Subgroups — #6345192

Order 512.

2028 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 405 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60940	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#2931	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#17981	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#17962	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#17935	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#17907	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#17813	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#17485	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₂×#1452	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#131	—	2	2	no	—
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	#3245	C₄	1	4	yes	—
13	#3226	C₄	1	4	yes	—
14	#3205	C₄	1	4	yes	—
15	#3186	C₄	1	4	yes	—
16	#3169	C₂²	1	4	yes	—
17	#3100	C₂²	1	8	yes	—
18	#2931	—	2	2	no	—
19	#2931	—	2	2	no	—
20	#2931	—	2	2	no	—
21	#2931	—	2	2	no	—
22	#2931	C₂²	1	4	yes	—
23	#2931	C₂²	1	4	yes	—
24	#2931	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#2931	C₂²	1	4	yes	complemented
26	C₂×#436	—	2	2	no	—
27	C₂×#436	C₂²	1	4	yes	complemented
28	C₂×C₈×D₄	—	2	2	no	—
29	C₂×C₈×D₄	C₂²	1	4	yes	complemented
30	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#431	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×#423	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#408	—	2	2	no	—
34	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#1594	C₂²	1	16	yes	complemented
36	#1586	C₂²	1	32	yes	complemented
37	#1580	C₂²	1	16	yes	complemented
38	#1570	C₂²	1	8	yes	complemented
39	#1566	C₂²	1	4	yes	complemented
40	#1492	C₂²	1	8	yes	complemented
41	#1486	C₂²	1	8	yes	complemented
42	#1480	C₂²	1	8	yes	—
43	#1452	C₂²	1	4	yes	complemented
44	#1452	C₂²	1	4	yes	complemented
45	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	complemented
46	C₂×#322	C₂²	1	2	yes	complemented
47	C₂²×#41	—	2	2	no	—
48	C₂×#131	—	2	4	no	—
49	C₂×#131	—	2	4	no	—
50	C₂×#131	—	2	4	no	—
51	C₂×#131	—	2	4	no	—
52	C₂×#131	—	4	16	no	—
53	C₂²×M₁₆	—	2	2	no	—
54	C₂²×M₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂³×C₈	—	2	4	no	—
56	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
57	#532	—	2	2	no	—
58	#532	—	2	2	no	—
59	#532	—	2	2	no	—
60	#532	—	2	2	no	—
61	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
62	#532	C₂×C₄	1	4	yes	—
63	#532	C₂³	1	4	yes	—
64	#532	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
66	C₂×#127	C₂×C₄	1	2	yes	—
67	C₂×#124	—	2	2	no	—
68	C₂×#121	—	2	2	no	—
69	C₂×#121	C₂×C₄	1	4	yes	—
70	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
71	C₂×C₄×D₄	C₂³	1	4	yes	—
72	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#500	C₂×C₄	1	4	yes	—
74	#493	C₂×C₄	1	4	yes	—
75	#486	C₂×C₄	1	8	yes	—
76	#480	C₂×C₄	1	16	yes	—
77	#474	C₂×C₄	1	16	yes	—
78	#466	C₂×C₄	1	16	yes	—
79	#459	C₂×C₄	1	16	yes	—
80	#447	C₂×C₄	1	16	yes	—
81	C₄×D₈	C₂³	1	16	yes	—
82	#436	—	2	4	no	—
83	#436	—	2	4	no	—
84	#436	—	2	4	no	—
85	#436	—	2	4	no	—
86	#436	—	2	4	no	—
87	#436	—	2	4	no	—
88	#436	C₂³	1	8	yes	—
89	#436	C₂³	1	8	yes	—
90	C₈×D₄	—	2	4	no	—
91	C₈×D₄	—	2	4	no	—
92	C₈×D₄	—	2	4	no	—
93	C₈×D₄	—	2	4	no	—
94	C₈×D₄	—	2	4	no	—
95	C₈×D₄	—	2	4	no	—
96	C₈×D₄	C₂³	1	8	yes	—
97	C₈×D₄	C₂³	1	8	yes	—
98	#431	—	2	2	no	—
99	#431	C₂×C₄	1	4	yes	—
100	#431	C₂³	1	4	yes	—
101	#431	C₂³	1	4	yes	—
102	#423	—	2	2	no	—
103	#423	—	2	2	no	—
104	#423	C₂³	1	4	yes	—
105	#423	C₂³	1	4	yes	—
106	C₂×C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
109	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	4	yes	—
110	#408	—	2	4	no	—
111	#408	—	2	4	no	—
112	#408	—	2	4	no	—
113	#408	—	2	4	no	—
114	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	1	no	—
115	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
116	C₂×C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
117	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×C₄	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
122	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
127	#334	C₂³	1	16	yes	—
128	D₄⋊C₈	C₂³	1	32	yes	—
129	#322	C₂³	1	4	yes	—
130	#322	C₂³	1	8	yes	—
131	#322	C₂³	1	4	yes	—
132	C₂×#41	—	2	4	no	—
133	C₂×#41	—	2	4	no	—
134	C₂×#41	—	2	4	no	—
135	C₂×#41	—	2	4	no	—
136	C₂×#41	—	4	8	no	—
137	C₂×#41	—	4	8	no	—
138	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
140	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
141	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
142	C₂²×D₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
143	C₂³×C₄	—	2	4	no	—
144	C₂³×C₄	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂×D₈	C₂²×C₄	1	16	yes	—
148	#131	—	4	16	no	—
149	#131	—	4	16	no	—
150	#131	—	4	16	no	—
151	#131	—	4	16	no	—
152	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
153	C₂×M₁₆	—	2	4	no	—
154	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
155	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
156	C₂×M₁₆	—	4	16	no	—
157	C₂×M₁₆	—	4	8	no	—
158	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
159	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
160	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
162	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₈	—	4	16	no	—
164	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
166	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
167	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
169	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
170	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
174	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
175	#127	—	2	2	no	—
176	#127	—	2	2	no	—
177	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
178	#127	C₂²×C₄	1	4	yes	—
179	#124	—	2	4	no	—
180	#124	—	2	4	no	—
181	#124	—	2	4	no	—
182	#124	—	2	4	no	—
183	#121	—	2	4	no	—
184	#121	—	2	4	no	—
185	#121	—	2	4	no	—
186	#121	—	2	4	no	—
187	#121	—	2	4	no	—
188	#121	—	2	4	no	—
189	#121	C₂²×C₄	1	8	yes	—
190	#121	C₂²×C₄	1	8	yes	—
191	C₄×D₄	—	2	4	no	—
192	C₄×D₄	—	2	4	no	—
193	C₄×D₄	—	2	4	no	—
194	C₄×D₄	—	2	4	no	—
195	C₄×D₄	—	2	4	no	—
196	C₄×D₄	—	2	4	no	—
197	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	8	yes	—
198	C₄×D₄	C₂⁴	1	8	yes	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	4	yes	—
201	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
202	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
203	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	2	yes	—
204	C₂×C₄²	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
205	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
206	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₄²	#41	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	#41	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
211	#107	C₂²×C₄	1	16	yes	—
212	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
214	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
215	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
216	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
217	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
218	#102	C₂²×C₄	1	32	yes	—
219	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
220	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
222	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
223	C₂²⋊C₈	—	2	8	no	—
224	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	8	yes	—
225	C₄×C₈	—	2	2	no	—
226	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	4	yes	—
227	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
228	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
229	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
230	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
231	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
232	C₄×C₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
233	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
235	C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
236	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
237	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
238	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
239	C₂⁴	—	2	4	no	—
240	C₂⁴	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
241	#41	—	4	8	no	—
242	#41	—	4	8	no	—
243	#41	—	4	8	no	—
244	#41	—	4	8	no	—
245	#41	—	4	16	no	—
246	#41	—	4	16	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
249	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
250	C₂×D₄	—	2	8	no	—
251	C₂×D₄	—	2	8	no	—
252	C₂×D₄	—	2	4	no	—
253	C₂×D₄	—	2	4	no	—
254	C₂×D₄	—	2	4	no	—
255	C₂×D₄	—	2	4	no	—
256	C₂×D₄	—	2	4	no	—
257	C₂×D₄	—	4	8	no	—
258	C₂×D₄	—	4	8	no	—
259	C₂×D₄	—	4	16	no	—
260	C₂×D₄	—	4	8	no	—
261	C₂×D₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
262	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
263	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
264	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
265	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
268	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
269	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
273	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	2	yes	—
274	C₂²×C₄	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
276	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
277	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂×#41	1	2	yes	—
282	D₈	—	4	16	no	—
283	M₁₆	—	4	16	no	—
284	M₁₆	—	4	16	no	—
285	M₁₆	—	4	8	no	—
286	M₁₆	—	4	8	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	2	4	no	—
292	C₂×C₈	—	2	4	no	—
293	C₂×C₈	—	2	8	no	—
294	C₂×C₈	—	2	4	no	—
295	C₂×C₈	—	4	4	no	—
296	C₂×C₈	—	4	16	no	—
297	C₂×C₈	—	4	16	no	—
298	C₂×C₈	—	4	4	no	—
299	C₂×C₈	—	4	8	no	—
300	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	8	yes	—
301	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
302	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
306	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
308	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	8	yes	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
313	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
314	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
315	C₄²	C₄×D₄	1	2	yes	—
316	C₄²	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
317	C₄²	C₂³×C₄	1	2	yes	—
318	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₄²	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
321	C₄²	C₂×#41	1	2	yes	—
322	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
323	C₂³	—	2	8	no	—
324	C₂³	—	4	1	no	—
325	C₂³	—	4	1	no	—
326	C₂³	—	4	8	no	—
327	C₂³	—	4	8	no	—
328	C₂³	—	4	8	no	—
329	C₂³	#442	1	4	yes	—
330	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
331	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
332	Q₈	—	4	8	no	—
333	Q₈	—	4	8	no	—
334	D₄	—	2	16	no	—
335	D₄	—	4	8	no	—
336	D₄	—	4	8	no	—
337	D₄	—	4	16	no	—
338	D₄	—	4	16	no	—
339	D₄	—	4	8	no	—
340	D₄	—	4	8	no	—
341	D₄	—	4	8	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	4	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	4	no	—
346	C₂×C₄	—	2	8	no	—
347	C₂×C₄	—	4	1	no	—
348	C₂×C₄	—	4	2	no	—
349	C₂×C₄	—	4	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	8	no	—
352	C₂×C₄	—	4	16	no	—
353	C₂×C₄	—	4	8	no	—
354	C₂×C₄	—	4	8	no	—
355	C₂×C₄	#442	1	8	yes	—
356	C₂×C₄	#442	1	4	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
358	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	2	yes	—
361	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
363	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
365	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
366	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
368	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
369	C₈	—	2	8	no	—
370	C₈	—	2	2	no	—
371	C₈	—	2	2	no	—
372	C₈	—	2	2	no	—
373	C₈	—	2	2	no	—
374	C₈	—	4	4	no	—
375	C₈	—	4	8	no	—
376	C₂²	—	2	2	no	—
377	C₂²	—	2	1	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	4	4	no	—
381	C₂²	—	4	8	no	—
382	C₂²	—	4	8	no	—
383	C₂²	—	4	8	no	—
384	C₂²	—	8	16	no	—
385	C₂²	C₂×#442	1	4	yes	—
386	C₂²	C₂×#442	1	2	yes	—
387	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
388	C₄	—	2	1	no	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	2	1	no	—
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	4	8	no	—
393	C₄	C₂×#442	1	4	yes	—
394	C₄	C₂×#442	1	2	yes	—
395	C₄	#2955	1	2	yes	—
396	C₄	#3573	1	2	yes	—
397	C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
398	C₂	—	2	4	no	—
399	C₂	—	2	2	no	—
400	C₂	—	8	8	no	—
401	C₂	#60140	1	1	yes	characteristic
402	C₂	C₂²×#442	1	1	yes	characteristic
403	C₂	C₂×#2955	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
socle	C₂²	C₂²×C₄×D₄
prime radical	#60940	C₂
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₂²×C₄×C₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#2931	C₂	semidirect
3. #17981	C₂	semidirect
4. #17962	C₂	semidirect
5. #17935	C₂	semidirect
6. #17907	C₂	semidirect
7. #17813	C₂	semidirect
8. #17485	C₂	semidirect
9. C₂×#1452	C₂	semidirect
24. #2931	C₂²	semidirect
25. #2931	C₂²	semidirect
27. C₂×#436	C₂²	semidirect
29. C₂×C₈×D₄	C₂²	semidirect
35. #1594	C₂²	semidirect
36. #1586	C₂²	semidirect
37. #1580	C₂²	semidirect
38. #1570	C₂²	semidirect
39. #1566	C₂²	semidirect
40. #1492	C₂²	semidirect
41. #1486	C₂²	semidirect
43. #1452	C₂²	semidirect
44. #1452	C₂²	semidirect
45. C₂×#322	C₂²	semidirect
46. C₂×#322	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60940	2
C₂×#2931	2
#17981	2
#17962	2
#17935	2
#17907	2
#17813	2
#17485	2
C₂×#1452	2