Subgroups — #6357303

Order 512.

2200 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 426 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60941	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3226	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#60639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#3139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#19700	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#19678	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#19675	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#17319	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#575	—	2	2	no	—
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3246	—	2	4	no	—
14	#3229	C₂²	1	4	yes	complemented
15	#3227	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#3226	—	2	4	no	—
17	#3226	—	2	4	no	—
18	#3226	C₂²	1	8	yes	—
19	#3226	C₂²	1	8	yes	complemented
20	#3208	C₂²	1	4	yes	complemented
21	#3206	C₂²	1	4	yes	complemented
22	#3187	—	2	4	no	—
23	#3167	C₂²	1	8	yes	—
24	C₂×#500	C₂²	1	4	yes	complemented
25	#3153	—	2	4	no	—
26	#3152	C₂²	1	4	yes	—
27	#3151	C₂²	1	4	yes	—
28	#3150	—	2	2	no	—
29	#3147	C₂²	1	4	yes	—
30	#3139	—	2	4	no	—
31	#3139	C₂²	1	8	yes	complemented
32	C₂×#491	—	2	2	no	—
33	C₂×#487	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#3103	—	2	4	no	—
36	#3101	—	2	4	no	—
37	C₂×#480	—	2	4	no	—
38	C₂×#474	—	2	4	no	—
39	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#419	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1723	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#1719	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#1717	C₂²	1	16	yes	complemented
45	#1714	C₂²	1	16	yes	complemented
46	#1452	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#1451	C₂²	1	8	yes	complemented
48	C₂²×#41	—	2	2	no	—
49	C₂³×Q₈	—	2	1	no	—
50	#575	—	4	16	no	—
51	C₂×#137	—	2	8	no	—
52	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
53	C₂×#135	—	2	8	no	—
54	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
55	#533	—	2	2	no	—
56	#533	—	2	2	no	—
57	#533	—	2	2	no	—
58	#533	C₂³	1	4	yes	—
59	#532	—	2	2	no	—
60	#532	—	2	2	no	—
61	#532	—	2	2	no	—
62	#532	—	2	2	no	—
63	#532	—	2	2	no	—
64	#532	—	2	2	no	—
65	#532	C₂³	1	4	yes	—
66	#532	C₂³	1	4	yes	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
71	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
73	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#125	—	2	1	no	—
78	C₂×#124	—	2	2	no	—
79	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
80	C₂×#121	—	2	2	no	—
81	C₂×#121	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
83	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
85	C₂×#117	—	2	1	no	—
86	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#500	—	2	8	no	—
89	#500	C₂³	1	16	yes	—
90	#498	C₂³	1	8	yes	—
91	#497	—	2	8	no	—
92	#496	—	2	8	no	—
93	#495	—	2	8	no	—
94	#494	C₂³	1	4	yes	—
95	#493	C₂³	1	4	yes	—
96	#492	C₂³	1	8	yes	—
97	#492	C₂³	1	8	yes	—
98	#491	—	2	16	no	—
99	#487	—	2	8	no	—
100	#487	C₂³	1	16	yes	—
101	#487	C₂³	1	8	yes	—
102	#486	—	2	8	no	—
103	#486	C₂³	1	16	yes	—
104	#486	C₂³	1	8	yes	—
105	#483	—	2	8	no	—
106	#481	—	2	8	no	—
107	#480	—	2	16	no	—
108	#480	—	2	16	no	—
109	#476	—	2	8	no	—
110	#475	—	2	8	no	—
111	#474	—	2	16	no	—
112	#474	—	2	16	no	—
113	#465	—	2	16	no	—
114	#461	—	2	8	no	—
115	#460	—	2	8	no	—
116	#450	—	2	8	no	—
117	#448	—	2	8	no	—
118	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
119	#431	D₄	1	4	yes	—
120	#431	D₄	1	4	yes	—
121	#431	C₂³	1	4	yes	—
122	#431	C₂³	1	4	yes	—
123	C₂×#107	—	2	8	no	—
124	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
125	#419	—	2	16	no	—
126	C₂×#103	—	2	8	no	—
127	C₂×#102	—	2	8	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
129	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
130	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
134	#322	C₂³	1	16	yes	—
135	C₂×#41	—	2	4	no	—
136	C₂×#41	—	2	4	no	—
137	C₂×#41	—	4	2	no	—
138	C₂×#41	—	4	2	no	—
139	C₂×#41	—	4	16	no	—
140	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
141	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
143	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
144	C₂²×Q₈	—	4	1	no	—
145	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
146	C₂²×Q₈	—	4	8	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
150	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
151	C₂³×C₄	—	4	1	no	—
152	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
153	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
154	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
155	#137	—	4	32	no	—
156	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
157	#135	—	4	32	no	—
158	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
159	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
160	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
161	C₂×D₈	—	2	8	no	—
162	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
163	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
164	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
165	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
173	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
174	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
175	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	4	1	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
181	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
183	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
184	#127	—	2	2	no	—
185	#127	—	2	2	no	—
186	#127	—	2	2	no	—
187	#127	C₂⁴	1	4	yes	—
188	#125	—	2	4	no	—
189	#125	—	4	1	no	—
190	#125	—	4	1	no	—
191	#124	—	2	4	no	—
192	#124	—	2	4	no	—
193	#124	—	4	2	no	—
194	#124	—	4	2	no	—
195	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
196	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
197	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
198	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
199	#121	—	2	4	no	—
200	#121	—	2	4	no	—
201	#121	—	2	4	no	—
202	#121	—	2	4	no	—
203	#121	—	4	2	no	—
204	#121	—	4	2	no	—
205	#121	—	4	2	no	—
206	#121	—	4	2	no	—
207	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
208	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
209	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
210	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
211	C₄×D₄	—	2	4	no	—
212	C₄×D₄	—	2	4	no	—
213	C₄×D₄	—	2	4	no	—
214	C₄×D₄	—	2	4	no	—
215	C₄×D₄	—	4	2	no	—
216	C₄×D₄	—	4	2	no	—
217	C₄×D₄	—	4	2	no	—
218	C₄×D₄	—	4	2	no	—
219	#117	—	2	4	no	—
220	#117	—	4	2	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
232	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
233	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
234	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
236	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
237	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
238	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
239	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
242	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
243	#107	—	2	32	no	—
244	#106	—	2	16	no	—
245	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
246	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
247	#103	—	2	32	no	—
248	#103	—	2	16	no	—
249	#102	—	2	32	no	—
250	#102	—	2	16	no	—
251	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
252	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
253	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
254	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
255	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
256	C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
257	C₄×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
258	C₂⁴	—	4	2	no	—
259	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
260	#41	—	4	16	no	—
261	#41	—	4	16	no	—
262	#41	—	8	8	no	—
263	#41	—	8	8	no	—
264	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
269	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
270	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
271	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
272	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
273	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
274	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
275	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
276	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
277	C₂×D₄	—	2	4	no	—
278	C₂×D₄	—	2	4	no	—
279	C₂×D₄	—	2	4	no	—
280	C₂×D₄	—	4	8	no	—
281	C₂×D₄	—	4	4	no	—
282	C₂×D₄	—	4	4	no	—
283	C₂×D₄	—	4	2	no	—
284	C₂×D₄	—	4	2	no	—
285	C₂×D₄	—	4	2	no	—
286	C₂×D₄	—	4	8	no	—
287	C₂×D₄	—	8	4	no	—
288	C₂×D₄	—	8	8	no	—
289	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
290	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
292	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
297	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
298	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
299	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
301	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
302	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
308	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	Q₁₆	—	4	16	no	—
310	SD₁₆	—	4	32	no	—
311	SD₁₆	—	8	16	no	—
312	D₈	—	4	16	no	—
313	M₁₆	—	2	16	no	—
314	C₂×C₈	—	2	8	no	—
315	C₂×C₈	—	4	8	no	—
316	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
317	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
318	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
325	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
326	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
328	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
329	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
330	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
337	C₄²	—	4	4	no	—
338	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
339	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
340	C₄²	#127	1	2	yes	—
341	C₄²	#127	1	2	yes	—
342	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
343	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
344	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
345	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
346	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
347	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
348	C₂³	—	4	2	no	—
349	C₂³	—	4	4	no	—
350	C₂³	—	8	4	no	—
351	C₂³	—	8	4	no	—
352	C₂³	—	8	4	no	—
353	C₂³	#496	1	4	yes	—
354	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
355	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
356	Q₈	—	4	8	no	—
357	Q₈	—	4	8	no	—
358	Q₈	—	4	8	no	—
359	Q₈	—	8	4	no	—
360	Q₈	—	8	4	no	—
361	Q₈	—	8	8	no	—
362	Q₈	—	8	4	no	—
363	D₄	—	4	8	no	—
364	D₄	—	4	8	no	—
365	D₄	—	4	8	no	—
366	D₄	—	8	4	no	—
367	D₄	—	8	4	no	—
368	D₄	—	8	8	no	—
369	D₄	—	8	8	no	—
370	D₄	—	8	4	no	—
371	C₂×C₄	—	2	4	no	—
372	C₂×C₄	—	2	4	no	—
373	C₂×C₄	—	2	4	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	2	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	4	4	no	—
378	C₂×C₄	—	4	4	no	—
379	C₂×C₄	—	4	4	no	—
380	C₂×C₄	—	8	4	no	—
381	C₂×C₄	—	8	4	no	—
382	C₂×C₄	—	8	8	no	—
383	C₂×C₄	—	8	4	no	—
384	C₂×C₄	—	8	8	no	—
385	C₂×C₄	—	8	8	no	—
386	C₂×C₄	#496	1	8	yes	—
387	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
389	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
390	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
393	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
394	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
395	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
396	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
397	C₈	—	2	16	no	—
398	C₈	—	2	8	no	—
399	C₂²	—	2	2	no	—
400	C₂²	—	2	2	no	—
401	C₂²	—	2	2	no	—
402	C₂²	—	4	4	no	—
403	C₂²	—	8	4	no	—
404	C₂²	—	8	4	no	—
405	C₂²	—	8	4	no	—
406	C₂²	—	16	8	no	—
407	C₂²	C₂×#496	1	4	yes	—
408	C₂²	C₂×#496	1	2	yes	—
409	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
410	C₄	—	2	2	no	—
411	C₄	—	2	2	no	—
412	C₄	—	2	2	no	—
413	C₄	—	8	4	no	—
414	C₄	—	8	4	no	—
415	C₄	—	8	4	no	—
416	C₄	C₂×#496	1	2	yes	—
417	C₄	C₂×#496	1	4	yes	—
418	C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
419	C₄	#3586	1	4	yes	—
420	C₂	—	2	4	no	—
421	C₂	—	2	2	no	—
422	C₂	—	16	4	no	—
423	C₂	C₂²×#496	1	1	yes	characteristic
424	C₂	#60645	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
prime radical	#60639	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60941	C₂	semidirect
2. C₂×#3226	C₂	semidirect
4. C₂×#3139	C₂	semidirect
5. #19700	C₂	semidirect
6. #19678	C₂	semidirect
7. #19675	C₂	semidirect
8. #17319	C₂	semidirect
14. #3229	C₂²	semidirect
15. #3227	C₂²	semidirect
19. #3226	C₂²	semidirect
20. #3208	C₂²	semidirect
21. #3206	C₂²	semidirect
24. C₂×#500	C₂²	semidirect
31. #3139	C₂²	semidirect
33. C₂×#487	C₂²	semidirect
34. C₂×#486	C₂²	semidirect
42. #1723	C₂²	semidirect
43. #1719	C₂²	semidirect
44. #1717	C₂²	semidirect
45. #1714	C₂²	semidirect
46. #1452	C₂²	semidirect
47. #1451	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60941	2
C₂×#3226	2
#60639	2
C₂×#3139	2
#19700	2
#19678	2
#19675	2
#17319	2