Subgroups — #6357419

Order 512.

2192 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 432 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#60965	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	#60673	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#3147	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#19699	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#19698	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#19689	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#19687	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	#19660	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#19651	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#19641	C₂	1	8	yes	maximal, complemented
11	#17323	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#135	—	2	2	no	—
13	#3444	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#532	C₂²	1	2	yes	—
15	#3251	—	2	8	no	—
16	#3229	C₂²	1	4	yes	—
17	#3228	C₂²	1	8	yes	complemented
18	#3226	C₂²	1	4	yes	—
19	#3208	C₂²	1	4	yes	—
20	#3207	C₂²	1	8	yes	complemented
21	#3205	C₂²	1	4	yes	—
22	#3194	—	2	8	no	—
23	#3184	C₂²	1	8	yes	complemented
24	#3182	C₂²	1	8	yes	complemented
25	#3170	C₂²	1	2	yes	complemented
26	#3169	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#3168	—	2	4	no	—
28	#3167	C₂²	1	4	yes	complemented
29	#3160	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#3147	—	2	4	no	—
31	#3147	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#3147	C₂²	1	4	yes	—
33	#3147	C₂²	1	4	yes	—
34	C₂×#495	—	2	2	no	—
35	C₂×#494	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#493	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#492	C₂²	1	2	yes	—
38	#3131	C₂²	1	2	yes	—
39	#3115	—	2	8	no	—
40	#3114	—	2	8	no	—
41	#3050	—	2	2	no	—
42	C₄×#135	—	2	2	no	—
43	#2920	C₂²	1	2	yes	—
44	C₂²×C₄×C₈	C₂²	1	1	yes	characteristic
45	#1723	C₂²	1	8	yes	complemented
46	#1722	C₂²	1	4	yes	complemented
47	#1721	C₂²	1	8	yes	complemented
48	#1721	C₂²	1	4	yes	complemented
49	#1720	C₂²	1	8	yes	complemented
50	#1717	C₂²	1	8	yes	complemented
51	#1714	C₂²	1	8	yes	complemented
52	#1708	C₂²	1	4	yes	complemented
53	#1706	C₂²	1	8	yes	complemented
54	#1705	C₂²	1	4	yes	complemented
55	#1452	C₂²	1	2	yes	—
56	#1451	C₂²	1	4	yes	complemented
57	#1450	C₂²	1	2	yes	—
58	C₈×M₁₆	C₂²	1	4	yes	complemented
59	C₂²×#41	—	2	2	no	—
60	C₂×#135	—	2	8	no	—
61	C₂×#135	—	2	8	no	—
62	C₂×#135	—	2	2	no	—
63	C₂×#135	—	4	16	no	—
64	C₂²×Q₁₆	—	2	2	no	—
65	C₂²×SD₁₆	—	2	4	no	—
66	C₂²×D₈	—	2	2	no	—
67	C₂³×C₈	D₄	1	2	yes	—
68	#533	C₂³	1	2	yes	—
69	#533	C₂³	1	4	yes	—
70	#532	—	2	4	no	—
71	#532	—	2	4	no	—
72	#532	—	2	4	no	—
73	#532	C₂³	1	2	yes	—
74	#532	C₂³	1	8	yes	—
75	#532	C₂³	1	4	yes	—
76	C₂×C₄⋊Q₈	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×#127	C₂³	1	2	yes	—
78	#529	—	2	4	no	—
79	#529	—	2	4	no	—
80	#529	—	2	4	no	—
81	C₂×#124	—	2	2	no	—
82	#525	—	2	4	no	—
83	#525	—	2	2	no	—
84	C₂×#121	—	2	4	no	—
85	C₄×#41	—	2	4	no	—
86	C₄×#41	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄×D₄	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₄²	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	#500	C₂³	1	2	yes	—
90	#500	C₂³	1	8	yes	—
91	#499	—	2	2	no	—
92	#498	C₂³	1	2	yes	—
93	#498	C₂³	1	8	yes	—
94	#495	—	2	8	no	—
95	#495	—	2	8	no	—
96	#495	—	2	2	no	—
97	#494	—	2	2	no	—
98	#494	C₂³	1	4	yes	—
99	#494	C₂³	1	1	yes	characteristic
100	#493	—	2	2	no	—
101	#493	C₂³	1	4	yes	—
102	#493	C₂³	1	1	yes	characteristic
103	#493	C₂³	1	8	yes	—
104	#492	—	2	4	no	—
105	#492	C₂³	1	4	yes	—
106	#492	C₂³	1	4	yes	—
107	#492	C₂³	1	2	yes	—
108	#492	C₂³	1	8	yes	—
109	#488	—	2	4	no	—
110	#487	C₂³	1	4	yes	—
111	#487	C₂³	1	8	yes	—
112	#486	C₂³	1	4	yes	—
113	#486	C₂³	1	8	yes	—
114	#486	C₂³	1	8	yes	—
115	#486	C₂³	1	8	yes	—
116	#483	—	2	8	no	—
117	#482	—	2	16	no	—
118	#480	—	2	8	no	—
119	#478	—	2	16	no	—
120	#475	—	2	8	no	—
121	#474	—	2	8	no	—
122	#469	—	2	16	no	—
123	#468	—	2	16	no	—
124	#467	—	2	4	no	—
125	#466	—	2	4	no	—
126	#465	—	2	8	no	—
127	#463	—	2	16	no	—
128	#460	—	2	8	no	—
129	#459	—	2	8	no	—
130	#450	—	2	8	no	—
131	#449	—	2	16	no	—
132	#447	—	2	8	no	—
133	#442	—	2	16	no	—
134	#440	—	2	16	no	—
135	C₄×Q₁₆	—	2	4	no	—
136	C₄×SD₁₆	—	2	8	no	—
137	C₄×D₈	—	2	4	no	—
138	#432	D₄	1	4	yes	—
139	#432	D₄	1	4	yes	—
140	#431	C₂³	1	4	yes	—
141	#431	C₂³	1	4	yes	—
142	#427	—	2	2	no	—
143	#423	D₄	1	4	yes	—
144	#416	—	2	4	no	—
145	#407	D₄	1	4	yes	—
146	C₄×M₁₆	C₂³	1	4	yes	—
147	C₂×C₄×C₈	D₄	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₈	D₄	1	4	yes	—
149	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
152	C₂×C₄×C₈	C₂³	1	2	yes	—
153	#322	C₂³	1	8	yes	—
154	#322	C₂³	1	4	yes	—
155	C₈²	C₂³	1	4	yes	—
156	C₂×#41	—	2	2	no	—
157	C₂×#41	—	2	8	no	—
158	C₂×#41	—	2	4	no	—
159	C₂×#41	—	4	16	no	—
160	C₂×#41	—	4	4	no	—
161	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
162	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
163	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
164	C₂²×D₄	—	4	2	no	—
165	C₂³×C₄	—	4	2	no	—
166	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂³×C₄	C₂×D₄	1	2	yes	—
168	#135	—	4	32	no	—
169	#135	—	4	32	no	—
170	#135	—	4	8	no	—
171	C₂×Q₁₆	—	2	8	no	—
172	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
173	C₂×Q₁₆	—	4	8	no	—
174	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
175	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
176	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
177	C₂×SD₁₆	—	2	16	no	—
178	C₂×SD₁₆	—	4	16	no	—
179	C₂×D₈	—	2	8	no	—
180	C₂×D₈	—	2	2	no	—
181	C₂×D₈	—	2	16	no	—
182	C₂×D₈	—	4	8	no	—
183	C₂×M₁₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
184	C₂²×C₈	—	2	8	no	—
185	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
186	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
187	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
188	C₂²×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
189	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
190	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
191	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
192	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	2	yes	—
193	C₄⋊Q₈	C₂⁴	1	4	yes	—
194	#127	—	2	4	no	—
195	#127	—	2	2	no	—
196	#127	C₂⁴	1	4	yes	—
197	#127	C₂⁴	1	2	yes	—
198	#126	—	4	4	no	—
199	#125	—	2	4	no	—
200	#125	—	2	2	no	—
201	#124	—	2	8	no	—
202	#124	—	2	4	no	—
203	#124	—	2	2	no	—
204	#124	—	4	2	no	—
205	#124	—	4	2	no	—
206	#123	—	4	2	no	—
207	#123	—	4	4	no	—
208	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
209	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
211	#121	—	2	8	no	—
212	#121	—	2	8	no	—
213	#121	—	2	4	no	—
214	#121	—	2	4	no	—
215	#121	—	2	4	no	—
216	#121	—	4	4	no	—
217	#121	—	4	4	no	—
218	#120	—	4	2	no	—
219	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
221	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
222	C₄×D₄	—	2	8	no	—
223	C₄×D₄	—	2	8	no	—
224	C₄×D₄	—	2	4	no	—
225	C₄×D₄	—	2	4	no	—
226	C₄×D₄	—	2	4	no	—
227	C₄×D₄	—	4	4	no	—
228	C₄×D₄	—	4	4	no	—
229	C₄×D₄	—	4	4	no	—
230	C₄×D₄	—	4	4	no	—
231	C₄×D₄	—	4	4	no	—
232	#117	—	2	2	no	—
233	#117	—	2	4	no	—
234	#117	—	4	4	no	—
235	#117	—	4	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
237	C₂×C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
238	C₂×C₄²	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
240	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
242	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
243	C₂×C₄²	C₂×D₄	1	2	yes	—
244	C₂×C₄²	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄²	C₂⁴	1	2	yes	—
246	#107	—	2	4	no	—
247	#107	—	2	16	no	—
248	#106	—	2	4	no	—
249	#106	—	2	16	no	—
250	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
251	C₄⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
252	#103	—	2	8	no	—
253	#103	—	2	16	no	—
254	#102	—	2	8	no	—
255	#102	—	2	16	no	—
256	#102	—	2	16	no	—
257	#102	—	2	16	no	—
258	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
259	C₂²⋊C₈	C₂×D₄	1	8	yes	—
260	#97	C₂×D₄	1	8	yes	—
261	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
262	C₄×C₈	C₂×D₄	1	4	yes	—
263	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
264	C₄×C₈	C₂×D₄	1	2	yes	—
265	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
266	C₄×C₈	C₂⁴	1	8	yes	—
267	C₄×C₈	C₂⁴	1	2	yes	—
268	C₄×C₈	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
269	C₂⁴	—	4	2	no	—
270	C₂⁴	#127	1	1	yes	characteristic
271	#41	—	4	32	no	—
272	#41	—	4	8	no	—
273	#41	—	8	8	no	—
274	#41	—	8	16	no	—
275	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
276	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
277	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
278	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
279	C₂×Q₈	—	4	8	no	—
280	C₂×D₄	—	2	4	no	—
281	C₂×D₄	—	2	2	no	—
282	C₂×D₄	—	2	8	no	—
283	C₂×D₄	—	2	4	no	—
284	C₂×D₄	—	4	4	no	—
285	C₂×D₄	—	4	2	no	—
286	C₂×D₄	—	4	8	no	—
287	C₂×D₄	—	4	4	no	—
288	C₂×D₄	—	4	2	no	—
289	C₂×D₄	—	4	8	no	—
290	C₂×D₄	—	8	8	no	—
291	C₂×D₄	—	8	8	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
293	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
294	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
295	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
296	C₂²×C₄	—	4	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
298	C₂²×C₄	—	8	8	no	—
299	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
300	C₂²×C₄	#127	1	1	yes	characteristic
301	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	#127	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
305	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
306	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
307	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	2	yes	—
308	C₂²×C₄	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
309	Q₁₆	—	4	16	no	—
310	Q₁₆	—	4	4	no	—
311	SD₁₆	—	4	16	no	—
312	SD₁₆	—	4	16	no	—
313	SD₁₆	—	4	8	no	—
314	SD₁₆	—	8	16	no	—
315	D₈	—	4	16	no	—
316	D₈	—	4	4	no	—
317	D₈	—	8	16	no	—
318	M₁₆	—	4	8	no	—
319	C₂×C₈	—	2	4	no	—
320	C₂×C₈	—	2	8	no	—
321	C₂×C₈	—	2	8	no	—
322	C₂×C₈	AGL(1,ℤ/8)	1	8	yes	—
323	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	4	yes	—
324	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	16	yes	—
325	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
326	C₂×C₈	C₂²×D₄	1	2	yes	—
327	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
328	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
330	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
331	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
332	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
333	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
334	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
335	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
340	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
341	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
342	C₄²	—	4	4	no	—
343	C₄²	—	4	2	no	—
344	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
345	C₄²	#127	1	2	yes	—
346	C₄²	#127	1	1	yes	characteristic
347	C₄²	#127	1	2	yes	—
348	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
349	C₄²	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
350	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
351	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
352	C₄²	C₂²×D₄	1	2	yes	—
353	C₄²	C₂⁵	1	1	yes	characteristic
354	C₂³	—	2	2	no	—
355	C₂³	—	4	2	no	—
356	C₂³	—	4	2	no	—
357	C₂³	—	4	4	no	—
358	C₂³	—	8	8	no	—
359	C₂³	—	8	4	no	—
360	C₂³	C₂×#127	1	2	yes	—
361	C₂³	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
362	Q₈	—	4	8	no	—
363	Q₈	—	4	8	no	—
364	Q₈	—	4	4	no	—
365	Q₈	—	8	4	no	—
366	D₄	—	4	8	no	—
367	D₄	—	4	16	no	—
368	D₄	—	4	8	no	—
369	D₄	—	4	4	no	—
370	D₄	—	8	8	no	—
371	D₄	—	8	16	no	—
372	D₄	—	8	8	no	—
373	D₄	—	8	4	no	—
374	D₄	—	8	4	no	—
375	C₂×C₄	—	2	2	no	—
376	C₂×C₄	—	2	4	no	—
377	C₂×C₄	—	2	4	no	—
378	C₂×C₄	—	2	4	no	—
379	C₂×C₄	—	2	4	no	—
380	C₂×C₄	—	2	4	no	—
381	C₂×C₄	—	4	2	no	—
382	C₂×C₄	—	4	2	no	—
383	C₂×C₄	—	4	2	no	—
384	C₂×C₄	—	4	2	no	—
385	C₂×C₄	—	4	4	no	—
386	C₂×C₄	—	4	4	no	—
387	C₂×C₄	—	8	16	no	—
388	C₂×C₄	—	8	8	no	—
389	C₂×C₄	—	8	4	no	—
390	C₂×C₄	—	8	4	no	—
391	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
392	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
393	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
394	C₂×C₄	C₂×#127	1	2	yes	—
395	C₂×C₄	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
396	C₂×C₄	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
397	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	2	yes	—
398	C₂×C₄	C₂³×D₄	1	1	yes	characteristic
399	C₈	—	2	16	no	—
400	C₈	—	2	4	no	—
401	C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
402	C₈	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
403	C₂²	—	2	2	no	—
404	C₂²	—	2	2	no	—
405	C₂²	—	2	2	no	—
406	C₂²	—	2	2	no	—
407	C₂²	—	4	4	no	—
408	C₂²	—	8	4	no	—
409	C₂²	—	8	2	no	—
410	C₂²	—	8	4	no	—
411	C₂²	—	8	8	no	—
412	C₂²	—	16	8	no	—
413	C₂²	#3151	1	2	yes	—
414	C₂²	C₂²×#127	1	1	yes	characteristic
415	C₄	—	2	2	no	—
416	C₄	—	2	2	no	—
417	C₄	—	2	2	no	—
418	C₄	—	2	2	no	—
419	C₄	—	8	4	no	—
420	C₄	—	8	2	no	—
421	C₄	—	8	4	no	—
422	C₄	#3151	1	2	yes	—
423	C₄	C₂²×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
424	C₄	#3584	1	4	yes	—
425	C₂	—	2	2	no	—
426	C₂	—	4	2	no	—
427	C₂	—	16	2	no	—
428	C₂	—	16	4	no	—
429	C₂	C₂×#3151	1	1	yes	characteristic
430	C₂	#60643	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center, socle	C₂²	C₂²×#127
commutator, Frattini, cosocle	C₄²	C₂⁵
LCS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄² ◁ G
LECS	G ▷ C₄² ▷ C₂² ▷ C₁

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #60965	C₂	semidirect
2. #60673	C₂	semidirect
3. C₂×#3147	C₂	semidirect
4. #19699	C₂	semidirect
5. #19698	C₂	semidirect
6. #19689	C₂	semidirect
7. #19687	C₂	semidirect
8. #19660	C₂	semidirect
9. #19651	C₂	semidirect
10. #19641	C₂	semidirect
11. #17323	C₂	semidirect
17. #3228	C₂²	semidirect
20. #3207	C₂²	semidirect
23. #3184	C₂²	semidirect
24. #3182	C₂²	semidirect
25. #3170	C₂²	semidirect
26. #3169	C₂²	semidirect
28. #3167	C₂²	semidirect
45. #1723	C₂²	semidirect
46. #1722	C₂²	semidirect
47. #1721	C₂²	semidirect
48. #1721	C₂²	semidirect
49. #1720	C₂²	semidirect
50. #1717	C₂²	semidirect
51. #1714	C₂²	semidirect
52. #1708	C₂²	semidirect
53. #1706	C₂²	semidirect
54. #1705	C₂²	semidirect
56. #1451	C₂²	semidirect
58. C₈×M₁₆	C₂²	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#60965	2
#60673	2
C₂×#3147	2
#19699	2
#19698	2
#19689	2
#19687	2
#19660	2
#19651	2
#19641	2
#17323	2