Subgroups — #6345917

Order 512.

1571 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	Q₁₆×#41	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#60195	C₂	1	2	yes	maximal
3	#18068	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
4	M₁₆×Q₁₆	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
5	#17998	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#17958	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
7	#17931	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	C₂×#1591	C₂	1	3	yes	maximal, complemented
9	#17828	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#17509	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₈×#131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	Q₈×#41	C₂²	1	2	yes	—
13	#3395	C₄	1	1	yes	characteristic
14	Q₈×Q₁₆	C₄	1	1	yes	characteristic
15	#3363	C₄	1	2	yes	—
16	#3338	C₄	1	3	yes	—
17	#3299	C₄	1	6	yes	—
18	D₄×Q₁₆	C₄	1	3	yes	—
19	#3170	C₂²	1	3	yes	—
20	#3104	C₂²	1	6	yes	—
21	C₈×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₈×#41	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	Q₈×M₁₆	C₂²	1	6	yes	—
24	#2962	—	2	6	no	—
25	#2962	C₂²	1	6	yes	—
26	#2961	—	2	6	no	—
27	#2960	C₂²	1	6	yes	—
28	C₂×#446	C₂²	1	6	yes	—
29	C₂×C₄×Q₁₆	C₂²	1	3	yes	—
30	#2906	—	2	2	no	—
31	#2906	C₂²	1	2	yes	—
32	#2875	—	2	2	no	—
33	C₄×#131	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#1591	C₂²	1	6	yes	—
35	#1591	C₂²	1	6	yes	—
36	#1591	C₂²	1	3	yes	—
37	#1591	C₂²	1	6	yes	—
38	#1591	C₂²	1	3	yes	—
39	#1591	C₂²	1	3	yes	—
40	#1591	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1584	C₂²	1	12	yes	—
42	#1584	C₂²	1	12	yes	—
43	C₈×Q₁₆	C₂²	1	6	yes	—
44	C₈×Q₁₆	C₂²	1	6	yes	—
45	#1571	C₂²	1	6	yes	—
46	#1567	C₂²	1	3	yes	—
47	C₂×#335	C₂²	1	3	yes	—
48	#1493	C₂²	1	6	yes	—
49	#1487	C₂²	1	6	yes	—
50	#1481	C₂²	1	6	yes	—
51	C₂×Q₈⋊C₈	C₂²	1	6	yes	—
52	#1450	C₂²	1	3	yes	—
53	C₈×M₁₆	C₂²	1	3	yes	—
54	C₈×M₁₆	C₂²	1	3	yes	—
55	C₂×C₈²	C₂²	1	3	yes	—
56	C₂²×Q₁₆	C₂×C₄	1	3	yes	—
57	C₂×#131	—	2	2	no	—
58	C₂×#131	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×#131	D₄	1	1	yes	characteristic
60	Q₈²	C₂×C₄	1	2	yes	—
61	#557	—	2	2	no	—
62	#557	C₂×C₄	1	2	yes	—
63	#554	—	2	6	no	—
64	#554	C₂×C₄	1	6	yes	—
65	D₄×Q₈	C₂×C₄	1	6	yes	—
66	#533	—	2	6	no	—
67	#533	C₂³	1	6	yes	—
68	C₄×#41	—	2	2	no	—
69	C₄×#41	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
71	#500	C₂×C₄	1	3	yes	—
72	#494	C₂×C₄	1	3	yes	—
73	#487	C₂×C₄	1	6	yes	—
74	#484	C₂×C₄	1	12	yes	—
75	#477	C₂×C₄	1	6	yes	—
76	#477	C₂×C₄	1	6	yes	—
77	#467	C₂×C₄	1	6	yes	—
78	#467	C₂×C₄	1	6	yes	—
79	#462	C₂×C₄	1	6	yes	—
80	#462	C₂×C₄	1	6	yes	—
81	#451	C₂×C₄	1	12	yes	—
82	#446	—	2	12	no	—
83	#446	—	2	12	no	—
84	#446	—	2	6	no	—
85	#446	—	2	6	no	—
86	#446	—	2	6	no	—
87	#446	C₂³	1	6	yes	—
88	#446	C₂³	1	6	yes	—
89	#446	C₂³	1	2	yes	—
90	#446	C₂³	1	6	yes	—
91	C₈×Q₈	—	2	1	no	—
92	C₈×Q₈	—	2	6	no	—
93	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
94	C₈×Q₈	C₂×C₄	1	1	yes	characteristic
95	C₈×Q₈	C₂³	1	12	yes	—
96	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	3	yes	—
97	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	6	yes	—
98	C₄×Q₁₆	C₂×C₄	1	3	yes	—
99	C₄×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
100	C₄×Q₁₆	C₂³	1	6	yes	—
101	C₄×Q₁₆	C₂³	1	3	yes	—
102	C₄×Q₁₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	C₈×D₄	—	2	3	no	—
104	C₈×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
105	C₈×D₄	C₂×C₄	1	3	yes	—
106	#431	C₂³	1	3	yes	—
107	#431	C₂³	1	3	yes	—
108	C₂×#107	C₂×C₄	1	3	yes	—
109	#424	—	2	6	no	—
110	#424	—	2	6	no	—
111	#424	—	2	6	no	—
112	#423	—	2	6	no	—
113	#423	C₂³	1	6	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
115	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
116	C₂×#103	C₂×C₄	1	6	yes	—
117	#405	—	2	6	no	—
118	#405	—	2	6	no	—
119	#405	D₄	1	3	yes	—
120	#405	D₄	1	3	yes	—
121	C₄×M₁₆	—	2	6	no	—
122	C₄×M₁₆	C₂³	1	3	yes	—
123	C₂×#97	—	2	6	no	—
124	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
125	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
126	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	3	yes	—
127	#335	C₂³	1	1	yes	characteristic
128	#335	C₂³	1	3	yes	—
129	#335	C₂³	1	6	yes	—
130	#335	C₂³	1	6	yes	—
131	Q₈⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
132	Q₈⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
133	Q₈⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
134	Q₈⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
135	Q₈⋊C₈	C₂³	1	2	yes	—
136	#322	C₂³	1	6	yes	—
137	C₈²	C₂³	1	3	yes	—
138	C₈²	C₂³	1	3	yes	—
139	C₈²	C₂³	1	1	yes	characteristic
140	C₈²	C₂³	1	3	yes	—
141	C₂×#41	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
143	C₂×Q₁₆	—	4	6	no	—
144	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	3	yes	—
146	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	6	yes	—
147	C₂×Q₁₆	C₂²×C₄	1	6	yes	—
148	#131	—	2	4	no	—
149	#131	—	4	8	no	—
150	#131	Q₁₆	1	8	yes	complemented
151	C₂×M₁₆	—	2	6	no	—
152	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	3	yes	—
153	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	3	yes	—
154	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
155	C₂²×C₈	—	2	3	no	—
156	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
157	C₂²×C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
158	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
159	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
162	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
163	C₄⋊Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
164	#125	—	2	6	no	—
165	#125	—	2	6	no	—
166	#125	—	2	6	no	—
167	C₂²⋊Q₈	—	2	6	no	—
168	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
169	C₂²⋊Q₈	—	2	12	no	—
170	C₂²⋊Q₈	C₂²×C₄	1	12	yes	—
171	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
172	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
174	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
175	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
176	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
177	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
178	C₄×Q₈	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
179	C₄×Q₈	#41	1	1	yes	characteristic
180	C₄×Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
181	C₄×Q₈	C₂⁴	1	6	yes	—
182	C₄×D₄	—	2	6	no	—
183	C₄×D₄	—	2	6	no	—
184	C₄×D₄	C₂²×C₄	1	3	yes	—
185	C₄×D₄	#41	1	3	yes	—
186	#117	—	2	6	no	—
187	#117	C₂×D₄	1	3	yes	—
188	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
189	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×C₄	1	6	yes	—
190	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
191	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
192	#107	C₂²×C₄	1	1	yes	characteristic
193	#107	C₂²×C₄	1	3	yes	—
194	#107	C₂²×C₄	1	6	yes	—
195	#107	C₂²×C₄	1	6	yes	—
196	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
197	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
198	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
199	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
200	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
201	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
202	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
203	C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
204	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
205	C₄⋊C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
206	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
207	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	6	yes	—
208	#103	C₂²×C₄	1	2	yes	—
209	#103	C₂²×C₄	1	6	yes	—
210	#103	C₂²×C₄	1	6	yes	—
211	#103	C₂²×C₄	1	6	yes	—
212	#103	C₂²×C₄	1	12	yes	—
213	C₂²⋊C₈	—	2	3	no	—
214	C₂²⋊C₈	C₂²×C₄	1	6	yes	—
215	#97	—	2	2	no	—
216	#97	—	2	6	no	—
217	#97	—	2	6	no	—
218	#97	—	2	6	no	—
219	#97	C₂×D₄	1	6	yes	—
220	C₄×C₈	—	2	12	no	—
221	C₄×C₈	—	2	3	no	—
222	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
223	C₄×C₈	C₂²×C₄	1	3	yes	—
224	C₄×C₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
225	C₄×C₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
226	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
227	C₄×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
228	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
229	C₄×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
230	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
231	C₄×C₈	C₂⁴	1	3	yes	—
232	#41	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
233	#41	#135	1	4	yes	—
234	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
235	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
236	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
237	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
238	C₂×Q₈	C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
239	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	2	yes	—
240	C₂×Q₈	C₂³×C₄	1	6	yes	—
241	C₂×D₄	C₄×D₄	1	3	yes	—
242	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
244	C₂²×C₄	C₂³×C₄	1	3	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×#41	1	3	yes	—
247	Q₁₆	—	2	2	no	—
248	Q₁₆	—	2	6	no	—
249	Q₁₆	—	4	6	no	—
250	Q₁₆	—	4	6	no	—
251	M₁₆	—	2	6	no	—
252	M₁₆	—	4	12	no	—
253	M₁₆	C₂×Q₁₆	1	12	yes	complemented
254	C₂×C₈	—	2	6	no	—
255	C₂×C₈	—	2	1	no	—
256	C₂×C₈	—	2	6	no	—
257	C₂×C₈	—	2	6	no	—
258	C₂×C₈	—	2	2	no	—
259	C₂×C₈	—	2	3	no	—
260	C₂×C₈	—	4	3	no	—
261	C₂×C₈	—	4	6	no	—
262	C₂×C₈	—	4	12	no	—
263	C₂×C₈	C₂×Q₁₆	1	12	yes	complemented
264	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	3	yes	—
266	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	3	yes	—
267	C₂×C₈	C₂³×C₄	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	3	yes	—
270	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	3	yes	—
271	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
272	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
274	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
275	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
276	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
277	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
281	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	3	yes	—
282	C₄⋊C₄	C₄×D₄	1	3	yes	—
283	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	2	yes	—
284	C₄⋊C₄	C₂³×C₄	1	6	yes	—
285	C₂²⋊C₄	—	2	12	no	—
286	C₂²⋊C₄	C₄×D₄	1	6	yes	—
287	C₄²	—	2	6	no	—
288	C₄²	—	2	6	no	—
289	C₄²	—	2	6	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	C₂³×C₄	1	3	yes	—
292	C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
293	C₄²	C₂×#41	1	3	yes	—
294	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
296	Q₈	—	2	2	no	—
297	Q₈	—	2	6	no	—
298	Q₈	—	2	6	no	—
299	Q₈	—	2	2	no	—
300	Q₈	—	8	6	no	—
301	Q₈	—	8	6	no	—
302	Q₈	C₄×Q₁₆	1	4	yes	—
303	D₄	C₄×Q₁₆	1	12	yes	—
304	C₂×C₄	—	2	3	no	—
305	C₂×C₄	—	2	3	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	6	no	—
309	C₂×C₄	—	2	6	no	—
310	C₂×C₄	—	4	3	no	—
311	C₂×C₄	—	8	6	no	—
312	C₂×C₄	—	8	6	no	—
313	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
314	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
315	C₂×C₄	C₂×C₄×D₄	1	3	yes	—
316	C₂×C₄	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×#135	1	6	yes	—
318	C₂×C₄	C₂⁴×C₄	1	1	yes	characteristic
319	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
321	C₈	—	2	2	no	—
322	C₈	—	2	3	no	—
323	C₈	—	2	1	no	—
324	C₈	—	2	3	no	—
325	C₈	—	2	1	no	—
326	C₈	—	2	3	no	—
327	C₈	—	4	3	no	—
328	C₈	—	4	2	no	—
329	C₈	—	4	6	no	—
330	C₈	#568	1	2	yes	—
331	C₈	C₂²×Q₁₆	1	2	yes	—
332	C₈	C₂²×Q₁₆	1	6	yes	—
333	C₂²	—	2	3	no	—
334	C₂²	—	2	3	no	—
335	C₂²	C₂×C₄×Q₁₆	1	6	yes	—
336	C₂²	C₂²×C₄×D₄	1	1	yes	characteristic
337	C₄	—	2	1	no	—
338	C₄	—	2	3	no	—
339	C₄	—	2	3	no	—
340	C₄	—	4	2	no	—
341	C₄	—	4	6	no	—
342	C₄	—	4	2	no	—
343	C₄	—	4	6	no	—
344	C₄	C₂×C₄×Q₁₆	1	6	yes	—
345	C₄	C₂×#568	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#3573	1	1	yes	characteristic
347	C₄	C₂³×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
348	C₄	C₂²×#135	1	1	yes	characteristic
349	C₂	—	2	6	no	—
350	C₂	#60147	1	1	yes	characteristic
351	C₂	C₂²×C₄×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#60183	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂×C₄	C₂³×D₄
commutator	C₂×C₄	C₂⁴×C₄
Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
socle	C₂²	C₂²×C₄×D₄
prime radical	C₂×#41	C₂×D₄
LCS	G ▷ C₂×C₄ ▷ C₂ ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂×C₄ ◁ C₄×#131 ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #18068	C₂	semidirect
4. M₁₆×Q₁₆	C₂	semidirect
5. #17998	C₂	semidirect
6. #17958	C₂	semidirect
7. #17931	C₂	semidirect
8. C₂×#1591	C₂	semidirect
150. #131	Q₁₆	semidirect
253. M₁₆	C₂×Q₁₆	semidirect
263. C₂×C₈	C₂×Q₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
Q₁₆×#41	2
#60195	2
#18068	2
M₁₆×Q₁₆	2
#17998	2
#17958	2
#17931	2
C₂×#1591	2
#17828	2
#17509	2
C₈×#131	2