—
320	C₂²	—	2	1	no	—
321	C₂²	—	2	3	no	—
322	C₂²	—	2	3	no	—
323	C₂²	—	2	3	no	—
324	C₂²	—	4	12	no	—
325	C₂²	#2913	1	2	yes	—
326	C₂²	C₂²×#108	1	6	yes	—
327	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄	1	1	yes	characteristic
328	C₄	—	2	1	no	—
329	C₄	—	2	3	no	—
330	C₄	—	2	3	no	—
331	C₄	—	2	3	no	—
332	C₄	—	2	3	no	—
333	C₄	—	2	1	no	—
334	C₄	—	2	3	no	—
335	C₄	#2913	1	2	yes	—
336	C₄	C₂²×#108	1	2	yes	—
337	C₄	C₂²×#108	1	6	yes	—
338	C₄	C₂×#568	1	2	yes	—
339	C₄	C₂×#576	1	1	yes	characteristic
340	C₄	C₂×#578	1	1	yes	characteristic
341	C₂	—	2	2	no	—
342	C₂	—	2	6	no	—
343	C₂	—	4	3	no	—
344	C₂	#60099	1	1	yes	characteristic
345	C₂	C₂×#2913	1	1	yes	characteristic
346	C₂	C₂³×#108	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
socle	C₂²	C₂³×C₄⋊C₄
prime radical	C₂²×#41	Q₈
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂×C₄×#41 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #17837	C₂	semidirect
4. #17836	C₂	semidirect
5. #17817	C₂	semidirect
6. #17793	C₂	semidirect
7. C₂×#1567	C₂	semidirect
27. #1574	C₂²	semidirect
28. #1573	C₂²	semidirect
29. #1568	C₂²	semidirect
33. #1567	C₂²	semidirect
35. #1564	C₂²	semidirect
36. C₂×#335	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60263	2
C₂×C₈×#41	2
#17837	2
#17836	2
#17817	2
#17793	2
C₂×#1567	2