Subgroups — #6357304

Order 512.

2436 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 448 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60941	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#3205	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#60639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#3138	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#19701	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#19677	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
7	#19676	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
8	#17319	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#575	—	2	2	no	—
10	C₂×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×#127	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#3246	—	2	4	no	—
14	#3229	C₂²	1	4	yes	complemented
15	#3227	C₂²	1	4	yes	complemented
16	#3208	C₂²	1	4	yes	complemented
17	#3206	C₂²	1	4	yes	complemented
18	#3205	—	2	4	no	—
19	#3205	—	2	4	no	—
20	#3205	C₂²	1	8	yes	—
21	#3205	C₂²	1	8	yes	complemented
22	#3187	—	2	4	no	—
23	#3167	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#3153	—	2	4	no	—
25	#3152	C₂²	1	4	yes	complemented
26	#3151	C₂²	1	4	yes	complemented
27	#3150	—	2	2	no	—
28	#3147	C₂²	1	4	yes	complemented
29	C₂×#493	C₂²	1	4	yes	complemented
30	#3138	—	2	4	no	—
31	#3138	C₂²	1	8	yes	complemented
32	C₂×#490	—	2	2	no	—
33	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	complemented
34	C₂×#486	C₂²	1	4	yes	complemented
35	#3103	—	2	4	no	—
36	#3101	—	2	4	no	—
37	C₂×#459	—	2	4	no	—
38	C₂×#447	—	2	4	no	—
39	C₂×#431	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂×#418	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄×M₁₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
42	#1721	C₂²	1	16	yes	complemented
43	#1720	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#1717	C₂²	1	16	yes	complemented
45	#1715	C₂²	1	16	yes	complemented
46	#1452	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#1451	C₂²	1	8	yes	complemented
48	C₂²×#41	—	2	2	no	—
49	C₂³×D₄	—	2	1	no	—
50	C₂³×D₄	—	2	2	no	—
51	#575	—	4	16	no	—
52	C₂×#137	—	2	8	no	—
53	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	2	8	no	—
54	C₂×#135	—	2	8	no	—
55	C₂²×D₈	—	2	8	no	—
56	C₂²×M₁₆	D₄	1	2	yes	—
57	#533	—	2	2	no	—
58	#533	—	2	2	no	—
59	#533	—	2	2	no	—
60	#533	C₂³	1	4	yes	—
61	#532	—	2	2	no	—
62	#532	—	2	2	no	—
63	#532	—	2	2	no	—
64	#532	—	2	2	no	—
65	#532	—	2	2	no	—
66	#532	—	2	2	no	—
67	#532	C₂³	1	4	yes	—
68	#532	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×#127	—	2	1	no	—
72	C₂×#127	—	2	2	no	—
73	C₂×#127	—	2	2	no	—
74	C₂×#127	—	2	2	no	—
75	C₂×#127	—	2	2	no	—
76	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#127	C₂³	1	4	yes	—
78	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
79	C₂×#125	—	2	1	no	—
80	C₂×#124	—	2	2	no	—
81	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
82	C₂×#121	—	2	2	no	—
83	C₂×#121	—	2	2	no	—
84	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
85	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
86	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
87	C₂×#117	—	2	1	no	—
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#498	C₂³	1	8	yes	complemented
90	#497	—	2	8	no	—
91	#496	—	2	8	no	—
92	#495	—	2	8	no	—
93	#494	C₂³	1	4	yes	complemented
94	#493	—	2	8	no	—
95	#493	C₂³	1	16	yes	—
96	#493	C₂³	1	4	yes	complemented
97	#492	C₂³	1	8	yes	complemented
98	#492	C₂³	1	8	yes	complemented
99	#490	—	2	16	no	—
100	#487	C₂³	1	8	yes	complemented
101	#486	—	2	8	no	—
102	#486	—	2	8	no	—
103	#486	C₂³	1	16	yes	—
104	#486	C₂³	1	16	yes	—
105	#486	C₂³	1	8	yes	complemented
106	#483	—	2	8	no	—
107	#481	—	2	8	no	—
108	#476	—	2	8	no	—
109	#475	—	2	8	no	—
110	#465	—	2	16	no	—
111	#461	—	2	8	no	—
112	#460	—	2	8	no	—
113	#459	—	2	16	no	—
114	#459	—	2	16	no	—
115	#450	—	2	8	no	—
116	#448	—	2	8	no	—
117	#447	—	2	16	no	—
118	#447	—	2	16	no	—
119	C₄×SD₁₆	—	2	16	no	—
120	#431	D₄	1	4	yes	—
121	#431	D₄	1	4	yes	—
122	#431	C₂³	1	4	yes	—
123	#431	C₂³	1	4	yes	—
124	C₂×C₄⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
125	#418	—	2	16	no	—
126	C₂×#102	—	2	8	no	—
127	C₂×#102	—	2	8	no	—
128	C₂×C₂²⋊C₈	D₄	1	4	yes	—
129	C₄×M₁₆	D₄	1	4	yes	—
130	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
131	C₂×#97	D₄	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	4	yes	—
134	#322	C₂³	1	16	yes	complemented
135	C₂⁵	—	4	1	no	—
136	C₂×#41	—	2	4	no	—
137	C₂×#41	—	2	4	no	—
138	C₂×#41	—	4	2	no	—
139	C₂×#41	—	4	2	no	—
140	C₂×#41	—	4	16	no	—
141	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
142	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
143	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
144	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
145	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
146	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
148	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
149	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
150	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
151	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
152	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
153	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
154	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
155	C₂²×D₄	—	4	1	no	—
156	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
157	C₂²×D₄	—	4	8	no	—
158	C₂²×D₄	—	8	8	no	—
159	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
160	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
162	#137	—	4	32	no	—
163	AGL(1,ℤ/8)	—	4	32	no	—
164	#135	—	4	32	no	—
165	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
166	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
167	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
168	C₂×D₈	—	2	8	no	—
169	C₂×D₈	—	2	32	no	—
170	C₂×D₈	—	8	16	no	—
171	C₂×M₁₆	—	2	8	no	—
172	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
173	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
174	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
175	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
176	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
177	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
178	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
179	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
180	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
181	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
182	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
183	#127	—	2	4	no	—
184	#127	—	2	4	no	—
185	#127	—	2	2	no	—
186	#127	—	2	4	no	—
187	#127	—	2	4	no	—
188	#127	—	2	2	no	—
189	#127	—	2	2	no	—
190	#127	—	2	2	no	—
191	#127	—	4	1	no	—
192	#127	—	4	1	no	—
193	#127	—	4	2	no	—
194	#127	—	4	2	no	—
195	#127	C₂⁴	1	4	yes	—
196	#127	C₂⁴	1	4	yes	—
197	#125	—	2	4	no	—
198	#125	—	4	1	no	—
199	#125	—	4	1	no	—
200	#124	—	2	4	no	—
201	#124	—	2	4	no	—
202	#124	—	4	2	no	—
203	#124	—	4	2	no	—
204	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
205	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
206	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
207	C₂²⋊Q₈	—	4	2	no	—
208	#121	—	2	4	no	—
209	#121	—	2	4	no	—
210	#121	—	2	4	no	—
211	#121	—	2	4	no	—
212	#121	—	4	2	no	—
213	#121	—	4	2	no	—
214	#121	—	4	2	no	—
215	#121	—	4	2	no	—
216	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
219	C₄×Q₈	—	4	2	no	—
220	C₄×D₄	—	2	4	no	—
221	C₄×D₄	—	2	4	no	—
222	C₄×D₄	—	2	4	no	—
223	C₄×D₄	—	2	4	no	—
224	C₄×D₄	—	4	2	no	—
225	C₄×D₄	—	4	2	no	—
226	C₄×D₄	—	4	2	no	—
227	C₄×D₄	—	4	2	no	—
228	#117	—	2	4	no	—
229	#117	—	4	2	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	1	no	—
236	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
238	C₂×C₄²	—	4	1	no	—
239	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
241	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
245	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
246	#106	—	2	16	no	—
247	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
248	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
249	#103	—	2	16	no	—
250	#102	—	2	32	no	—
251	#102	—	2	32	no	—
252	#102	—	2	16	no	—
253	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
254	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
255	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
256	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
257	C₄×C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
258	C₄×C₈	C₂⁴	1	4	yes	—
259	C₄×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
260	C₂⁴	—	4	2	no	—
261	C₂⁴	—	4	4	no	—
262	C₂⁴	—	4	2	no	—
263	C₂⁴	—	8	8	no	—
264	C₂⁴	—	8	4	no	—
265	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
266	#41	—	4	16	no	—
267	#41	—	4	16	no	—
268	#41	—	8	8	no	—
269	#41	—	8	8	no	—
270	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
271	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
272	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
273	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
274	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
275	C₂×Q₈	—	8	4	no	—
276	C₂×D₄	—	2	4	no	—
277	C₂×D₄	—	2	4	no	—
278	C₂×D₄	—	2	8	no	—
279	C₂×D₄	—	2	4	no	—
280	C₂×D₄	—	2	4	no	—
281	C₂×D₄	—	4	8	no	—
282	C₂×D₄	—	4	16	no	—
283	C₂×D₄	—	4	4	no	—
284	C₂×D₄	—	4	4	no	—
285	C₂×D₄	—	4	2	no	—
286	C₂×D₄	—	4	2	no	—
287	C₂×D₄	—	4	2	no	—
288	C₂×D₄	—	4	4	no	—
289	C₂×D₄	—	4	4	no	—
290	C₂×D₄	—	4	4	no	—
291	C₂×D₄	—	4	4	no	—
292	C₂×D₄	—	4	2	no	—
293	C₂×D₄	—	4	8	no	—
294	C₂×D₄	—	4	8	no	—
295	C₂×D₄	—	4	16	no	—
296	C₂×D₄	—	8	4	no	—
297	C₂×D₄	—	8	8	no	—
298	C₂×D₄	—	8	8	no	—
299	C₂×D₄	—	8	8	no	—
300	C₂×D₄	—	8	8	no	—
301	C₂×D₄	—	8	8	no	—
302	C₂×D₄	—	8	8	no	—
303	C₂×D₄	—	8	8	no	—
304	C₂×D₄	—	8	4	no	—
305	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
306	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
311	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
312	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
313	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
314	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
315	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
316	C₂²×C₄	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
317	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
318	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
319	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
320	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
321	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
322	Q₁₆	—	4	16	no	—
323	SD₁₆	—	4	32	no	—
324	SD₁₆	—	8	16	no	—
325	D₈	—	4	16	no	—
326	D₈	—	8	32	no	—
327	M₁₆	—	2	16	no	—
328	C₂×C₈	—	2	8	no	—
329	C₂×C₈	—	4	8	no	—
330	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	8	yes	—
331	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
332	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
334	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
335	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
336	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
337	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
338	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
339	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
340	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
341	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
345	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
346	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
347	C₄²	—	4	4	no	—
348	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
349	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
350	C₄²	#127	1	2	yes	—
351	C₄²	#127	1	2	yes	—
352	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
353	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
354	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
355	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
356	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
357	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
358	C₂³	—	4	2	no	—
359	C₂³	—	4	4	no	—
360	C₂³	—	4	4	no	—
361	C₂³	—	8	8	no	—
362	C₂³	—	8	4	no	—
363	C₂³	—	8	8	no	—
364	C₂³	—	8	8	no	—
365	C₂³	—	8	4	no	—
366	C₂³	—	8	4	no	—
367	C₂³	—	8	8	no	—
368	C₂³	—	8	4	no	—
369	C₂³	—	16	16	no	—
370	C₂³	#496	1	4	yes	—
371	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
372	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
373	Q₈	—	4	8	no	—
374	Q₈	—	4	8	no	—
375	Q₈	—	8	4	no	—
376	Q₈	—	8	4	no	—
377	D₄	—	4	8	no	—
378	D₄	—	4	16	no	—
379	D₄	—	4	8	no	—
380	D₄	—	4	8	no	—
381	D₄	—	4	8	no	—
382	D₄	—	8	4	no	—
383	D₄	—	8	8	no	—
384	D₄	—	8	4	no	—
385	D₄	—	8	8	no	—
386	D₄	—	8	8	no	—
387	D₄	—	8	8	no	—
388	D₄	—	8	8	no	—
389	D₄	—	8	4	no	—
390	D₄	—	8	8	no	—
391	D₄	—	8	4	no	—
392	C₂×C₄	—	2	4	no	—
393	C₂×C₄	—	2	4	no	—
394	C₂×C₄	—	2	4	no	—
395	C₂×C₄	—	4	2	no	—
396	C₂×C₄	—	4	2	no	—
397	C₂×C₄	—	4	2	no	—
398	C₂×C₄	—	4	4	no	—
399	C₂×C₄	—	4	4	no	—
400	C₂×C₄	—	8	4	no	—
401	C₂×C₄	—	8	4	no	—
402	C₂×C₄	—	8	8	no	—
403	C₂×C₄	—	8	8	no	—
404	C₂×C₄	#496	1	8	yes	—
405	C₂×C₄	#496	1	4	yes	—
406	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
407	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
408	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
409	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
410	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
411	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
412	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
413	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
414	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
415	C₈	—	2	16	no	—
416	C₈	—	2	8	no	—
417	C₂²	—	2	2	no	—
418	C₂²	—	2	2	no	—
419	C₂²	—	2	2	no	—
420	C₂²	—	4	4	no	—
421	C₂²	—	8	4	no	—
422	C₂²	—	8	4	no	—
423	C₂²	—	8	8	no	—
424	C₂²	—	8	4	no	—
425	C₂²	—	8	4	no	—
426	C₂²	—	16	8	no	—
427	C₂²	—	16	16	no	—
428	C₂²	—	16	8	no	—
429	C₂²	C₂×#496	1	4	yes	—
430	C₂²	C₂×#496	1	2	yes	—
431	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
432	C₄	—	2	2	no	—
433	C₄	—	2	2	no	—
434	C₄	—	2	2	no	—
435	C₄	—	8	4	no	—
436	C₄	—	8	4	no	—
437	C₄	C₂×#496	1	2	yes	—
438	C₄	C₂×#496	1	4	yes	—
439	C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
440	C₄	#3585	1	4	yes	—
441	C₂	—	2	4	no	—
442	C₂	—	2	2	no	—
443	C₂	—	16	4	no	—
444	C₂	—	16	4	no	—
445	C₂	C₂²×#496	1	1	yes	characteristic
446	C₂	#60644	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60941	C₂	semidirect
2. C₂×#3205	C₂	semidirect
3. #60639	C₂	semidirect
4. C₂×#3138	C₂	semidirect
5. #19701	C₂	semidirect
6. #19677	C₂	semidirect
7. #19676	C₂	semidirect
8. #17319	C₂	semidirect
14. #3229	C₂²	semidirect
15. #3227	C₂²	semidirect
16. #3208	C₂²	semidirect
17. #3206	C₂²	semidirect
21. #3205	C₂²	semidirect
23. #3167	C₂²	semidirect
25. #3152	C₂²	semidirect
26. #3151	C₂²	semidirect
28. #3147	C₂²	semidirect
29. C₂×#493	C₂²	semidirect
31. #3138	C₂²	semidirect
33. C₂×#486	C₂²	semidirect
34. C₂×#486	C₂²	semidirect
42. #1721	C₂²	semidirect
43. #1720	C₂²	semidirect
44. #1717	C₂²	semidirect
45. #1715	C₂²	semidirect
46. #1452	C₂²	semidirect
47. #1451	C₂²	semidirect
89. #498	C₂³	semidirect
93. #494	C₂³	semidirect
96. #493	C₂³	semidirect
97. #492	C₂³	semidirect
98. #492	C₂³	semidirect
100. #487	C₂³	semidirect
105. #486	C₂³	semidirect
134. #322	C₂³	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60941	2
C₂×#3205	2
#60639	2
C₂×#3138	2
#19701	2
#19677	2
#19676	2
#17319	2