Subgroups — #6357412

Order 512.

2142 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 381 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60860	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#60673	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂²×#494	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#19699	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#19684	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
6	#19662	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#19653	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#19639	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
9	#19632	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
10	#17323	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₂³×Q₁₆	—	2	2	no	—
12	#3444	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×C₄⋊Q₈	C₂²	1	2	yes	—
14	#3239	—	2	8	no	—
15	#3238	—	2	8	no	—
16	#3230	C₂²	1	8	yes	—
17	#3229	C₂²	1	8	yes	—
18	#3227	C₂²	1	8	yes	—
19	#3226	C₂²	1	8	yes	—
20	#3170	C₂²	1	2	yes	—
21	#3169	C₂²	1	2	yes	—
22	#3168	—	2	4	no	—
23	#3167	C₂²	1	4	yes	—
24	#3165	C₂²	1	8	yes	—
25	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂×#494	—	2	4	no	—
28	C₂×#494	—	2	2	no	—
29	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#494	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×#494	C₂²	1	2	yes	—
33	#3141	C₂²	1	8	yes	—
34	#3131	C₂²	1	2	yes	—
35	#3092	—	2	8	no	—
36	#3079	—	2	8	no	—
37	#3050	—	2	2	no	—
38	C₄×#135	—	2	2	no	—
39	#2920	C₂²	1	2	yes	—
40	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	#1723	C₂²	1	16	yes	complemented
42	#1722	C₂²	1	8	yes	complemented
43	#1720	C₂²	1	16	yes	complemented
44	#1716	C₂²	1	8	yes	complemented
45	#1713	C₂²	1	4	yes	complemented
46	#1709	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#1707	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#1452	C₂²	1	2	yes	—
49	#1451	C₂²	1	4	yes	—
50	#1450	C₂²	1	2	yes	—
51	C₈×M₁₆	C₂²	1	4	yes	—
52	C₂³×Q₈	—	2	2	no	—
53	C₂×#135	—	2	2	no	—
54	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
55	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
56	C₂²×Q₁₆	—	2	8	no	—
57	C₂²×Q₁₆	—	2	4	no	—
58	C₂²×Q₁₆	—	4	16	no	—
59	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
60	#533	C₂³	1	2	yes	—
61	#533	C₂³	1	4	yes	—
62	#532	C₂³	1	2	yes	—
63	#532	C₂³	1	4	yes	—
64	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
66	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
69	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	8	yes	—
70	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	4	yes	—
71	#529	—	2	4	no	—
72	#529	—	2	4	no	—
73	#529	—	2	4	no	—
74	#525	—	2	4	no	—
75	#525	—	2	2	no	—
76	C₄×#41	—	2	4	no	—
77	C₄×#41	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
79	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#501	—	2	16	no	—
81	#500	C₂³	1	2	yes	—
82	#500	C₂³	1	16	yes	—
83	#499	—	2	2	no	—
84	#498	C₂³	1	2	yes	—
85	#498	C₂³	1	16	yes	—
86	#495	—	2	2	no	—
87	#494	—	2	8	no	—
88	#494	—	2	8	no	—
89	#494	—	2	4	no	—
90	#494	—	2	4	no	—
91	#494	C₂³	1	4	yes	—
92	#494	C₂³	1	4	yes	—
93	#494	C₂³	1	8	yes	—
94	#494	C₂³	1	1	yes	characteristic
95	#493	C₂³	1	1	yes	characteristic
96	#492	C₂³	1	2	yes	—
97	#489	—	2	16	no	—
98	#488	—	2	4	no	—
99	#487	C₂³	1	4	yes	—
100	#487	C₂³	1	16	yes	—
101	#486	C₂³	1	4	yes	—
102	#486	C₂³	1	16	yes	—
103	#484	—	2	16	no	—
104	#483	—	2	16	no	—
105	#481	—	2	16	no	—
106	#480	—	2	16	no	—
107	#477	—	2	16	no	—
108	#476	—	2	16	no	—
109	#475	—	2	16	no	—
110	#474	—	2	16	no	—
111	#467	—	2	4	no	—
112	#466	—	2	4	no	—
113	#465	—	2	8	no	—
114	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
115	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
116	C₄×D₈	—	2	4	no	—
117	#432	D₄	1	4	yes	—
118	#432	D₄	1	4	yes	—
119	#431	C₂³	1	4	yes	—
120	#431	C₂³	1	4	yes	—
121	#428	—	2	16	no	—
122	#427	—	2	2	no	—
123	#423	D₄	1	4	yes	—
124	#417	—	2	16	no	—
125	#416	—	2	4	no	—
126	#407	D₄	1	4	yes	—
127	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
128	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
129	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
134	#322	C₂³	1	8	yes	—
135	#322	C₂³	1	4	yes	—
136	C₈²	C₂³	1	4	yes	—
137	C₂×#41	—	2	2	no	—
138	C₂×#41	—	2	4	no	—
139	C₂²×Q₈	—	2	8	no	—
140	C₂²×Q₈	—	2	4	no	—
141	C₂²×Q₈	—	4	16	no	—
142	C₂²×Q₈	—	4	4	no	—
143	C₂²×Q₈	—	4	2	no	—
144	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
145	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
146	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
147	#135	—	4	8	no	—
148	C₂×Q₁₆	—	2	16	no	—
149	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
150	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
151	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
152	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
153	C₂×Q₁₆	—	4	32	no	—
154	C₂×Q₁₆	—	4	32	no	—
155	C₂×Q₁₆	—	4	16	no	—
156	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
157	C₂×D₈	—	2	2	no	—
158	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
159	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
160	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
161	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
162	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
163	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
164	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
165	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
166	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
167	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
169	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
170	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
171	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
172	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
173	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	8	yes	—
174	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
175	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
176	#127	C₂⁴	1	2	yes	—
177	#126	—	4	4	no	—
178	#125	—	2	2	no	—
179	#125	—	2	4	no	—
180	#124	—	2	2	no	—
181	#124	—	2	4	no	—
182	#123	—	4	4	no	—
183	#123	—	4	2	no	—
184	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
185	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
187	#121	—	2	4	no	—
188	#121	—	2	4	no	—
189	#121	—	2	4	no	—
190	#120	—	4	2	no	—
191	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
192	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
193	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
194	C₄×D₄	—	2	4	no	—
195	C₄×D₄	—	2	4	no	—
196	C₄×D₄	—	2	4	no	—
197	C₄×D₄	—	4	4	no	—
198	C₄×D₄	—	4	4	no	—
199	C₄×D₄	—	4	4	no	—
200	#117	—	2	2	no	—
201	#117	—	2	4	no	—
202	#117	—	4	4	no	—
203	#117	—	4	2	no	—
204	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
205	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
210	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
211	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
212	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
214	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
215	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
216	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
217	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
218	#107	—	2	4	no	—
219	#107	—	2	32	no	—
220	#106	—	2	4	no	—
221	#106	—	2	32	no	—
222	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
223	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
224	#103	—	2	8	no	—
225	#103	—	2	32	no	—
226	#102	—	2	8	no	—
227	#102	—	2	32	no	—
228	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
229	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
230	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
231	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
232	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
233	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
234	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
235	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
236	C₄×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
237	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
238	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
239	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
240	#41	—	4	8	no	—
241	#41	—	4	16	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
245	C₂×Q₈	—	4	32	no	—
246	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
247	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
248	C₂×Q₈	—	4	16	no	—
249	C₂×Q₈	—	8	8	no	—
250	C₂×Q₈	—	8	16	no	—
251	C₂×D₄	—	2	4	no	—
252	C₂×D₄	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	2	no	—
254	C₂×D₄	—	4	4	no	—
255	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	8	no	—
257	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
258	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
261	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
262	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
265	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
267	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
268	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
269	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
270	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
271	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
272	Q₁₆	—	4	32	no	—
273	Q₁₆	—	4	16	no	—
274	Q₁₆	—	4	16	no	—
275	Q₁₆	—	4	4	no	—
276	SD₁₆	—	4	8	no	—
277	D₈	—	4	4	no	—
278	M₁₆	—	2	16	no	—
279	C₂×C₈	—	2	4	no	—
280	C₂×C₈	—	2	8	no	—
281	C₂×C₈	—	2	8	no	—
282	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
283	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
284	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
285	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
286	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
294	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
299	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
302	C₄²	—	4	2	no	—
303	C₄²	—	4	4	no	—
304	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
306	C₄²	#127	1	2	yes	—
307	C₄²	#127	1	2	yes	—
308	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
309	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
310	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
311	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
312	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
313	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
314	C₂³	—	2	2	no	—
315	C₂³	—	2	4	no	—
316	C₂³	—	4	2	no	—
317	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
318	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
319	Q₈	—	4	4	no	—
320	Q₈	—	4	16	no	—
321	Q₈	—	4	8	no	—
322	Q₈	—	8	16	no	—
323	Q₈	—	8	8	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	4	8	no	—
326	D₄	—	8	4	no	—
327	D₄	—	8	8	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	2	4	no	—
331	C₂×C₄	—	2	4	no	—
332	C₂×C₄	—	2	4	no	—
333	C₂×C₄	—	2	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	4	no	—
335	C₂×C₄	—	2	4	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	8	no	—
339	C₂×C₄	—	8	16	no	—
340	C₂×C₄	—	8	8	no	—
341	C₂×C₄	—	8	4	no	—
342	C₂×C₄	—	8	8	no	—
343	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
349	C₂×C₄	#578	1	8	yes	—
350	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
352	C₈	—	2	4	no	—
353	C₈	—	2	16	no	—
354	C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
355	C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
356	C₂²	—	2	8	no	—
357	C₂²	—	2	2	no	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	2	2	no	—
360	C₂²	—	8	2	no	—
361	C₂²	—	8	4	no	—
362	C₂²	#3151	1	2	yes	—
363	C₂²	#3156	1	4	yes	—
364	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	8	8	no	—
369	C₄	—	8	2	no	—
370	C₄	—	8	4	no	—
371	C₄	#3151	1	2	yes	—
372	C₄	#3156	1	4	yes	—
373	C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
374	C₄	C₂×#578	1	4	yes	—
375	C₂	—	2	2	no	—
376	C₂	—	2	4	no	—
377	C₂	—	16	2	no	—
378	C₂	C₂×#3151	1	1	yes	characteristic
379	C₂	C₂×#3156	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
prime radical	#60673	C₂
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60860	C₂	semidirect
3. C₂²×#494	C₂	semidirect
4. #19699	C₂	semidirect
5. #19684	C₂	semidirect
6. #19662	C₂	semidirect
7. #19653	C₂	semidirect
8. #19639	C₂	semidirect
9. #19632	C₂	semidirect
10. #17323	C₂	semidirect
41. #1723	C₂²	semidirect
42. #1722	C₂²	semidirect
43. #1720	C₂²	semidirect
44. #1716	C₂²	semidirect
45. #1713	C₂²	semidirect
46. #1709	C₂²	semidirect
47. #1707	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60860	2
#60673	2
C₂²×#494	2
#19699	2
#19684	2
#19662	2
#19653	2
#19639	2
#19632	2
#17323	2