Subgroups — C₂²×#1688 #6353612

Order 512.

2554 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 256 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#493	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂²×#460	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂²×#446	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#1688	C₂	1	24	yes	maximal, direct product factor
5	C₂²×#334	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	C₂²×#331	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₂³×SD₁₆	—	2	2	no	—
8	C₂³×D₈	—	2	1	no	—
9	C₂³×D₈	—	2	1	no	—
10	C₂²×#127	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×C₄×Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#493	—	2	6	no	—
13	C₂×#493	C₂²	1	12	yes	—
14	C₂×#460	—	2	12	no	—
15	C₂×#460	C₂²	1	24	yes	complemented
16	C₂×#446	—	2	6	no	—
17	C₂×#446	C₂²	1	12	yes	complemented
18	C₂²×C₄⋊C₈	—	2	1	no	—
19	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂²×C₄⋊C₈	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂²×#102	—	2	2	no	—
22	C₂²×#97	—	2	1	no	—
23	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#1688	C₂²	1	64	yes	direct product factor
25	C₂×#334	C₂²	1	12	yes	complemented
26	C₂×#331	C₂²	1	24	yes	complemented
27	C₂³×Q₈	D₄	1	1	yes	characteristic
28	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
29	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
30	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
31	C₂²×SD₁₆	—	2	24	no	—
32	C₂²×SD₁₆	—	4	16	no	—
33	C₂²×D₈	—	2	12	no	—
34	C₂²×D₈	—	2	12	no	—
35	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
36	C₂²×D₈	—	4	8	no	—
37	C₂³×C₈	—	2	1	no	—
38	C₂³×C₈	—	2	2	no	—
39	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂³×C₈	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#127	—	2	6	no	—
42	C₂×#127	—	2	6	no	—
43	C₂×#127	—	2	6	no	—
44	C₂×#127	C₂³	1	12	yes	—
45	C₂×C₄×Q₈	—	2	3	no	—
46	C₂×C₄×Q₈	—	2	3	no	—
47	C₂×C₄×Q₈	D₄	1	6	yes	—
48	C₂×C₄×Q₈	C₂³	1	6	yes	—
49	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
50	C₂²×C₄⋊C₄	D₄	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×C₄²	—	2	1	no	—
52	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	#493	—	2	24	no	—
54	#493	C₂³	1	16	yes	—
55	#460	—	2	48	no	—
56	#460	C₂³	1	32	yes	complemented
57	#446	—	2	24	no	—
58	#446	C₂³	1	16	yes	complemented
59	C₂×C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
60	C₂×C₄⋊C₈	—	2	3	no	—
61	C₂×C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
62	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	6	yes	—
63	C₂×C₄⋊C₈	C₂³	1	12	yes	—
64	C₂×#102	—	2	24	no	—
65	C₂×#97	—	2	12	no	—
66	C₂×C₄×C₈	D₄	1	6	yes	—
67	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	6	yes	—
68	#334	C₂³	1	16	yes	complemented
69	#331	C₂³	1	32	yes	complemented
70	C₂⁵	—	4	2	no	—
71	C₂²×Q₈	—	2	3	no	—
72	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
73	C₂²×Q₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
74	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
75	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
76	C₂²×D₄	—	2	12	no	—
77	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
78	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
79	C₂²×D₄	—	4	6	no	—
80	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
81	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
82	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
83	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
84	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
85	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
86	C₂³×C₄	—	2	1	no	—
87	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂³×C₄	#41	1	1	yes	characteristic
90	C₂×SD₁₆	—	2	32	no	—
91	C₂×SD₁₆	—	4	96	no	—
92	C₂×D₈	—	2	16	no	—
93	C₂×D₈	—	2	16	no	—
94	C₂×D₈	—	4	48	no	—
95	C₂×D₈	—	4	48	no	—
96	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
97	C₂²×C₈	—	2	12	no	—
98	C₂²×C₈	—	2	6	no	—
99	C₂²×C₈	—	4	4	no	—
100	C₂²×C₈	—	4	8	no	—
101	C₂²×C₈	SD₁₆	1	8	yes	complemented
102	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
103	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	6	yes	—
104	#127	—	2	12	no	—
105	#127	—	2	12	no	—
106	#127	—	2	12	no	—
107	#127	—	4	12	no	—
108	#127	C₂⁴	1	8	yes	—
109	C₄×Q₈	—	2	12	no	—
110	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
111	C₄×Q₈	—	2	6	no	—
112	C₄×Q₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
113	C₄×Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
114	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
115	C₂×C₄⋊C₄	—	2	3	no	—
116	C₂×C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
117	C₂×C₄⋊C₄	C₂×D₄	1	6	yes	—
118	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
119	C₂×C₄²	—	2	6	no	—
120	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
121	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	3	yes	—
122	C₂×C₄²	#41	1	3	yes	—
123	C₂×C₄²	C₂⁴	1	3	yes	—
124	C₄⋊C₈	—	2	16	no	—
125	C₄⋊C₈	—	2	6	no	—
126	C₄⋊C₈	—	2	12	no	—
127	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
128	C₄⋊C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
129	#102	—	2	32	no	—
130	#97	—	2	16	no	—
131	C₄×C₈	C₂×D₄	1	12	yes	—
132	C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
133	C₂⁴	—	4	12	no	—
134	C₂⁴	—	8	8	no	—
135	C₂⁴	—	8	8	no	—
136	C₂⁴	—	8	8	no	—
137	C₂⁴	#121	1	1	yes	characteristic
138	C₂×Q₈	—	2	6	no	—
139	C₂×Q₈	—	2	24	no	—
140	C₂×Q₈	—	4	12	no	—
141	C₂×Q₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
142	C₂×D₄	—	2	8	no	—
143	C₂×D₄	—	2	8	no	—
144	C₂×D₄	—	2	8	no	—
145	C₂×D₄	—	4	12	no	—
146	C₂×D₄	—	4	12	no	—
147	C₂×D₄	—	4	12	no	—
148	C₂×D₄	—	4	24	no	—
149	C₂×D₄	—	4	24	no	—
150	C₂×D₄	—	4	24	no	—
151	C₂×D₄	—	4	24	no	—
152	C₂×D₄	—	8	24	no	—
153	C₂×D₄	—	8	24	no	—
154	C₂×D₄	—	8	24	no	—
155	C₂×D₄	—	8	24	no	—
156	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
157	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
158	C₂²×C₄	—	2	6	no	—
159	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
160	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
161	C₂²×C₄	#121	1	3	yes	—
162	C₂²×C₄	#121	1	3	yes	—
163	C₂²×C₄	#121	1	3	yes	—
164	C₂²×C₄	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
165	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
166	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
167	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
168	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	3	yes	—
169	C₂²×C₄	C₂×#41	1	3	yes	—
170	SD₁₆	—	4	64	no	—
171	D₈	—	4	32	no	—
172	D₈	—	4	32	no	—
173	C₂×C₈	—	2	12	no	—
174	C₂×C₈	—	2	4	no	—
175	C₂×C₈	—	2	8	no	—
176	C₂×C₈	—	4	12	no	—
177	C₂×C₈	—	4	24	no	—
178	C₂×C₈	C₂×SD₁₆	1	24	yes	complemented
179	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
180	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
181	C₄⋊C₄	—	2	12	no	—
182	C₄⋊C₄	—	2	6	no	—
183	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
184	C₄⋊C₄	C₂²×D₄	1	4	yes	—
185	C₄²	—	2	12	no	—
186	C₄²	—	2	4	no	—
187	C₄²	#121	1	6	yes	—
188	C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
189	C₄²	C₂²×D₄	1	3	yes	—
190	C₄²	C₂×#41	1	3	yes	—
191	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
192	C₂³	—	4	8	no	—
193	C₂³	—	8	24	no	—
194	C₂³	—	8	24	no	—
195	C₂³	—	8	24	no	—
196	C₂³	—	16	32	no	—
197	C₂³	#460	1	4	yes	—
198	C₂³	#469	1	4	yes	—
199	C₂³	#472	1	4	yes	—
200	C₂³	C₂×#121	1	3	yes	—
201	Q₈	—	2	8	no	—
202	Q₈	—	4	12	no	—
203	D₄	—	4	8	no	—
204	D₄	—	4	8	no	—
205	D₄	—	4	8	no	—
206	D₄	—	4	8	no	—
207	D₄	—	8	8	no	—
208	D₄	—	8	24	no	—
209	D₄	—	8	24	no	—
210	D₄	—	8	24	no	—
211	C₂×C₄	—	2	6	no	—
212	C₂×C₄	—	2	6	no	—
213	C₂×C₄	—	2	4	no	—
214	C₂×C₄	—	2	4	no	—
215	C₂×C₄	—	4	12	no	—
216	C₂×C₄	—	4	12	no	—
217	C₂×C₄	#460	1	12	yes	—
218	C₂×C₄	#469	1	12	yes	—
219	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
220	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
221	C₂×C₄	C₂×#121	1	3	yes	—
222	C₂×C₄	C₂²×SD₁₆	1	6	yes	—
223	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	6	yes	—
224	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	12	yes	—
225	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
226	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
227	C₂×C₄	C₂²×#41	1	1	yes	characteristic
228	C₈	—	2	4	no	—
229	C₈	—	4	4	no	—
230	C₈	—	4	8	no	—
231	C₈	C₂²×SD₁₆	1	8	yes	complemented
232	C₂²	—	8	8	no	—
233	C₂²	—	8	8	no	—
234	C₂²	—	8	8	no	—
235	C₂²	—	16	48	no	—
236	C₂²	#1688	1	16	yes	direct product factor
237	C₂²	C₂×#460	1	6	yes	—
238	C₂²	C₂×#469	1	6	yes	—
239	C₂²	C₂×#472	1	6	yes	—
240	C₂²	C₂²×#121	1	1	yes	characteristic
241	C₄	—	2	3	no	—
242	C₄	—	2	1	no	—
243	C₄	—	4	4	no	—
244	C₄	—	4	4	no	—
245	C₄	C₂×#460	1	6	yes	—
246	C₄	C₂×#469	1	6	yes	—
247	C₄	C₂³×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
248	C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
249	C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
250	C₂	—	16	8	no	—
251	C₂	C₂×#1688	1	12	yes	direct product factor
252	C₂	C₂²×#460	1	1	yes	characteristic
253	C₂	C₂²×#469	1	1	yes	characteristic
254	C₂	C₂²×#472	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center, socle	C₂⁴	#121
commutator, Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
prime radical	C₂²×#493	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂⁴ ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂²×#460	C₂	semidirect
3. C₂²×#446	C₂	semidirect
4. C₂×#1688	C₂	direct (N × H)
5. C₂²×#334	C₂	semidirect
6. C₂²×#331	C₂	semidirect
15. C₂×#460	C₂²	semidirect
17. C₂×#446	C₂²	semidirect
24. #1688	C₂²	direct (N × H)
25. C₂×#334	C₂²	semidirect
26. C₂×#331	C₂²	semidirect
56. #460	C₂³	semidirect
58. #446	C₂³	semidirect
68. #334	C₂³	semidirect
69. #331	C₂³	semidirect
101. C₂²×C₈	SD₁₆	semidirect
178. C₂×C₈	C₂×SD₁₆	semidirect
231. C₈	C₂²×SD₁₆	semidirect
236. C₂²	#1688	direct (N × H)
251. C₂	C₂×#1688	direct (N × H)

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#493	2
C₂²×#460	2
C₂²×#446	2
C₂×#1688	2
C₂²×#334	2
C₂²×#331	2

Subgroups — C22×#1688 #6353612

Conjugacy classes of subgroups

Complements

Maximal subgroups

Subgroups — C₂²×#1688 #6353612