Subgroups — #6352099

Order 512.

3770 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 411 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#62848	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#61820	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#35711	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#18409	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
5	#18309	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
6	#18219	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
7	#18123	C₂	1	6	yes	maximal, complemented
8	#17618	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#17352	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×2₋¹⁺⁴	—	2	1	no	—
11	#3497	—	2	1	no	—
12	#3497	—	2	3	no	—
13	#3497	C₂²	1	6	yes	—
14	#3497	C₂²	1	2	yes	—
15	#3487	—	2	8	no	—
16	#3486	—	2	8	no	—
17	C₂×Q₈²	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
18	#3449	—	2	3	no	—
19	#3449	C₂²	1	6	yes	—
20	C₂×#519	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	Q₈×SD₁₆	—	2	8	no	—
22	#3362	—	2	8	no	—
23	#3227	C₂²	1	12	yes	complemented
24	#3103	C₂²	1	12	yes	complemented
25	#2982	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#2628	C₂²	1	3	yes	—
27	#2581	C₂²	1	3	yes	complemented
28	#2568	C₂²	1	3	yes	complemented
29	#2451	—	2	3	no	—
30	#2439	—	2	3	no	—
31	#2396	C₂²	1	3	yes	—
32	#2351	—	2	1	no	—
33	#2351	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	Q₈×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
35	#1616	C₂²	1	24	yes	complemented
36	#1616	C₂²	1	12	yes	complemented
37	#1613	C₂²	1	12	yes	—
38	#1604	C₂²	1	12	yes	complemented
39	#1601	C₂²	1	4	yes	—
40	#1517	C₂²	1	12	yes	complemented
41	#1502	C₂²	1	12	yes	complemented
42	#1461	C₂²	1	6	yes	complemented
43	#1458	C₂²	1	6	yes	—
44	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	8	no	—
45	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	6	no	—
46	C₂×2₋¹⁺⁴	—	2	2	no	—
47	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
48	C₂×2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
49	C₂²×#41	—	2	4	no	—
50	C₂²×#41	—	2	6	no	—
51	C₂³×Q₈	—	2	4	no	—
52	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
53	Q₈²	—	2	8	no	—
54	#550	—	2	4	no	—
55	#550	—	2	12	no	—
56	#550	—	2	12	no	—
57	#550	D₄	1	8	yes	—
58	D₄×Q₈	—	2	4	no	—
59	D₄×Q₈	—	2	12	no	—
60	D₄×Q₈	—	2	12	no	—
61	D₄×Q₈	D₄	1	8	yes	—
62	#548	—	2	8	no	—
63	#548	—	2	24	no	—
64	#548	—	2	8	no	—
65	#548	—	2	24	no	—
66	#537	—	2	6	no	—
67	#537	—	2	6	no	—
68	#537	—	2	6	no	—
69	#537	C₂³	1	12	yes	—
70	#536	—	2	12	no	—
71	#536	—	2	12	no	—
72	#535	—	2	12	no	—
73	#535	—	2	12	no	—
74	#534	—	2	6	no	—
75	#534	C₂³	1	4	yes	—
76	#532	—	2	12	no	—
77	#532	—	2	6	no	—
78	#532	C₂³	1	12	yes	—
79	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	3	no	—
80	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	3	yes	—
81	#525	—	2	24	no	—
82	#525	—	2	24	no	—
83	#519	—	2	8	no	—
84	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
85	C₂×C₄×Q₈	—	2	1	no	—
86	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	3	yes	—
88	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
89	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	3	yes	—
90	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	C₂×#117	D₄	1	3	yes	—
92	C₂×#117	C₂³	1	3	yes	—
93	#498	—	2	12	no	—
94	#486	—	2	12	no	—
95	#481	C₂³	1	24	yes	—
96	#476	—	2	24	no	—
97	#475	—	2	12	no	—
98	#460	—	2	12	no	—
99	#448	C₂³	1	8	yes	—
100	C₈×Q₈	—	2	8	no	—
101	C₄×SD₁₆	—	2	24	no	—
102	#431	C₂³	1	12	yes	—
103	#400	C₂³	1	3	yes	—
104	#400	C₂³	1	6	yes	—
105	#399	C₂³	1	3	yes	—
106	#398	—	2	3	no	—
107	#396	—	2	3	no	—
108	#395	—	2	3	no	—
109	#395	C₂³	1	3	yes	—
110	#393	—	2	3	no	—
111	#393	C₂³	1	1	yes	characteristic
112	#391	—	2	3	no	—
113	#391	—	2	3	no	—
114	#391	—	2	6	no	—
115	#389	—	2	3	no	—
116	#389	—	2	3	no	—
117	#389	—	2	3	no	—
118	#387	—	2	6	no	—
119	#382	—	2	3	no	—
120	#382	C₂³	1	3	yes	—
121	#380	—	2	3	no	—
122	C₄×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
123	C₄×C₄⋊C₄	C₂³	1	3	yes	—
124	C₄×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
125	#327	C₂³	1	8	yes	—
126	#327	C₂³	1	24	yes	—
127	#324	C₂³	1	12	yes	—
128	#323	C₂³	1	4	yes	—
129	2₋¹⁺⁴	—	4	64	no	—
130	2₋¹⁺⁴	—	4	24	no	—
131	2₋¹⁺⁴	—	4	24	no	—
132	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
133	2₋¹⁺⁴	—	4	8	no	—
134	C₂×#41	—	2	12	no	—
135	C₂×#41	—	2	12	no	—
136	C₂×#41	—	2	24	no	—
137	C₂×#41	—	2	8	no	—
138	C₂×#41	—	2	12	no	—
139	C₂×#41	—	2	12	no	—
140	C₂×#41	—	4	24	no	—
141	C₂×#41	—	4	32	no	—
142	C₂×#41	—	4	24	no	—
143	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
144	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
145	C₂²×Q₈	—	2	6	no	—
146	C₂²×Q₈	—	2	24	no	—
147	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
148	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
149	C₂²×Q₈	—	4	32	no	—
150	C₂²×Q₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
151	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	3	yes	—
152	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×Q₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
154	C₂²×D₄	—	2	6	no	—
155	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
156	C₂³×C₄	—	2	12	no	—
157	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
158	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
159	C₄⋊Q₈	—	2	6	no	—
160	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
161	C₄⋊Q₈	—	2	12	no	—
162	C₄⋊Q₈	—	4	12	no	—
163	C₄⋊Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
164	#127	—	2	12	no	—
165	#127	—	2	6	no	—
166	#127	C₂×D₄	1	12	yes	—
167	#124	—	2	12	no	—
168	#124	—	2	24	no	—
169	#124	—	2	12	no	—
170	#123	—	2	24	no	—
171	#123	—	2	8	no	—
172	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
173	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
174	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
175	C₂²⋊Q₈	—	2	24	no	—
176	#121	—	2	24	no	—
177	#121	—	2	24	no	—
178	#121	—	2	24	no	—
179	#121	—	2	12	no	—
180	#121	—	2	4	no	—
181	#121	—	2	12	no	—
182	#121	—	2	24	no	—
183	#121	C₂⁴	1	8	yes	—
184	#120	—	2	24	no	—
185	#120	—	2	8	no	—
186	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
187	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
188	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
189	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
190	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
191	C₄×Q₈	—	4	4	no	—
192	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
193	C₄×D₄	—	2	12	no	—
194	C₄×D₄	—	2	12	no	—
195	C₄×D₄	—	2	24	no	—
196	C₄×D₄	—	2	24	no	—
197	C₄×D₄	—	2	12	no	—
198	C₄×D₄	C₂×D₄	1	24	yes	—
199	#117	—	2	12	no	—
200	#117	—	2	12	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
208	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
210	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
211	C₂×C₄⋊C₄	C₂⁴	1	3	yes	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	3	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	C₂×D₄	1	3	yes	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
216	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
217	C₂×C₄²	—	2	3	no	—
218	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	6	yes	—
219	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
221	#106	—	2	24	no	—
222	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
223	#103	—	2	8	no	—
224	#102	—	2	24	no	—
225	C₂²⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
226	C₄×C₈	—	2	12	no	—
227	#95	—	2	3	no	—
228	#95	—	2	3	no	—
229	#95	—	2	1	no	—
230	#95	—	2	3	no	—
231	#95	—	2	6	no	—
232	#95	—	2	6	no	—
233	#95	—	2	3	no	—
234	#95	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
235	#95	C₂⁴	1	3	yes	—
236	C₂⁴	—	2	4	no	—
237	C₂⁴	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
238	#41	—	4	24	no	—
239	#41	—	4	48	no	—
240	#41	—	4	48	no	—
241	#41	—	4	96	no	—
242	#41	—	4	32	no	—
243	#41	—	4	24	no	—
244	#41	—	4	24	no	—
245	#41	—	4	24	no	—
246	C₂×Q₈	—	2	32	no	—
247	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
248	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
249	C₂×Q₈	—	2	12	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	4	24	no	—
254	C₂×Q₈	—	4	96	no	—
255	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	6	no	—
257	C₂×Q₈	—	8	6	no	—
258	C₂×Q₈	#120	1	4	yes	—
259	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	12	yes	—
260	C₂×Q₈	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
261	C₂×Q₈	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
262	C₂×D₄	—	2	8	no	—
263	C₂×D₄	—	2	12	no	—
264	C₂×D₄	—	2	8	no	—
265	C₂×D₄	—	2	12	no	—
266	C₂×D₄	—	2	4	no	—
267	C₂×D₄	—	2	12	no	—
268	C₂×D₄	—	2	12	no	—
269	C₂×D₄	—	4	24	no	—
270	C₂×D₄	—	4	8	no	—
271	C₂×D₄	—	4	8	no	—
272	C₂×D₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
273	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	24	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	3	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	48	no	—
283	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	12	yes	—
284	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
285	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
289	C₂²×C₄	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
290	SD₁₆	—	4	16	no	—
291	C₂×C₈	—	2	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
295	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
296	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
297	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
299	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
300	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
301	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	6	no	—
303	C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
304	C₄⋊C₄	—	8	3	no	—
305	C₄⋊C₄	#120	1	12	yes	—
306	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	8	yes	—
307	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
308	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	6	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	24	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	8	3	no	—
315	C₄²	—	2	12	no	—
316	C₄²	—	2	6	no	—
317	C₄²	—	4	6	no	—
318	C₄²	—	4	6	no	—
319	C₄²	C₂²×D₄	1	12	yes	—
320	C₂³	—	2	1	no	—
321	C₂³	—	2	1	no	—
322	C₂³	—	2	8	no	—
323	C₂³	—	4	1	no	—
324	C₂³	—	4	1	no	—
325	C₂³	—	4	8	no	—
326	C₂³	—	8	4	no	—
327	C₂³	—	8	4	no	—
328	C₂³	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
329	C₂³	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
330	Q₈	—	2	24	no	—
331	Q₈	—	2	4	no	—
332	Q₈	—	4	2	no	—
333	Q₈	—	4	24	no	—
334	Q₈	—	4	24	no	—
335	Q₈	—	16	6	no	—
336	Q₈	#450	1	16	yes	—
337	D₄	—	4	8	no	—
338	D₄	—	4	24	no	—
339	D₄	—	4	16	no	—
340	D₄	—	4	8	no	—
341	D₄	—	4	8	no	—
342	D₄	—	4	24	no	—
343	D₄	—	8	12	no	—
344	D₄	—	8	4	no	—
345	D₄	—	8	12	no	—
346	C₂×C₄	—	2	3	no	—
347	C₂×C₄	—	2	3	no	—
348	C₂×C₄	—	2	24	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	1	no	—
351	C₂×C₄	—	2	3	no	—
352	C₂×C₄	—	2	8	no	—
353	C₂×C₄	—	4	3	no	—
354	C₂×C₄	—	4	1	no	—
355	C₂×C₄	—	4	48	no	—
356	C₂×C₄	—	4	8	no	—
357	C₂×C₄	—	4	1	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	48	no	—
360	C₂×C₄	—	4	3	no	—
361	C₂×C₄	—	4	1	no	—
362	C₂×C₄	—	4	1	no	—
363	C₂×C₄	—	4	3	no	—
364	C₂×C₄	—	4	3	no	—
365	C₂×C₄	—	4	3	no	—
366	C₂×C₄	—	4	1	no	—
367	C₂×C₄	—	4	3	no	—
368	C₂×C₄	—	4	3	no	—
369	C₂×C₄	—	4	1	no	—
370	C₂×C₄	—	4	3	no	—
371	C₂×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
372	C₂×C₄	C₂×#120	1	6	yes	—
373	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
374	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
375	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
376	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
377	C₈	—	4	8	no	—
378	C₂²	—	2	1	no	—
379	C₂²	—	2	1	no	—
380	C₂²	—	2	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	1	no	—
383	C₂²	—	4	1	no	—
384	C₂²	—	4	8	no	—
385	C₂²	—	4	8	no	—
386	C₂²	—	4	8	no	—
387	C₂²	—	8	1	no	—
388	C₂²	—	8	16	no	—
389	C₂²	C₂²×#120	1	1	yes	characteristic
390	C₂²	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
391	C₂²	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
392	C₄	—	2	6	no	—
393	C₄	—	2	6	no	—
394	C₄	—	2	2	no	—
395	C₄	—	4	8	no	—
396	C₄	—	4	1	no	—
397	C₄	—	4	2	no	—
398	C₄	—	4	3	no	—
399	C₄	—	8	1	no	—
400	C₄	—	8	3	no	—
401	C₄	—	8	3	no	—
402	C₄	C₂×#450	1	12	yes	—
403	C₂	—	2	1	no	—
404	C₂	—	2	1	no	—
405	C₂	—	4	2	no	—
406	C₂	—	8	8	no	—
407	C₂	C₂²×#450	1	1	yes	characteristic
408	C₂	#60390	1	1	yes	characteristic
409	C₂	#60400	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#120
commutator, Frattini, cosocle	C₂²×C₄	C₂⁵
prime radical	#62848	C₂
LCS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄×Q₈ ◁ G
LECS	G ▷ C₂²×C₄ ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #61820	C₂	semidirect
3. #35711	C₂	semidirect
4. #18409	C₂	semidirect
5. #18309	C₂	semidirect
6. #18219	C₂	semidirect
7. #18123	C₂	semidirect
8. #17618	C₂	semidirect
9. #17352	C₂	semidirect
17. C₂×Q₈²	C₂²	semidirect
23. #3227	C₂²	semidirect
24. #3103	C₂²	semidirect
25. #2982	C₂²	semidirect
27. #2581	C₂²	semidirect
28. #2568	C₂²	semidirect
33. #2351	C₂²	semidirect
35. #1616	C₂²	semidirect
36. #1616	C₂²	semidirect
38. #1604	C₂²	semidirect
40. #1517	C₂²	semidirect
41. #1502	C₂²	semidirect
42. #1461	C₂²	semidirect
150. C₂²×Q₈	SD₁₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#62848	2
#61820	2
#35711	2
#18409	2
#18309	2
#18219	2
#18123	2
#17618	2
#17352	2